全単射と日常生活での利用法

目次
1.全射、単射、全単射の定義
2.例題
3.日常での利用

全射、単射、全単射の定義

これは、「遷移先の集合のすべての要素には、写像によって遷移する前の要素が必ず存在する」
という意味です。

これは、「遷移先の要素が同じならば遷移する前の要素も同じ」
という意味です。

例題

1. $$f：\mathbb{N}×\mathbb{N}→\mathbb{N}$$
   $$　　(a,b)\mapsto a+b$$
   $$例えば、1 \in \mathbb{N},　\nexists a,b \in \mathbb{N}　s.t.　f((a,b))=a+b=1 $$
   $$よって、fは全射でない$$
   $$また、例えば$$
   $$5=1+4,5=3+2　だから$$
   $$5 \in \mathbb{N},　1,2,3,4 \in \mathbb{N}, (1,4) ≠ (2,3), f((1,4))=f((2,3))=5 $$
   $$よって、fは単射でない$$

2. $$g：\mathbb{N}×\mathbb{N}→\mathbb{Z}$$
   $$　　(a,b)\mapsto a-b$$
   $$a-b=c \in \mathbb{Z}　とする$$
   $$b=1とするとa-1 \geq 0$$
   $$よって$$
   $$c \geq 0⇒\exists (a,b)\in \mathbb{N}×\mathbb{N},　c=a-b=g((a,b))・・・①$$
   $$ $$
   $$a=1とすると1-b \leq 0$$
   $$よって$$
   $$c \leq 0⇒\exists (a,b)\in \mathbb{N}×\mathbb{N},　c=a-b=g((a,b))・・・②$$
   $$①,②から、gは全射$$
   $$また、fと同様、gは単射でない$$

3. $$φ：\mathbb{N}→\mathbb{Z}$$
   $$ 　　a\mapsto a$$
   $$例えば、0 \in \mathbb{Z},　\nexists a \in \mathbb{N}　s.t.　a=φ(a) $$
   $$よって、φは全射でない$$
   $$また$$
   $$\forall a,a' \in \mathbb{Z},　a≠a'　において$$
   $$φ(a)=a,　φ(a')=a'　より、　φ(a)≠φ(a')　が成り立つ（定義2の対偶）$$
   $$よって、φは単射$$

4. $$ψ：\mathbb{N}→\mathbb{Z}$$
   $$　　a \mapsto (-1)^{a}・\frac {a+ \frac{(-1)^{a}-1}{2}}{2}$$
   $$数式の意味$$
   $$aが偶数⇒ψ(a)=\frac{a}{2}$$
   $$aが奇数⇒ψ(a)=-\frac{a-1}{2}$$
   $$1→0$$
   $$2→1$$
   $$3→-1$$
   $$4→2$$
   $$5→-2$$
   $$・$$
   $$・$$
   $$・$$
   $$感覚的に全単射ということがわかるが、数式でも証明する$$
   $$\forall c \in \mathbb{Z}$$
   $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} c \gt 0 ⇒ 2c　　　　\in \mathbb{N} \\ c \le 0 ⇒ -2c+1　\in \mathbb{N} \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
   とおくと
   $$ \exists a \in \mathbb{N}　s.t.　\forall c \in \mathbb{Z}, c=ψ(a) $$
   $$よって、ψは全射$$
   $$\forall a,a' \in \mathbb{N}$$
   $$a≠a'⇒ (-1)^{a}・\frac {a+ \frac{(-1)^{a}-1}{2}}{2} ≠ (-1)^{a'}・\frac {a'+ \frac{(-1)^{a'}-1}{2}}{2}$$
   $$よって、ψは単射$$
   $$ψは全射かつ単射なので全単射$$

