スピン幾何における解析学 前の記事:次の記事: Dirac作用素による固有空間分解
conventionM:コンパクトリーマンスピン多様体S:スピノル束⟨⋅,⋅⟩:SのSpin不変内積Γ(S):Sの滑らかな切断D=∑iei∇i:Γ(S)→Γ(S)Dirac作用素Cs(S):SのCs級の切断Dk(S):Γ(S)からΓ(S)へのk階の微分作用素L2(S):Sの切断が作るHilbert空間Hk(S):Sの切断が作るk次のSobolev空間
Dirac作用素の自己随伴性を証明します。D¯:H1(S)→L2(S)をDの拡張とします( ベクトル束の切断のSobolev空間 の命題5を参照)。以下で使う自己随伴作用素の基本的な性質は 随伴作用素についてのいくつかの基本事項 を参照してください。
ϕ,ψ∈H1(S)に対して、(D¯ϕ,ψ)L2=(ϕ,D¯ψ)L2となる。
ϕ,ψ∈Γ(S)に対して、部分積分してGreenの発散定理を使えば(Dϕ,ψ)L2=(ϕ,Dψ)L2が分かるから、主張が成り立つ。
D¯は自己随伴作用素である。
dom(D¯)⊂dom(D¯†)は自明だから、逆の包含を示せばよい。D†の定義よりu∈dom(D¯†)に対して、あるf∈L2(S)が存在し、任意のϕ∈Γ(S)に対して(u,D¯ϕ)L2=(f,ϕ)L2が成り立つが、(u,D¯ϕ)L2=(D¯u,ϕ)L2=(u,D¯†ϕ)L2に注意すると、これは弱い意味でD¯u=fが成り立つことを意味する。このとき、Elliptic regularity 1よりu∈H1(S)=dom(D¯)である。
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