Dirac作用素のElliptic regularity 2

スピン幾何における解析学
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convention
$M :$ コンパクトリーマンスピン多様体
$S :$ スピノル束
$⟨ \cdot, \cdot ⟩ : S$ のSpin不変内積
$Γ (S) : S$ の滑らかな切断
$D = \sum_{i} e_{i} \nabla_{i} : Γ (S) \to Γ (S)$ Dirac作用素
$C^{s} (S) : S$ の $C^{s}$ 級の切断
$D_{k} (S) : Γ (S)$ から $Γ (S)$ への $k$ 階の微分作用素
$L^{2} (S) : S$ の切断が作るHilbert空間
$H_{k} (S) : S$ の切断が作る $k$ 次のSobolev空間

　Dirac作用素のより一般的なregularityとして以下を証明します。そのために次の条件を満たす Friedrich's mollifier を構成します。証明は後に回します。

以下の条件を満たすFriedrich's mollifier $J_{ϵ} := \exp (- ϵ {\bar{D}}^{2})$ が存在する。
(i) $[J_{ϵ}, \bar{D}] = 0$
(ii) $J_{ϵ} : H_{k} (S) \to H_{k} (S)$ は $ϵ$ に関して一様有界である。

Dirac作用素のElliptic regularity

$u \in L^{2} (S), f \in H_{k} (S)$ に対して、 $D u = f$ が弱い意味で成り立つとすると、 $u \in H_{k + 1} (S)$ である。

$k$ についての数学的帰納法で示す。 $k = 0$ のときはregularity 1で示した。 $k \geq 1$ に対して成り立つと仮定する。 $f \in H_{k} (S) \subset H_{k - 1} (S)$ だから仮定より $u \in H_{k} (S)$ である。 $J_{ϵ}$ を補題１のFriedrich's mollifierとする。
$\begin{aligned} | | J_{ϵ} u | |_{H_{k + 1}} & \leq C_{1} (| | \bar{D} J_{ϵ} u | |_{H_{k}} + | | J_{ϵ} u | |_{H_{k}}) = C_{1} (| | J_{ϵ} \bar{D} u | |_{H_{k}} + | | J_{ϵ} u | |_{H_{k}}) \\ \leq C_{2} (| | \bar{D} u | |_{H_{k}} + | | u | |_{H_{k}}) = C_{2} (| | f | |_{H_{k}} + | | u | |_{H_{k}}) < \infty \end{aligned}$
となる。最後の等号では任意の $v \in Γ (S)$ に対して、 $(u, D^{†} v)_{L^{2}} = (f, v)_{L^{2}}$ が成り立つことから $\bar{D} u = f$ となることを使った。よって $H_{k + 1}$ において $J_{ϵ} u ⇀ w \in H_{k + 1} (S) \subset L^{2} (S)$ となる。一方、mollifierの性質から $L^{2} (S)$ において $J_{ϵ} u ⇀ u$ であるから、 $u = w \in H_{k + 1} (S)$ である。