文献あり

【超局所層理論第3回】マイクロ台の包合性定理と圏論的超局所化

230

$$\newcommand{bbC}[0]{\mathbb C} \newcommand{bbN}[0]{\mathbb N} \newcommand{bbR}[0]{\mathbb R} \newcommand{bbZ}[0]{\mathbb Z} \newcommand{bfk}[0]{\mathbb{k}} \newcommand{C}[0]{\mathsf{C}} \newcommand{cA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{cB}[0]{\mathcal{B}} \newcommand{Cb}[0]{\mathsf{C}^\mathrm{b}} \newcommand{cC}[0]{\mathcal{C}} \newcommand{cD}[0]{\mathcal{D}} \newcommand{char}[0]{\mathrm{char}} \newcommand{cHom}[0]{\mathcal{H}om} \newcommand{cI}[0]{\mathcal{I}} \newcommand{cJ}[0]{\mathcal{J}} \newcommand{cM}[0]{\mathcal{M}} \newcommand{Cm}[0]{\mathsf{C}^-} \newcommand{cN}[0]{\mathcal{N}} \newcommand{cO}[0]{\mathcal O} \newcommand{Coker}[0]{\operatorname{Coker}} \newcommand{Cp}[0]{\mathsf{C}^+} \newcommand{cRHom}[0]{R\mathcal{H}om} \newcommand{cT}[0]{\mathcal{T}} \newcommand{D}[0]{\mathsf{D}} \newcommand{Db}[0]{\mathsf{D}^\mathrm{b}} \newcommand{dim}[0]{\operatorname{dim}} \newcommand{Dm}[0]{\mathsf{D}^-} \newcommand{Dp}[0]{\mathsf{D}^+} \newcommand{End}[0]{\operatorname{End}} \newcommand{Ext}[0]{\operatorname{Ext}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Image}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{Int}[0]{\mathrm{Int}} \newcommand{K}[0]{\mathsf{K}} \newcommand{Kb}[0]{\mathsf{K}^\mathrm{b}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{Km}[0]{\mathsf{K}^-} \newcommand{Kp}[0]{\mathsf{K}^+} \newcommand{lten}[0]{\overset{L}{\otimes}} \newcommand{lto}[0]{\longrightarrow} \newcommand{Mc}[0]{\mathrm{Mc}} \newcommand{Mod}[0]{\operatorname{Mod}} \newcommand{MS}[0]{\operatorname{SS}} \newcommand{MS}[0]{\mathrm{SS}} \newcommand{Ob}[0]{\mathrm{Ob}} \newcommand{op}[0]{\mathrm{op}} \newcommand{or}[0]{\mathrm{or}} \newcommand{PSh}[0]{\mathrm{PSh}} \newcommand{pt}[0]{\mathrm{pt}} \newcommand{RG}[0]{R\Gamma} \newcommand{RHom}[0]{R\mathrm{Hom}} \newcommand{Sh}[0]{\mathrm{Sh}} \newcommand{simto}[0]{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{supp}[0]{\operatorname{supp}} \newcommand{Supp}[0]{\operatorname{Supp}} \newcommand{tl}[0]{\widetilde} \newcommand{toone}[0]{\overset{+1}{\to}} $$

はじめに

こんにちは！超局所層理論の第3回です．今回はマイクロ台の形は制限されていることを述べる包合性定理と層の導来圏の超局所化についてさっと説明したいと思います．今回も証明はほとんどありませんのでご了承ください．

前回までのおさらい

$\bfk$を有限な大域次元を持つ環，$X$を多様体として$\pi \colon T^*X \to X$で余接束をあらわします．
第1回：$X$上の$\bfk$加群の層の複体$F \in \Db(\bfk_X)$に対して，そのコホモロジーが伝播しない余方向として層のマイクロ台$\MS(F)$という$X$の余接束$T^*X$の錐状閉集合を定義したのでした．そして様々な層についてそのマイクロ台がどうなっているのかの例を調べて，良い状況ではマイクロ台が層の形を強く制限することがあることも見ました．
第2回：層に対する様々な演算を施した後のマイクロ台を評価する方法について説明しました．またそれらを使ってマイクロ台を切り落とす超局所切り落としという操作を定義しました．このように考えると余接束$T^*X$の中のある部分集合上だけに注目して調べる超局所的な見方を実現したくなってくるということも述べました．

