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ベクトル束の切断のSobolev空間

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スピン幾何における解析学
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convention
E:M上のユークリッドまたはエルミーとベクトル束
,E:Eのファイバー内積
Γ(E):Eの滑らかな切断
Cs(E):ECs級の切断
Dk(E,F):Γ(E)からΓ(F)へのk階の微分作用素

 多様体上の解析学において非常に重要なベクトル束の切断の作るSobolev空間を解説します。

 まずはHilbert空間から述べます。

L2内積

コンパクトなsuppを持つEの切断をΓc(E)とする。このときL2内積を
(u,v)L2:=Mu,vdv, u,vΓc(E)
と定義する。このときL2ノルムは
||u||L2:=(u,u)L2
で与えられる。

 このL2ノルムで完備化してHilbert空間を作ります。

切断の作るHilbert空間

Γc(E)L2ノルムで完備化した空間をL2(E)と書く。
L2(E):=Γc(E)||||L2

 次にSobolev空間を定義します。以下Mはコンパクトリーマン多様体とします。

Sobolevノルム

Eの接続を1つ任意に取る。非負整数sに対して、s次のSobolevノルムを
||u||Hs:=k=0s||ku||L22
と定義する。このノルムで完備化した空間
Hs(E):=Γ(E)||||Hs
s次Sobolev空間という。

 上の定義のSobolevノルムは接続の取り方には依存しません。また局所的にフーリエ級数を使って定義し、1の分割で多様体全体で足し合わせて定義する方法もよく使われます。この2つの方法で定義されるSobolev空間は同値なものになります。ただしMがコンパクトでない場合、例えL2ノルムが有限、あるいは1の分割に関する足し上げが有限の場合でも完備化で得られるSobolev空間は一意的ではないことが知られているようです。(私はこの辺のことをよく知りません)

 Csノルムは次のように与えられます。

Cs(E)

uΓ(E)に対して、Csノルムを
||u||Cs:=maxksmaxpM||ku||L2
と定義する。

 このCsノルムはCs(E)において完備です。従って
Cs(E)=Γ(E)||||Cs
となります。定義より明らかに、sn=dimMに依存した定数C(n,s)が存在して、
||u||HsC(n,s)||u||Cs
が成り立ちます。従って、埋め込み写像
Cs(E)Hs(E)
は連続であることが分かります。一方、Sobolev空間からCs(E)への埋め込みについては次のSobolevの埋め込み定理があります。

Sobolevの埋め込み定理

自然数s,ls>l+n2を満たすとする。このとき、n,s,lに依存した定数C(n,s,l)により
||u||ClC(n,s,l)||u||Hs, uHs
が成り立つ。従って埋め込み
Hs(E)Cl(E)
は連続である。

 もう一つの重要な定理がRellichの埋め込み定理です。

Rellichの埋め込み定理

s1<s2を非負整数とする。このとき埋め込み
Hs2Hs1
はコンパクト作用素である。すなわち、Hs2の任意の有界な点列はHs1において収束する部分列を持つ。

 Rellich埋め込み定理の応用の一つとしてある作用素がコンパクト作用素であることを示せることがあります。例えばある作用素Aに対して、udom(A), AuHs2であることが言えれば、A:dom(A)Hs1がコンパクト作用素であることが分かります。コンパクト作用素に対して色々良い性質が成り立つのである作用素がコンパクトであるかどうかは重要な問題となります。

 これら2つの定理の証明はフーリエ級数でSobolevノルムを定義して行いますが、ここでは省略します。以降はこの2つの定理を使って得られるいくつかの命題について述べます。

 まず弱収束の定義は以下です。

Hilbert空間(H,(,))の点列{un}uHに弱収束するとは
(un,v)(u,v), vH
が成り立つことである。このとき、
unu
と書く。

 弱収束の基本的な性質は以下です。

(i) 弱収束先は一意的である。
(ii) unuならばunuである(無限次元の場合、逆はなりたたない)。
(iii) A:H1H2が有界線形作用素であるならば、unuのとき、AunAuである。
(iv) Hilbert空間の有界列は弱収束する部分列を持つ。

 以上より次の系が得られます。

4.

s1<s2を非負整数とする。Hs2の有界列{un}に対して、
unuHs2unuHs1
が成り立つ。

unuHs2Hs1は明らか。Rellichの定理よりunvHs1であるから、unvHs1であり、弱収束の一意性よりu=vである。

 またSobolevの定理とRellichの定理を使えばただちに次が分かります。

s>l+n2のとき、埋め込みHs(E)Cl(E)はコンパクト作用素である。

 またPDk(E,F)の作用については次が成り立ちます。

Mをコンパクト多様体とする。PDk(E,F)
Cl+k(E)Cl(E)Hs+k(E)Hs(E)
という有界線形作用素へ一意的に拡張される。

Mにリーマン計量とリーマン接続を定める。
uΓ(E)に対して、juΓ(TMjE)であるから、適当なAjΓ(Hom(TMjE,F))により
P=j=0kAjj
と表される。
||Pu||Cl=||j=0kAjj||Clj=0k||Ajj||Cl
であり、ν=0,1,,l,j=0,1,,kに対して、
|ν(Ajju)|μ=0ν|μAjνμ+ju|C1μ=0ν|νμ+ju|μ=0νC1||u||Cνμ+jC2||u||Ck+l
であるから、||Pu||ClC||u||Ck+lとなり、Γ(E)Ck+l(E)の中でdenseであるから、一意的に拡張される。
Hs+k(E)についても同様である。

投稿日:2023714
更新日:2024211
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Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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