スピン幾何における解析学
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コンパクトリーマン多様体上のDirac作用素はコンパクト自己随伴作用素となるので、ここではコンパクト自己随伴作用素の一般的な性質である固有空間分解について述べます。
をHilbert空間とし、を線形作用素とします。または内でdenseとします。このとき、の随伴作用素を次のように定義します。まず定義域を
とします。がdenseなので、に対して、は一意的に決まるので、と定義します。をの形式的随伴作用素と呼びます。が形式的自己随伴であるとは、
となることを言います。このとき、となるので、一般にははの拡張となっています。ここで
となる場合を自己随伴と言います。
のレゾルベント集合とは
となる集合のことで、この補集合をのスペクトルと定義します。
自己随伴作用素に対して、であることが知られています。さらにがコンパクト作用素のときは以下のスペクトル定理が知られています。
コンパクト自己随伴作用素のスペクトル定理
コンパクト自己随伴作用素に対して、
と定義するとき、直交直和分解
が成り立つ。またはに集積する。さらに各は有限次元である。