マイクロ台の包合性定理

ここでは前回までに説明し忘れていた，一般に層のマイクロ台が満たすべき条件を述べる包合性定理を説明します．これは層のマイク台は常にシンプレクティック幾何の意味で包合的となっているという主張です．これまでも見たように層のマイクロ台は$T^*X$の部分多用体とは限らないので正しく主張を述べるには一般の部分集合に対して包合性を定め何といけませんが，ここでは単に$T^*X$の部分多様体の包合性だけを述べてごまかすことにします．

余接束$T^*X$の局所斉次座標を$(x;\xi)$として，$T^*X$上の2次微分形式$\omega$を$\omega:=\sum_{i=1}^{d} d\xi_i \wedge dx_i=d \langle \xi, dx \rangle$を定めます．ここで$d=\dim X$としました．すると，この$\omega$は閉形式$d\omega=0$であって非退化となっているので$T^*X$上のシンプレクティック形式を定めています（人によっては$\omega$の符号がずれていることもあるので注意しましょう）．各点$p \in T^*X$において$\omega_p$は$T_p(T^*X) \simeq \bbR^{2d}$上の非退化交代双線形形式を定めています．$T_p(T^*X)$の部分集合$W$に対して，
$$ W^{\perp \omega_p} := \{ \zeta \in T_p(T^*X) \mid \omega_p(\zeta,z)=0 \ (\forall z \in W) \} \subset T_p(T^*X) $$
と定めます．$W$が線形部分空間ならば$W^{\perp \omega_p}$は$\omega_p$に関する$W$の直交補空間のことです．

包合的・ラングランジュ部分多様体

$A$を$T^*X$の部分多様体とする．$A$が$T^*X$の包合的 (involutive/coisotropic) 部分多様体であるとは，任意の$p \in A$に対して$(T_pA)^{\perp \omega_p} \subset T_pA$を満たすことをいう．また，$A$が$T^*X$のラグランジュ部分多様体であるとは，任意の$p \in A$に対して$(T_pA)^{\perp \omega_p} = T_pA$を満たすことをいう．

$A$が$T^*X$の包合的部分多様体ならば$\dim A \ge d=\dim X=\frac{1}{2} \dim T^*X$となります．また，$A$が$T^*X$のラグランジュ部分多様体ならば$\dim A = d=\dim X=\frac{1}{2} \dim T^*X$です．これらはシンプレクティック幾何学において重要な対象です．ちなみに任意の$p \in A$に対して$(T_pA)^{\perp \omega_p} \supset T_pA$を満たすときはisotropicと呼ばれます．上では部分多様体について包合性を定義しましたが，$T^*X$の部分集合$A$に対しても法錐$C_p(A), C_p(A,A) \subset T_p(T^*X)$を使って包合性を定めることができます．すなわち，$A$が包合的であるとは任意の$p \in A$に対して$(C(A,A))^{\perp \omega_p} \subset C_p(A)$を満たすことをいいます．$A$が部分多様体ならば$C_p(A)=C_p(A,A)=T_pA$なので，これは上の定義の拡張になっています．詳しくはSheaves on Manifoldsなどを参照してください．

さて包合性の定義を得てしまえばマイクロ台の包合性定理の主張は次のようになります．

マイクロ台の包合性定理

任意の$F \in \Db(\bfk_X)$に対して，$\MS(F) \subset T^*X$は包合的である．

この定理は層のマイクロ台は$T^*X$内のどんな形にもなれるわけではなく，形がかなり制限されているということを述べています．特にマイクロ台が部分多様体ならば次元が$\dim X$以上であることも分かります．この定理はもともと微分方程式の解の特異性がどのように伝播するかに関係していましたが，最近（2021年現在）ではシンプレクティック幾何学との関わりで非常に重要な位置を占めています．

