スピン幾何における解析学
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Dirac作用素のElliptic regularity 1
convention
コンパクトリーマンスピン多様体
スピノル束
のSpin不変内積
の滑らかな切断
の級の切断
からへの階の微分作用素
の切断が作るHilbert空間
の切断が作る次のSobolev空間
Dirac作用素を上で拡張して議論したい場合にの元は微分できるか分からないため滑らかになるようになめしておきたいことがあります。さらになめしたものを適当な意味で極限を取ると元に戻るようにしておくと使いやすいです。またなめしたものに対する色々な不等式評価もしたいのでノルムについての評価もあれば便利です。このようなものとしてFriedrich's mollifier(軟化作用素)があります。
Friedrich's mollifier
に対して、で以下の条件を満たす作用素が存在する。
(i)
(ii) は自己随伴作用素である。
(iii) に対して、においてのときである。
(iv) は有界作用素である。
(v) に対して、は有界作用素に拡張される。