Gardingの不等式
スピン幾何における解析学
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convention
$(M,g):$コンパクトリーマンスピン多様体
$S:$スピノル束
$\langle\cdot,\cdot\rangle:S$のSpin不変内積
$\Gamma(S):S$の滑らかな切断
$C^s(S):S$の$C^s$級の切断
$D_k(S):\Gamma(S)$から$\Gamma(S)$への$k$階の微分作用素
$L^2(S):S$の切断が作るHilbert空間
$H_k(S):S$の切断が作る$k$次のSobolev空間
Dirac作用素$D$は有界作用素$\bar D:H_1\to L^2$に拡張されるから、$||\bar Du||^2_{H_1}\le C||u||^2_{L^2}$が成り立ちます。Gardingの不等式はある意味ではこの逆も成り立つことを主張します。またこれはDirac作用素の楕円型評価につながります。
$u\in H_1(S)$に対して、
$$
||u||_{H_1}\le C(||\bar Du||_{L^2}+||u||_{L^2})
$$
が成り立つ。
$u\in\Gamma(S)$に対して、
Lichnerowiczの公式
$$
D^\dagger Du=\nabla^\dagger\nabla u+\frac{1}{4}Ru
$$
が成り立つから、有界作用素$K\in\Gamma(End(S))$があり$D^\dagger D=\nabla^\dagger\nabla +K$が成り立つとしてよい（この式は一般のDirac型作用素に対して成り立つ）。
\begin{align}
||u||^2_{H_1}&=||\nabla u||^2_{L^2}+||u||^2_{L^2}=(\nabla^\dagger\nabla u,u)_{L^2}+||u||^2_{L^2}\\
&=(D^\dagger D u,u)_{L^2}-(Ku,u)_{L^2}+||u||^2_{L^2}\\
&\le||D u||^2_{L^2}+C_1||u||^2_{L^2}+||u||^2_{L^2}\\
&\le C^2(||Du||_{L^2}+||u||_{L^2})^2
\end{align}
となる。$\Gamma(S)$は$H_1(S)$においてdenseであり、ノルムは連続であるから$u\in H_1(S)$に対しても成り立つ。