ところで，包合的なものの中に特殊なものとして次元が一番小さいラグランジュというものが入っていたのでした（上では部分多様体にしか定義していないのでごまかしています）．そこで，「マイクロ台がラグランジュになる層はどのようなものか？」という問いが考えられます．実はこれが（弱）構成可能層と呼ばれるものなのです！この話はしばらくあとで説明したいと思います．近年の層理論のシンプレクティック幾何学への応用では，与えられたラグランジュ多様体に対してマイクロ台がそれに一致する層量子化と呼ばれる層を構成することが重要になっています．

特性多様体の包合性定理との関わり

第1回の例6で述べたように，複素多様体$X$上の連接$\cD_X$加群$\cM$に対して$\MS(\cRHom_{\cD_X}(\cM,\cO_X))=\char(\cM)$が成り立つ．したがって，上のマイクロ台の包合性定理から特性多様体$\char(\cM)$は常に包合的であることが従う．実はマイクロ台の発明以前に，特性多様体の包合性はSato-Kawai-Kashiwara（通常SKKと呼ばれる論文）によって解析的手法で，Gabberにより代数的手法で証明されていた．上のKashiwara-Schapiraによる包合性定理はより幾何学的でしかも実の状況で働くものであるという点で面白い．証明はあとで述べる$\mu hom$という重要な道具を用いる．

圏論的超局所化

前回も述べた「余接束$T^*X$内で局所的に層を調べる」ということを実行するために，圏論的超局所化という余接束内の部分集合上だけに着目して層を調べることができる圏を導入します．このためにまずは三角圏の局所化について説明します．

三角圏の局所化

$\cT$を三角圏として$[1] \colon \cT \to \cT$を付随する自己同形函手とします（三角圏の完全でない説明は層理論5.5回を参照）．このとき，$\cT$の対象$\Ob(\cT)$の部分族$\cN$に関して，三角圏$\cT'$と函手$Q \colon \cT \to \cT'$の組$(\cT',Q)$であって次の2条件を満たすものが存在すれば，この$\cT'$を$\cN$による局所化$\cT/\cN$と定めたくなります．

局所化の条件
(1) $Q$は三角函手，すなわちシフトと可換で完全三角を完全三角にうつすものであって，任意の$L \in \cN$に対して$Q(L) \simeq 0$．
(2) $T \colon \cT \to \cC$を三角圏の間の三角函手として，任意の$L \in \cN$に対して$T(L) \simeq 0$を満たすと仮定する．このとき，$T' \colon \cT' \to \cC$が一意的に存在して，$T \simeq T' \circ Q$を満たす．

これはまさに三角圏$\cT$を対象の部分族$\cN$で割った三角圏とみなすことができるわけです．$\cN$が次のゼロ系という条件を満たすときには，この割る操作が実現可能になります．

ゼロ系 (null system)

$\Ob(\cT)$の部分族$\cN$がゼロ系 (null system) であるとは，次の三条件を満たすことをいう．
(1) $0 \in \cN$,
(2) $L \in \cN \Leftrightarrow L[1] \in \cN$,
(3) $L \to M \to N \to L[1]$が完全三角で$L, M \in \cN$ならば$N \in \cN$である．

コホモロジーが消滅する複体はホモトピー圏内のゼロ系

$\cA$をアーベル圏として，複体のホモトピー圏$\K(\cA)$を考える．このとき，
$$ \cN := \{ L \in \K(\cA) \mid H^n(L) \simeq 0 \ (\forall n \in \bbZ) \} $$
と定めると$\cN$はゼロ系となる．実際，(1)と(2)の条件が満たされることはよく，(3)は$H^0$がコホモロジー的函手であることから従う．

ゼロ系に対しては次のように積閉系を対応させることができます．

ゼロ系から積閉系を構成

$\cN$を$\cT$のゼロ系として，
$$ S(\cN):= \{ s \colon L \to M \mid \text{完全三角$L \xrightarrow{s} M \to N \to L[1]$で$N \in \cN$なるものが存在する} \} $$
と定める．
(i) $S(\cN)$は積閉系である．
(ii) $\cT_S$と$Q \colon \cT \to \cT_S$を$\cT$の$S:=S(\cN)$による局所化（層理論5.5回も参照）とすると，$Q$による$\cT$の完全三角の像と同形なものを完全三角と定めることで$\cT_S$は三角圏となり，組$(\cT_S,Q)$は上の局所化の条件を満たす．

