多様体上の微分作用素の表象

スピン幾何における解析学
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　ベクトルバンドル$E,F\to M$に対して、$\mathrm{\Gamma }(E)$を$\mathrm{\Gamma }(F)$に写す$k$階の微分作用素の集合を$D_k(E,F)$と表します。$P$の最高階数を線形近似したようなものが表象と呼ばれ以下のように定義されます。

　局所的に
$$P=\sum _{|\alpha |\le k}{A}^{\alpha }(x)\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}},A^{\alpha }:U\to Mat(p,q,\mathbb{K})$$
と表すとき、表象は
$${\sigma }_k(P,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}{A}^{\alpha }{\xi }_1^{{\alpha }_1}\cdots {\xi }_n^{{\alpha }_n}$$

と表されます。

　$P$の表象は$\xi \in T_p^{\ast }M$を与えるごとに線形写像$E_p\to F_p$を定めるので、cotangent bundle $T^{\ast }M$上に定義されたHomに値と持つ場と見なせます。

　表象について次が簡単に確かめられます。

　また表象は微分作用素の階数を特徴づけることができます。