スピン幾何における解析学 前の記事:次の記事: Gardingの不等式
convention(M,g):リーマン多様体E:Riemannian or Hermitian束Dk(E):Γ(E)からΓ(E)へのk階の微分作用素
Laplace型、Dirac型の微分作用素の定義と関係性を述べます。
P∈D2(E)がσ2(P,ξ)=±|ξ|2となるとき、Laplace型の微分作用素であるという。P∈D1(E)に対して、P†PとPP†が共にLaplace型の微分作用素となるとき、Dirac型の微分作用素であるという。
上の定義の±は文献によります。
Dirac作用素D=∑iei⋅∇eiはσ1(D,ξ)=ξ⋅となります。 Dは自己随伴作用素 なのでσ2(D2,ξ)=σ1(D,ξ)σ1(D,ξ)=−|ξ|2となります。よってDはDirac型の微分作用素となります。
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