多様体上の微分作用素の表象
スピン幾何における解析学
次の記事：
随伴作用素
ベクトルバンドル$E,F\to M$に対して、$\Gamma(E)$を$\Gamma(F)$に写す$k$階の微分作用素の集合を$D_k(E,F)$と表します。$P$の最高階数を線形近似したようなものが表象と呼ばれ以下のように定義されます。
$P\in D_k(E,F)$の$\xi\in T^*_pM$に関する表象(symbol)とは、以下に定義される線形写像$\sigma_k(D,\xi):E_p\to F_p$のことである。
滑らかな関数$f:M\to\mathbb{R}$で$f(p)=0,\ df(p)=\xi$となるものを任意に一つ取り、$e\in E_p$の$p$の近傍上での拡張を$\tilde e$を任意に一つ取る。このとき、
$$
\sigma_k(P,\xi)e:=\frac{1}{k!}P(f^k\tilde e)
$$
と定義する。
局所的に
$$
P=\sum_{|\alpha|\le k}A^\alpha(x)\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}},\ A^\alpha:U\to Mat(p,q,\mathbb{K})
$$
と表すとき、表象は
$$
\sigma_k(P,\xi)=\sum_{|\alpha|=k}A^\alpha\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}
$$
と表されます。
$P$の表象は$\xi\in T^*_pM$を与えるごとに線形写像$E_p\to F_p$を定めるので、cotangent bundle $T^*M$上に定義されたHomに値と持つ場と見なせます。
$P\in D_k(E,F)$の主表象(principal symbol)とは、
$$
\sigma_k(P,\cdot)\in Hom(\pi^*E,\pi^*F),\ \pi:T^*M\to M
$$
のことである。
表象について次が簡単に確かめられます。
$\sigma_k(P,\xi)\sigma_l(Q,\xi)=\sigma_{k+l}(P\circ Q,\xi)$
また表象は微分作用素の階数を特徴づけることができます。
$\sigma_k(P,\xi)=0\Leftrightarrow P\in D_{k-1}$