Dirac作用素の自己随伴性

スピン幾何における解析学
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convention
$M :$ コンパクトリーマンスピン多様体
$S :$ スピノル束
$⟨ \cdot, \cdot ⟩ : S$ のSpin不変内積
$Γ (S) : S$ の滑らかな切断
$D = \sum_{i} e_{i} \nabla_{i} : Γ (S) \to Γ (S)$ Dirac作用素
$C^{s} (S) : S$ の $C^{s}$ 級の切断
$D_{k} (S) : Γ (S)$ から $Γ (S)$ への $k$ 階の微分作用素
$L^{2} (S) : S$ の切断が作るHilbert空間
$H_{k} (S) : S$ の切断が作る $k$ 次のSobolev空間

　Dirac作用素の自己随伴性を証明します。 $\bar{D} : H_{1} (S) \to L^{2} (S)$ を $D$ の拡張とします( ベクトル束の切断のSobolev空間の命題５を参照)。以下で使う自己随伴作用素の基本的な性質は随伴作用素についてのいくつかの基本事項を参照してください。

形式的自己随伴性

$ϕ, ψ \in H_{1} (S)$ に対して、
$\begin{array}{r} (\bar{D} ϕ, ψ)_{L^{2}} = (ϕ, \bar{D} ψ)_{L^{2}} \end{array}$
となる。

$ϕ, ψ \in Γ (S)$ に対して、部分積分してGreenの発散定理を使えば $(D ϕ, ψ)_{L^{2}} = (ϕ, D ψ)_{L^{2}}$ が分かるから、主張が成り立つ。

自己随伴性

$\bar{D}$ は自己随伴作用素である。

$d o m (\bar{D}) \subset d o m ({\bar{D}}^{†})$ は自明だから、逆の包含を示せばよい。
$D^{†}$ の定義より $u \in d o m ({\bar{D}}^{†})$ に対して、ある $f \in L^{2} (S)$ が存在し、任意の $ϕ \in Γ (S)$ に対して
$\begin{array}{r} (u, \bar{D} ϕ)_{L^{2}} = (f, ϕ)_{L^{2}} \end{array}$
が成り立つが、 $(u, \bar{D} ϕ)_{L^{2}} = (\bar{D} u, ϕ)_{L^{2}} = (u, {\bar{D}}^{†} ϕ)_{L^{2}}$ に注意すると、これは弱い意味で $\bar{D} u = f$ が成り立つことを意味する。
このとき、Elliptic regularity 1より $u \in H_{1} (S) = d o m (\bar{D})$ である。

投稿日：2024年2月11日

更新日：2024年2月11日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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