多様体上の微分作用素の随伴
スピン幾何における解析学
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convention
$E,F:M$上の$\mathbb{K}$ベクトルバンドル
$\langle\cdot,\cdot\rangle_E,\langle\cdot,\cdot\rangle_F:E,F$のファイバー内積
$(u,v):=\int_M\langle u,v\rangle_E$
$D_k(E,F):\Gamma(E)\to\Gamma(F)$の$k$階の微分作用素
まず随伴作用素の存在を保証する次の命題があります。
$P\in D_k(E,F)$に対して、$P^*\in D_k(F,E)$で次を満たすものがただ一つ存在する。
$$
\int_M\langle Pu,v\rangle_F=\int_M\langle u,P^*v\rangle_E,\ u\in\Gamma(E),\ v\in\Gamma(F)
$$
この命題を動機として次のように定義します。
$P\in D_k(E,F)$に対して、以下を満たす$P^*\in D_k(F,E)$を$P$の形式的随伴作用素(formally adjoint operator)という。
$$
\int_M\langle Pu,v\rangle_F=\int_M\langle u,P^*v\rangle_E,\ u\in\Gamma(E),\ v\in\Gamma(F)
$$
さらに、$E=F$のとき、$P\in D_k(E)$が形式的自己随伴作用素(formally self adjoint operator)であるとは$P=P^*$が成り立つときをいう。
形式的随伴作用素の表象については次が成り立ちます。
$E,F\to M$をRiemannianまたはHermitianベクトルバンドルとする。$P\in D_k(E,F)$に対して、次が成り立つ。
$$
\sigma_k(P^*,\xi)=(-1)^k\sigma_k(P,\xi)^\dagger
$$
ただし、$\dagger$は共役転置を表す。
