Dirac作用素の楕円型評価

スピン幾何における解析学
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convention
$(M, g) :$ コンパクトリーマンスピン多様体
$S :$ スピノル束
$⟨ \cdot, \cdot ⟩ : S$ のSpin不変内積
$Γ (S) : S$ の滑らかな切断
$C^{s} (S) : S$ の $C^{s}$ 級の切断
$D_{k} (S) : Γ (S)$ から $Γ (S)$ への $k$ 階の微分作用素
$L^{2} (S) : S$ の切断が作るHilbert空間
$H_{k} (S) : S$ の切断が作る $k$ 次のSobolev空間

　Dirac作用素の解析的性質を調べるために非常に重要な楕円型評価を証明します。 $D$ をDirac作用素とし、 $\bar{D} : H_{1} \to L^{2}$ をその拡張とします。

Dirac作用素の楕円型評価

$u \in H_{k} (S)$ に対して、
$| | u | |_{H_{k}} \leq C (| | \bar{D} u | |_{H_{k - 1}} + | | u | |_{H_{k - 1}})$
が成り立つ。

$k$ についての数学的帰納法で示す。 $k = 0$ のときはGardingの不等式で示されている。 $k$ について成り立つと仮定する。 $u \in Γ (S)$ に対して、
$\begin{aligned} | | u | |_{H_{k + 1}}^{2} & = | | \nabla^{k + 1} u | |_{H_{0}}^{2} + | | u | |_{H_{k}}^{2} \leq | | \nabla u | |_{H_{k}}^{2} + | | u | |_{H_{k}}^{2} \\ \leq C_{1} (| | D \nabla u | |_{H_{k - 1}} + | | \nabla u | |_{H_{k - 1}})^{2} + | | u | |_{H_{k}}^{2} \\ \leq C_{1} (| | \nabla D u | |_{H_{k - 1}} + | | [D, \nabla] u | |_{H_{k - 1}} + | | \nabla u | |_{H_{k - 1}})^{2} + | | u | |_{H_{k}}^{2} \end{aligned}$
である。ここで、 $\nabla, [D, \nabla]$ は有界な一階の微分作用素であるから、
$\begin{aligned} | | u | |_{H_{k + 1}}^{2} & \leq C_{1} (C_{2} | | D u | |_{H_{k}} + C_{3} | | u | |_{H_{k}} + C_{2} | | u | |_{H_{k}})^{2} + | | u | |_{H_{k}}^{2} \\ \leq C (| | D u | |_{H_{k}} + | | u | |_{H_{k}})^{2} \end{aligned}$
となる。

投稿日：2024年2月15日

更新日：2024年2月18日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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