Dirac作用素の楕円型評価
スピン幾何における解析学
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convention
$(M,g):$コンパクトリーマンスピン多様体
$S:$スピノル束
$\langle\cdot,\cdot\rangle:S$のSpin不変内積
$\Gamma(S):S$の滑らかな切断
$C^s(S):S$の$C^s$級の切断
$D_k(S):\Gamma(S)$から$\Gamma(S)$への$k$階の微分作用素
$L^2(S):S$の切断が作るHilbert空間
$H_k(S):S$の切断が作る$k$次のSobolev空間
Dirac作用素の解析的性質を調べるために非常に重要な楕円型評価を証明します。$D$をDirac作用素とし、$\bar D:H_1\to L^2$をその拡張とします。
$u\in H_{k}(S)$に対して、
$$
||u||_{H_k}\le C(||\bar Du||_{H_{k-1}}+||u||_{H_{k-1}})
$$
が成り立つ。
$k$についての数学的帰納法で示す。$k=0$のときはGardingの不等式で示されている。$k$について成り立つと仮定する。$u\in\Gamma(S)$に対して、
\begin{align}
||u||^2_{H_{k+1}}&=||\nabla^{k+1} u||^2_{H_0}+||u||^2_{H_k}
\le ||\nabla u||^2_{H_k}+||u||^2_{H_k}\\
&\le C_1(||D\nabla u||_{H_{k-1}}+||\nabla u||_{H_{k-1}})^2+||u||^2_{H_k}\\
&\le C_1(||\nabla D u||_{H_{k-1}}+||[D,\nabla] u||_{H_{k-1}}+||\nabla u||_{H_{k-1}})^2+||u||^2_{H_k}
\end{align}
である。ここで、$\nabla, [D,\nabla]$は有界な一階の微分作用素であるから、
\begin{align}
||u||^2_{H_{k+1}}&\le C_1(C_2|| D u||_{H_k}+C_3||u||_{H_k}+C_2||u||_{H_k})^2+||u||^2_{H_k}\\
&\le C(||Du||_{H_k}+||u||_{H_k})^2
\end{align}
となる。