Gardingの不等式

スピン幾何における解析学
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convention
$(M, g) :$ コンパクトリーマンスピン多様体
$S :$ スピノル束
$⟨ \cdot, \cdot ⟩ : S$ のSpin不変内積
$Γ (S) : S$ の滑らかな切断
$C^{s} (S) : S$ の $C^{s}$ 級の切断
$D_{k} (S) : Γ (S)$ から $Γ (S)$ への $k$ 階の微分作用素
$L^{2} (S) : S$ の切断が作るHilbert空間
$H_{k} (S) : S$ の切断が作る $k$ 次のSobolev空間

　Dirac作用素 $D$ は有界作用素 $\bar{D} : H_{1} \to L^{2}$ に拡張されるから、 $| | \bar{D} u | |_{H_{1}}^{2} \leq C | | u | |_{L^{2}}^{2}$ が成り立ちます。Gardingの不等式はある意味ではこの逆も成り立つことを主張します。またこれはDirac作用素の楕円型評価につながります。

Gardingの不等式

$u \in H_{1} (S)$ に対して、
$| | u | |_{H_{1}} \leq C (| | \bar{D} u | |_{L^{2}} + | | u | |_{L^{2}})$
が成り立つ。

$u \in Γ (S)$ に対して、 Lichnerowiczの公式
$D^{†} D u = \nabla^{†} \nabla u + \frac{1}{4} R u$
が成り立つから、有界作用素 $K \in Γ (E n d (S))$ があり $D^{†} D = \nabla^{†} \nabla + K$ が成り立つとしてよい（この式は一般のDirac型作用素に対して成り立つ）。
$\begin{aligned} | | u | |_{H_{1}}^{2} & = | | \nabla u | |_{L^{2}}^{2} + | | u | |_{L^{2}}^{2} = (\nabla^{†} \nabla u, u)_{L^{2}} + | | u | |_{L^{2}}^{2} \\ = (D^{†} D u, u)_{L^{2}} - (K u, u)_{L^{2}} + | | u | |_{L^{2}}^{2} \\ \leq | | D u | |_{L^{2}}^{2} + C_{1} | | u | |_{L^{2}}^{2} + | | u | |_{L^{2}}^{2} \\ \leq C^{2} (| | D u | |_{L^{2}} + | | u | |_{L^{2}})^{2} \end{aligned}$
となる。 $Γ (S)$ は $H_{1} (S)$ においてdenseであり、ノルムは連続であるから $u \in H_{1} (S)$ に対しても成り立つ。

投稿日：2024年2月15日

更新日：2024年2月18日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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