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現代数学解説
Laplace型、Dirac型の微分作用素
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スピン幾何における解析学
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Gardingの不等式
convention
$(M,g):$リーマン多様体
$E:$Riemannian or Hermitian束
$D_k(E):\Gamma(E)$から$\Gamma(E)$への$k$階の微分作用素
Laplace型、Dirac型の微分作用素の定義と関係性を述べます。
$P\in D_2(E)$が$\sigma_2(P,\xi)=\pm|\xi|^2$となるとき、Laplace型の微分作用素であるという。$P\in D_1(E)$に対して、$P^\dagger P$と$P P^\dagger$が共にLaplace型の微分作用素となるとき、Dirac型の微分作用素であるという。
上の定義の$\pm$は文献によります。
Dirac作用素$D=\sum_ie_i\cdot\nabla_{e_i}$は
$$
\sigma_1(D,\xi)=\xi\cdot
$$
となります。
$D$は自己随伴作用素
なので
$$
\sigma_2(D^2,\xi)=\sigma_1(D,\xi)\sigma_1(D,\xi)=-|\xi|^2
$$
となります。よって$D$はDirac型の微分作用素となります。
投稿日：2月18日
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