概略

(i)はそれほど難しくなく頑張ればできる．ただし八面体公理を使わないといけない．
(ii)で面倒なのは$\cT_S$が三角圏になるパートである．これには例えばCategories and Sheaves（とその訂正文献）を参照せよ．それができてしまえば，条件のチェックは次のように難しくない．
(1)：完全三角$0 \to L \xrightarrow{\id_X} L \to 0$を考えれば$L \in \cN$なら$0 \to X$は$S$に入るので$\cT_S$では同形である．
(2)：$s \in S$とすると完全三角$L \xrightarrow{s} M \to N \to L[1]$で$N \in \cN$なるものが存在する．ここに三角函手$T \colon \cT \to \cC$を施すと完全三角$T(L) \xrightarrow{T(s)} T(M) \to T(N) \to T(L)[1]$が得られるが，$T(N) \simeq 0$なので$T(s)$は同形である．

ゼロ系と擬同形

上の例1の$\cN$を再び考える．このとき，$S(\cN)$は$\K(\cA)$の擬同形全体に他ならない．したがって，上の命題で作られる$\cT_S$は導来圏そのものである．

ゼロ系による三角圏の局所化

$\cN$を$\cT$のゼロ系として上の命題の記号を用いる．$\cT/\cN:=\cT_{S}$と定めて$\cT$の$\cN$による局所化と呼ぶ．

上でも述べたように$\cA$をアーベル圏として$\cT=\K(\cA)$，$\cN$を例1のようにすれば，$\cT/\cN$は導来圏$\D(\cA)$となります．この意味でゼロ系による三角圏の局所化は導来圏の構成の一般化になっているのです．次の小節ではマイクロ台から定まるゼロ系で層の導来圏を局所化することを考えます．

層の導来圏の超局所化

さて，層の話に戻って多様体$X$上の有界導来圏$\Db(\bfk_X)$を考えます．$\Omega$を$T^*X$の（開とは限らない）部分集合とします．このとき，$\Omega$だけでマイクロ台を考えてそれ以外の部分では無視した圏を考えたかったのでした．これを可能にする圏はゼロ系による局所化で構成することができます．

$A$を$T^*X$の部分集合としたとき
$$ \Db_A(\bfk_X):= \{ F \in \Db(\bfk_X) \mid \MS(F) \subset A \} $$
と定めます．すると，$\Ob(\Db_A(\bfk_X))$はゼロ系になります．実際，$0 \in \Db(\bfk_X)$のマイクロ台は空集合なので条件(1)はよく，マイクロ台は相対コホモロジーの茎のすべてのコホモロジーの消滅を使って定義されたの$\MS(F)=\MS(F[1])$でありシフトの条件(2)もOKです．(3)の条件は三角不等式，すなわち完全三角$F \to G \to H \to F[1]$に対して$\MS(H) \subset \MS(F) \cup \MS(G)$であることから従います．よって，前小節で見た局所化を適用することができます．$\Omega$だけを見たければマイクロ台が$T^*X \setminus \Omega$に入っているものは無視してやって全部ゼロだとみなしてやればよいのです．

圏論的超局所化

$\Omega$を$T^*X$の部分集合としたとき，
$$ \Db(\bfk_X;\Omega):=\Db(\bfk_X)/\Ob(\Db_{T^*X \setminus \Omega}(\bfk_X)) $$
と定める．$F,G \in \Db(\bfk_X)$が$\Db(\bfk_X;\Omega)$で同形のとき，$F$と$G$は$\Omega$上同形であるという．
余接束の点$p \in T^*X$に対しては，$\Db(\bfk_X;\{p\})$を単に$\Db(\bfk_X;p)$と書く．

定義から$\Db(\bfk_X)$における完全三角$F \to G \to H \to F[1]$であって$\MS(H) \cap \Omega=\emptyset$となるものに対して，$F$と$G$は$\Omega$上同形になります．ゆえに超局所切り落とし（第2回の定理6）の(ii)は$P_\gamma(F)$と$F$は$T^*X \times E \times \Int(\gamma^\circ)$上同形であると言い換えることができます．$F \in \Db(\bfk_X;\Omega)$に対して$\MS(F) \cap \Omega$はwell-definedであることにも注意しましょう．このようにして$\Db(\bfk_X;\Omega)$を用いることで$\Omega$上だけで層を調べることができて超局所的な見かたが可能になるのです．

