全単射と日常生活での利用法

目次
1.全射、単射、全単射の定義
2.例題
3.日常での利用

全射、単射、全単射の定義

これは、「遷移先の集合のすべての要素には、写像によって遷移する前の要素が必ず存在する」
という意味です。

これは、「遷移先の要素が同じならば遷移する前の要素も同じ」
という意味です。

例題

1. $$f：\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$$
   $$(a,b)\mapsto a+b$$
   $$例えば、1\in \mathbb{N}, \nexists a,b\in \mathbb{N} s.t. f((a,b))=a+b=1$$
   $$よって、fは全射でない$$
   $$また、例えば$$
   $$5=1+4,5=3+2 だから$$
   $$5\in \mathbb{N}, 1,2,3,4\in \mathbb{N},(1,4)\ne (2,3),f((1,4))=f((2,3))=5$$
   $$よって、fは単射でない$$

2. $$g：\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Z}$$
   $$(a,b)\mapsto a-b$$
   $$a-b=c\in \mathbb{Z} とする$$
   $$b=1とするとa-1\ge 0$$
   $$よって$$
   $$c\ge 0\Rightarrow \mathrm{\exists }(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}, c=a-b=g((a,b))・・・\mathrm{①}$$
   $$$$
   $$a=1とすると1-b\le 0$$
   $$よって$$
   $$c\le 0\Rightarrow \mathrm{\exists }(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}, c=a-b=g((a,b))・・・\mathrm{②}$$
   $$\mathrm{①},\mathrm{②}から、gは全射$$
   $$また、fと同様、gは単射でない$$

3. $$\phi ：\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$$
   $$a\mapsto a$$
   $$例えば、0\in \mathbb{Z}, \nexists a\in \mathbb{N} s.t. a=\phi (a)$$
   $$よって、\phi は全射でない$$
   $$また$$
   $$\mathrm{\forall }a,a^{\prime }\in \mathbb{Z}, a\ne a^{\prime }において$$
   $$\phi (a)=a, \phi (a^{\prime })=a^{\prime }より、 \phi (a)\ne \phi (a^{\prime }) が成り立つ（定義2の対偶）$$
   $$よって、\phi は単射$$

4. $$\psi ：\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$$
   $$a\mapsto (-1{)}^a・\frac{a+\frac{(-1{)}^a-1}{2}}{2}$$
   $$数式の意味$$
   $$aが偶数\Rightarrow \psi (a)=\frac{a}{2}$$
   $$aが奇数\Rightarrow \psi (a)=-\frac{a-1}{2}$$
   $$1\to 0$$
   $$2\to 1$$
   $$3\to -1$$
   $$4\to 2$$
   $$5\to -2$$
   $$・$$
   $$・$$
   $$・$$
   $$感覚的に全単射ということがわかるが、数式でも証明する$$
   $$\mathrm{\forall }c\in \mathbb{Z}$$
   $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}c>0\Rightarrow 2c \in \mathbb{N}\\ c\le 0\Rightarrow -2c+1 \in \mathbb{N}\end{array}\end{array}$$
   とおくと
   $$\mathrm{\exists }a\in \mathbb{N} s.t. \mathrm{\forall }c\in \mathbb{Z},c=\psi (a)$$
   $$よって、\psi は全射$$
   $$\mathrm{\forall }a,a^{\prime }\in \mathbb{N}$$
   $$a\ne a^{\prime }\Rightarrow (-1{)}^a・\frac{a+\frac{(-1{)}^a-1}{2}}{2}\ne (-1{)}^{a^{\prime }}・\frac{a^{\prime }+\frac{(-1{)}^{a^{\prime }}-1}{2}}{2}$$
   $$よって、\psi は単射$$
   $$\psi は全射かつ単射なので全単射$$