日常での利用

1. トランプの代用案

2. アルゴの代用案

Amazon アルゴ ベーシック
$$このカードは黒いカードに書かれた0～11の数字と、白いカードに書かれた0～11までの数字を並び替え、相手の手札の順番を当てた方の勝ちです。$$
$$同じ数字で比べる場合、黒 \lt 白となります。$$

$$対応表(Ｂ:黒、Ｗ：白)$$
$$Ｂ０：０　　　Ｂ６：１２$$
$$Ｗ０：１　　　Ｗ６：１３$$
$$Ｂ１：２　　　Ｂ７：１４$$
$$Ｗ１：３　　　Ｗ７：１５$$
$$Ｂ２：４　　　Ｂ８：１６$$
$$Ｗ２：５　　　Ｗ８：１７$$
$$Ｂ３：６　　　Ｂ９：１８$$
$$Ｗ３：７　　　Ｗ９：１９$$
$$Ｂ４：８　　　Ｂ１０：２０$$
$$Ｗ４：９　　　Ｗ１０：２１$$
$$Ｂ５：１０　　Ｂ１１：２２$$
$$Ｗ５：１１　　Ｗ１１：２３$$

3. ストップウォッチでランダム化計画

手元にコインがない時、手元にサイコロがない時、出席番号順を日付で当てると32番以降の人が有利になる時・・・。
そんな時は、スマホのストップウォッチアプリを起動し、スタートボタンをプッシュ！！

$$※スタートした後にすぐストップするとイカサマができるので、スタート直後の何秒かは放置するとよい$$

4.間違えない語呂合わせ

語呂合わせとは、例えば
野菜⇒831
鳴くよ⇒794
893⇒ヤクザ、薬味
810⇒野獣、野党
と、読み方を数字に置き換えたり、数字を日本語の読み方に変えたりすることを言います。
ここでは、数字を一度日本語に変換し、正確に数字に復元する操作を考えます。
例えば、$ \sqrt{2} $は
$$1.41421356→一夜一夜に人見ごろ$$
と覚えた後
$$一夜一夜に人見ごろ→1.41421356$$
と正確に復元する方法を考えます。

別の記事参照
間違えない語呂合わせ

5.自分で書いた字が読めない！どうすれば？

文字の区別をしなければ、解読は不可能です。
例えば、$I,l,1$をすべて縦棒にすると区別がつかないです。(文脈からとらえることが可能かもしれないですが、労力が必要です)
自分で書くときは、自分なりの判別方法を施すとよいでしょう。
(僕は以下のように区別しています。
$1$：数学で使う時は縦棒、英語で使う時は左右に空白を入れる
$I$：上下に横棒をつける
$l$：数学で使う時は$\ell$、英語で使う時は縦棒)

6.ニックネームの区別

本人とニックネーム、呼び方を区別する方法です。
同じ名前で呼ばれて混乱することが無くなります。
例えば、僕の場合、堀という人が身近に3人いるので、それぞれ
「堀くん」「堀さん」「堀ちゃん」で分けています。
ちなみに全員男です。
これ以上増えたらどうしよう・・・。

7.RPGの地図は球ではなくドーナツ型

全単射を利用した証明です。
RPGの世界は球ではなく………

8.暗号

原文と、暗号文は全単射である必要があります。

別途記載
RSA暗号を作ってみよう

9.誰の歯ブラシ？

5人家族で、歯磨きをするとします。
今のままだと歯ブラシに区別がつかず、別の人の歯ブラシを使う可能性があります。(それでもいいぜ！というご家庭は飛ばしてください。)
こんな時は、歯ブラシに名前を書いたり、歯ブラシを色ごとに分けたりして、誰の歯ブラシか区別をつけるとよいでしょう。

・・・と、日常で使われている全単射を上げるときりがないです。
それほど日常にあふれているということです。
あなたも探してみてください。

2023/1/25追記

申し訳ないのですが、全射の定義についてアライグマ様から指摘がありました。
お詫び申し上げます。

ここで間違っていたのは順番なのですが、順番が違うと意味も違ってきます。
$1.\forall y \in Y,　\exists x \in X　s.t.　y=f(x)$　（正）
$2.\exists x \in X　s.t.　\forall y \in Y,　y=f(x)$　（誤）
$1.$は「$y$を一つ決めると、それに対応した$y=f(x)$となる$x \in X$が存在する」ということです。
$2.$は、「どんな$y$にでも対応できる$y=f(x)$となる$x \in X$が存在する」ということです。
$2.$は分かりにくいと思いますが、例えば
$y_1,y_2,y_3 \in Y のとき y_1=f(x)かつy_2=f(x)かつy_3=f(x)となるxが存在する。$
という意味になってしまいます。
$f(x)=y_1=y_2=y_3$のときしか成り立たんやんけ……