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Dirac作用素の自己随伴性

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スピン幾何における解析学
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convention
M:コンパクトリーマンスピン多様体
S:スピノル束
,:SのSpin不変内積
Γ(S):Sの滑らかな切断
D=ieii:Γ(S)Γ(S)Dirac作用素
Cs(S):SCs級の切断
Dk(S):Γ(S)からΓ(S)へのk階の微分作用素
L2(S):Sの切断が作るHilbert空間
Hk(S):Sの切断が作るk次のSobolev空間

 Dirac作用素の自己随伴性を証明します。D¯:H1(S)L2(S)Dの拡張とします( ベクトル束の切断のSobolev空間 の命題5を参照)。以下で使う自己随伴作用素の基本的な性質は 随伴作用素についてのいくつかの基本事項 を参照してください。

形式的自己随伴性

ϕ,ψH1(S)に対して、
(D¯ϕ,ψ)L2=(ϕ,D¯ψ)L2
となる。

ϕ,ψΓ(S)に対して、部分積分してGreenの発散定理を使えば(Dϕ,ψ)L2=(ϕ,Dψ)L2が分かるから、主張が成り立つ。

自己随伴性

D¯は自己随伴作用素である。

dom(D¯)dom(D¯)は自明だから、逆の包含を示せばよい。
Dの定義よりudom(D¯)に対して、あるfL2(S)が存在し、任意のϕΓ(S)に対して
(u,D¯ϕ)L2=(f,ϕ)L2
が成り立つが、(u,D¯ϕ)L2=(D¯u,ϕ)L2=(u,D¯ϕ)L2に注意すると、これは弱い意味でD¯u=fが成り立つことを意味する。
このとき、Elliptic regularity 1よりuH1(S)=dom(D¯)である。

投稿日:2024211
更新日:2024211
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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