Dirac作用素のElliptic regularity 1

スピン幾何における解析学
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convention
$M :$ コンパクトリーマンスピン多様体
$S :$ スピノル束
$⟨ \cdot, \cdot ⟩ : S$ のSpin不変内積
$Γ (S) : S$ の滑らかな切断
$D = \sum_{i} e_{i} \nabla_{i} : Γ (S) \to Γ (S)$ Dirac作用素
$C^{s} (S) : S$ の $C^{s}$ 級の切断
$D_{k} (S) : Γ (S)$ から $Γ (S)$ への $k$ 階の微分作用素
$L^{2} (S) : S$ の切断が作るHilbert空間
$H_{k} (S) : S$ の切断が作る $k$ 次のSobolev空間

　regularityという言葉はたぶん未定義用語なのですが、簡単に言うと微分作用素 $D$ に対して微分方程式 $D u = f$ の解 $u$ の存在や滑らかさについての言明のことです（たぶん）。従って微分作用素に対して非常に重要な考察対象となります。スピン幾何ではDirac作用素のregularityに強い関心があります。

弱い意味での成立

$D \in D_{1} (S)$ と $u, f \in L^{2} (S)$ に対して、弱い意味で $D u = f$ が成り立つとは、任意の $ϕ \in Γ (S)$ に対して
$(u, D^{†} ϕ)_{L^{2}} = (f, ϕ)_{L^{2}}$
が成り立つことである。

Dirac作用素のElliptic regularity 1

$D$ をDirac作用素とし、 $\bar{D} : H_{1} (S) \to L^{2} (S)$ をその拡張とする。 $u, f \in L^{2} (S)$ に対して、弱い意味で $D u = f$ が成り立つとすると、 $u \in H_{1} (S)$ である。さらにこのとき、 $\bar{D} u = f$ が成り立つ。

Friedrichのmollifierを $J_{ϵ}$ とし、命題の条件を満たす $u$ に対して、 $u_{ϵ} := J_{ϵ} u$ とする。
もし $| | u_{ϵ} | |_{H^{1}}^{2} \leq C (| | D u_{ϵ} | |_{L^{2}}^{2} + | | u_{ϵ} | |_{L^{2}}^{2}) < \infty$ が言えれば、 $u_{ϵ}$ はある $v \in H_{1} (S)$ に弱収束する。mollifierの性質(iii)より $u_{ϵ} \to u \in L^{2} (S)$ であるから、 $L^{2} (S)$ における弱収束の一意性より $u = v \in H_{1} (S)$ が従う。

（ $| | u_{ϵ} | |_{H^{1}}^{2}$ の評価）
$\begin{aligned} (D u_{ϵ}, ϕ)_{L^{2}} & = (J_{ϵ} u, D^{†} ϕ)_{L^{2}} = (u, J_{ϵ} D^{†} ϕ)_{L^{2}} \\ = (u, J_{ϵ} D^{†} ϕ)_{L^{2}} = (u, D^{†} J_{ϵ} ϕ)_{L^{2}} + (u, [J_{ϵ}, D^{†}] ϕ)_{L^{2}} \\ = (f, J_{ϵ} ϕ)_{L^{2}} + (u, [J_{ϵ}, D^{†}] ϕ)_{L^{2}} \end{aligned}$
より、 $J_{ϵ}, [J_{ϵ}, D^{†}]$ の有界性を使うと
$\begin{array}{r} | (D u_{ϵ}, ϕ)_{L^{2}} | \leq C_{1} | | f | |_{L^{2}} \cdot | | ϕ | |_{L^{2}} + C_{2} | | u | |_{L^{2}} \cdot | | ϕ | |_{L^{2}} \leq C (u, f) | | ϕ | |_{L^{2}} \end{array}$
となり、 $ϕ = D u_{ϵ}$ とおくと
$\begin{array}{r} | | D u_{ϵ} | |_{L^{2}} \leq C \end{array}$
となる。 $J_{ϵ}$ の有界性から $| | u_{ϵ} | |_{L^{2}}^{2} < \infty$ は明らかである。

（ $\bar{D} u = f$ の証明）
$\bar{D} : H_{1} (S) \to L^{2} (S)$ は有界作用素であるから、弱極限の性質を使うと、 $ϕ \in Γ (S)$ に対して、
$\begin{aligned} (\bar{D} u, ϕ)_{L^{2}} & = lim_{ϵ_{i} \to 0} (\bar{D} u_{ϵ_{i}}, ϕ)_{L^{2}} = lim_{ϵ_{i} \to 0} (u_{ϵ_{i}}, {\bar{D}}^{†} ϕ)_{L^{2}} \\ = (u, {\bar{D}}^{†} ϕ)_{L^{2}} = (f, ϕ)_{L^{2}} \end{aligned}$
となる。よって $\bar{D} u = f$ である。