1

Dirac作用素の楕円型評価

37
0
$$$$

スピン幾何における解析学
前の記事: Gardingの不等式
次の記事: Friedrich's mollifier

convention
$(M,g):$コンパクトリーマンスピン多様体
$S:$スピノル束
$\langle\cdot,\cdot\rangle:S$のSpin不変内積
$\Gamma(S):S$の滑らかな切断
$C^s(S):S$$C^s$級の切断
$D_k(S):\Gamma(S)$から$\Gamma(S)$への$k$階の微分作用素
$L^2(S):S$の切断が作るHilbert空間
$H_k(S):S$の切断が作る$k$次のSobolev空間

 Dirac作用素の解析的性質を調べるために非常に重要な楕円型評価を証明します。$D$をDirac作用素とし、$\bar D:H_1\to L^2$をその拡張とします。

Dirac作用素の楕円型評価

$u\in H_{k}(S)$に対して、
$$ ||u||_{H_k}\le C(||\bar Du||_{H_{k-1}}+||u||_{H_{k-1}}) $$
が成り立つ。

$k$についての数学的帰納法で示す。$k=0$のときはGardingの不等式で示されている。$k$について成り立つと仮定する。$u\in\Gamma(S)$に対して、
\begin{align} ||u||^2_{H_{k+1}}&=||\nabla^{k+1} u||^2_{H_0}+||u||^2_{H_k} \le ||\nabla u||^2_{H_k}+||u||^2_{H_k}\\ &\le C_1(||D\nabla u||_{H_{k-1}}+||\nabla u||_{H_{k-1}})^2+||u||^2_{H_k}\\ &\le C_1(||\nabla D u||_{H_{k-1}}+||[D,\nabla] u||_{H_{k-1}}+||\nabla u||_{H_{k-1}})^2+||u||^2_{H_k} \end{align}
である。ここで、$\nabla, [D,\nabla]$は有界な一階の微分作用素であるから、
\begin{align} ||u||^2_{H_{k+1}}&\le C_1(C_2|| D u||_{H_k}+C_3||u||_{H_k}+C_2||u||_{H_k})^2+||u||^2_{H_k}\\ &\le C(||Du||_{H_k}+||u||_{H_k})^2 \end{align}
となる。

投稿日:215
更新日:218
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

Submersion
Submersion
97
25480
専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中