随伴作用素についてのいくつかの基本事項
スピン幾何における解析学
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コンパクトリーマン多様体上のDirac作用素はコンパクト自己随伴作用素となるので、ここではコンパクト自己随伴作用素の一般的な性質である固有空間分解について述べます。
$H$をHilbert空間とし、$A:dom(A)\to H$を線形作用素とします。また$dom(A)$は$H$内でdenseとします。このとき、$A$の随伴作用素$A^\dagger$を次のように定義します。まず定義域を
$$
dom(A^\dagger):=\{u\in H;\ あるf\in Hが存在して、任意のv\in dom(A)に対して、(f,v)=(u,Av)となる\}
$$
とします。$dom(A)$がdenseなので、$u\in dom(A^\dagger)$に対して、$f$は一意的に決まるので、$A^\dagger u:=f$と定義します。$A^\dagger$を$A$の形式的随伴作用素と呼びます。$A$が形式的自己随伴であるとは、
$$
(Au,v)=(u,Av),\ u,v\in dom(A)
$$
となることを言います。このとき、$dom(A)\subset dom(A^\dagger)$となるので、一般には$A^\dagger$は$A$の拡張となっています。ここで
$$
dom(A)= dom(A^\dagger)
$$
となる場合を自己随伴と言います。
$A$のレゾルベント集合とは
$$
res(A):=\{\lambda\in\mathbb{C};\ (A-\lambda):dom(A)\to H が可逆かつ(A-\lambda)^{-1}が有界\}
$$
となる集合のことで、この補集合を$A$のスペクトル$spec(A):=\mathbb{C}\backslash res(A)$と定義します。
自己随伴作用素$A$に対して、$spec(A)\subset\mathbb{R},spec(A^2)\subset[0,\infty)$であることが知られています。さらに$A$がコンパクト作用素のときは以下のスペクトル定理が知られています。
コンパクト自己随伴作用素$A$に対して、
$$
E(\lambda,A):=\{u\in H;\ Au=\lambda u\}
$$
と定義するとき、直交直和分解
$$
H=\overline{\bigoplus_{n\in\mathbb{Z}}E(\lambda_n,A)}
$$
が成り立つ。また$\lambda_n\in\mathbb{R}$は$0$に集積する。さらに各$E(\lambda_n,A)$は有限次元である。