日常での利用

1. トランプの代用案

2. アルゴの代用案

Amazon アルゴ ベーシック
$$このカードは黒いカードに書かれた0～11の数字と、白いカードに書かれた0～11までの数字を並び替え、相手の手札の順番を当てた方の勝ちです。$$
$$同じ数字で比べる場合、黒<白となります。$$

$$対応表(Ｂ:黒、Ｗ：白)$$
$$Ｂ０：０ Ｂ６：１２$$
$$Ｗ０：１ Ｗ６：１３$$
$$Ｂ１：２ Ｂ７：１４$$
$$Ｗ１：３ Ｗ７：１５$$
$$Ｂ２：４ Ｂ８：１６$$
$$Ｗ２：５ Ｗ８：１７$$
$$Ｂ３：６ Ｂ９：１８$$
$$Ｗ３：７ Ｗ９：１９$$
$$Ｂ４：８ Ｂ１０：２０$$
$$Ｗ４：９ Ｗ１０：２１$$
$$Ｂ５：１０ Ｂ１１：２２$$
$$Ｗ５：１１ Ｗ１１：２３$$

3. ストップウォッチでランダム化計画

手元にコインがない時、手元にサイコロがない時、出席番号順を日付で当てると32番以降の人が有利になる時・・・。
そんな時は、スマホのストップウォッチアプリを起動し、スタートボタンをプッシュ！！

$$※スタートした後にすぐストップするとイカサマができるので、スタート直後の何秒かは放置するとよい$$

4.間違えない語呂合わせ

語呂合わせとは、例えば
野菜⇒831
鳴くよ⇒794
893⇒ヤクザ、薬味
810⇒野獣、野党
と、読み方を数字に置き換えたり、数字を日本語の読み方に変えたりすることを言います。
ここでは、数字を一度日本語に変換し、正確に数字に復元する操作を考えます。
例えば、$\sqrt{2}$は
$$1.41421356\to 一夜一夜に人見ごろ$$
と覚えた後
$$一夜一夜に人見ごろ\to 1.41421356$$
と正確に復元する方法を考えます。

別の記事参照
間違えない語呂合わせ

5.自分で書いた字が読めない！どうすれば？

文字の区別をしなければ、解読は不可能です。
例えば、$I,l,1$をすべて縦棒にすると区別がつかないです。(文脈からとらえることが可能かもしれないですが、労力が必要です)
自分で書くときは、自分なりの判別方法を施すとよいでしょう。
(僕は以下のように区別しています。
$1$：数学で使う時は縦棒、英語で使う時は左右に空白を入れる
$I$：上下に横棒をつける
$l$：数学で使う時は$\ell$、英語で使う時は縦棒)

6.ニックネームの区別

本人とニックネーム、呼び方を区別する方法です。
同じ名前で呼ばれて混乱することが無くなります。
例えば、僕の場合、堀という人が身近に3人いるので、それぞれ
「堀くん」「堀さん」「堀ちゃん」で分けています。
ちなみに全員男です。
これ以上増えたらどうしよう・・・。

7.RPGの地図は球ではなくドーナツ型

全単射を利用した証明です。
RPGの世界は球ではなく………

8.暗号

原文と、暗号文は全単射である必要があります。

別途記載
RSA暗号を作ってみよう

9.誰の歯ブラシ？

5人家族で、歯磨きをするとします。
今のままだと歯ブラシに区別がつかず、別の人の歯ブラシを使う可能性があります。(それでもいいぜ！というご家庭は飛ばしてください。)
こんな時は、歯ブラシに名前を書いたり、歯ブラシを色ごとに分けたりして、誰の歯ブラシか区別をつけるとよいでしょう。

・・・と、日常で使われている全単射を上げるときりがないです。
それほど日常にあふれているということです。
あなたも探してみてください。

2023/1/25追記

申し訳ないのですが、全射の定義についてアライグマ様から指摘がありました。
お詫び申し上げます。

ここで間違っていたのは順番なのですが、順番が違うと意味も違ってきます。
$1.\mathrm{\forall }y\in Y, \mathrm{\exists }x\in X s.t. y=f(x)$　（正）
$2.\mathrm{\exists }x\in X s.t. \mathrm{\forall }y\in Y, y=f(x)$　（誤）
$1.$は「$y$を一つ決めると、それに対応した$y=f(x)$となる$x\in X$が存在する」ということです。
$2.$は、「どんな$y$にでも対応できる$y=f(x)$となる$x\in X$が存在する」ということです。
$2.$は分かりにくいと思いますが、例えば
$y_1,y_2,y_3\in Yのときy_1=f(x)かつy_2=f(x)かつy_3=f(x)となるxが存在する。$
という意味になってしまいます。
$f(x)=y_1=y_2=y_3$のときしか成り立たんやんけ……