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Hodge分解

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スピン幾何における解析学
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convention
$(M,g):$コンパクトリーマン多様体
$E^k:=\Lambda^kT^*M$
$E=\bigoplus_k E^k$
$\Gamma(E):E$の滑らかな切断
$C^s(E):E$$C^s$級の切断
$D_k(E):\Gamma(E)$から$\Gamma(E)$への$k$階の微分作用素
$L^2(E):\Gamma(E)$を完備化して作ったHilbert空間
$H_k(E):\Gamma(E)$を完備化して作った$k$次のSobolev空間

 微分形式に関するHodge分解を示します。

Hodge分解

調和形式の全体を$H(E)$と書くとき、直交直和分解
$\Gamma(E)=H(E)\oplus d\Gamma(E)\oplus d^\dagger\Gamma(E)$
が成り立つ。

Dirac作用素のElliptic regularity 2 のFredholm alternativeより
$$ \Gamma(E)=\ker D\oplus D\Gamma(E)=H(E)\oplus d\Gamma(E)\oplus d^\dagger\Gamma(E) $$
となる。

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投稿者

Submersion
Submersion
92
19894
専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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