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大学数学基礎解説

多様体上の微分作用素の随伴

微分幾何学,解析学

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スピン幾何における解析学
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convention
$E, F : M$ 上の $K$ ベクトルバンドル
$⟨ \cdot, \cdot ⟩_{E}, ⟨ \cdot, \cdot ⟩_{F} : E, F$ のファイバー内積
$(u, v) := \int_{M} ⟨ u, v ⟩_{E}$
$D_{k} (E, F) : Γ (E) \to Γ (F)$ の $k$ 階の微分作用素

　まず随伴作用素の存在を保証する次の命題があります。

$P \in D_{k} (E, F)$ に対して、 $P^{*} \in D_{k} (F, E)$ で次を満たすものがただ一つ存在する。
$\int_{M} ⟨ P u, v ⟩_{F} = \int_{M} ⟨ u, P^{*} v ⟩_{E}, u \in Γ (E), v \in Γ (F)$

　この命題を動機として次のように定義します。　

形式的随伴作用素

$P \in D_{k} (E, F)$ に対して、以下を満たす $P^{*} \in D_{k} (F, E)$ を $P$ の形式的随伴作用素(formally adjoint operator)という。
$\int_{M} ⟨ P u, v ⟩_{F} = \int_{M} ⟨ u, P^{*} v ⟩_{E}, u \in Γ (E), v \in Γ (F)$

さらに、 $E = F$ のとき、 $P \in D_{k} (E)$ が形式的自己随伴作用素(formally self adjoint operator)であるとは $P = P^{*}$ が成り立つときをいう。

　形式的随伴作用素の表象については次が成り立ちます。

$E, F \to M$ をRiemannianまたはHermitianベクトルバンドルとする。 $P \in D_{k} (E, F)$ に対して、次が成り立つ。
$σ_{k} (P^{*}, ξ) = (- 1)^{k} σ_{k} (P, ξ)^{†}$
ただし、 $†$ は共役転置を表す。

投稿日：2023年7月11日

更新日：2023年11月11日

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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