$\Db(\bfk_X,p)$の重要な点は，この上でマイクロ台を定義するときに現れた障害（超局所的茎）がwell-definedになることです．実際，$F \to G \to H \to F[1]$を$\Db(\bfk_X)$における完全三角として$p \not\in \MS(H)$であるとして$F$と$G$が同じ障害を持っていることを示せば良いわけです．$\varphi \colon X \to \bbR$を$C^\infty$級函数で$d\varphi(x_0)=p$を満たすものとすると，完全三角
$$ \RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(F)_{x_0} \to \RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(G)_{x_0} \to \RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(H)_{x_0} \to \RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(F)_{x_0}[1] $$
が得られますが，仮定から$\RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(H)_{x_0} \simeq 0$なので$\RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(F)_{x_0} \simto \RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(G)_{x_0}$となります．よって，$F$に対してこの超局所的な障害$\RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(F)_{x_0}$を計算しようと思ったら，超局所化された圏$\Db(\bfk_X;p)$で同形になるものをうまく取って取り替えて計算してやれば良いわけです．例えば$M$を$X$の閉部分多様体，$V \in \Db(\bfk)$を$\bfk$加群の複体として$V_M \in \Db(\bfk_X)$という層を考えます．$V_M$の$p \in T^*_MX$（余法束）での超局所的な障害を計算してみると，$\varphi$が$M$上$x_0=\pi(p)$の近傍でモース的であるならば$x_0$での$\varphi|_M$のモース指数を$\ind(x_0;\varphi|_M)$と書くと
$$ \RG_{\{\varphi \ge \varphi(x_0) \}}(V_M)_{x_0} \simeq V[-\ind(x_0;\varphi|_M)] $$
となることがチェックできます．さて，それではいつこのような$\Db(\bfk_X;p)$における同形が期待できるでしょうか？実は$p$の近傍でマイクロ台$\MS(F)$が余法束や包合的部分多様体に含まれている場合には，これが成り立つというのが次の小節で説明したいことです．

超局所圏における同形定理

第1回の例2で，$X$の閉部分多様体$M$と$0 \neq V \in \Db(\bfk)$に対して$V_M \in \Db(\bfk_X)$のマイクロ台は$\MS(V_M)=T^*_MX$と余法束になることを見ました．逆に$F \in \Db(\bfk_X)$が$\MS(F) \subset T^*_MX$を満たしていれば$F \simeq V_M$かは一般には分からないですが，超局所的には正しいというのが次の命題です．

マイクロ台が超局所的に余法束に含まれていれば超局所的には閉部分多様体に台を持つ定数層

$M$を$X$の閉部分多様体として$i \colon M \to X$を埋め込みとする．$p \in T^*_MX, F \in \Db(\bfk_X)$とする．
(i) $p$の近傍で$\MS(F) \subset \pi^{-1}(M)$であると仮定する．このとき，$G \in \Db(\bfk_M)$が存在して$\Db(\bfk_X;p)$において$F \simeq i_*G$が成り立つ．
(ii) $p$の近傍で$\MS(F) \subset T^*_MX$であると仮定する．このとき，$V \in \Db(\bfk)$が存在して$\Db(\bfk_X;p)$において$F \simeq V_M$が成り立つ．

概略

(i) $p \in 0_X$はのときはすぐ分かるので$p \not\in 0_X$として考える．余次元に関する帰納法により$M$が$X$の超曲面の場合に帰着される．$M=\{ \varphi=0 \}$として$p=(x_0;\varphi(x_0))$とする．前回は説明しなかったし十分述べられるだけ準備をしていないが，実はマイクロ台の評価より$p \not\in \MS(\RG_{\{ \varphi < 0 \}}(F))$となるので$\RG_{\{ \varphi \ge 0 \}}(F) \to F$は$\Db(\bfk_X;p)$における同形である．よって初めから$\Supp(F) \subset \{ \varphi \ge 0 \}$としてよく，このときは（これも説明していないが）マイクロ台の評価より$p \not\in \MS(F_{\{ \varphi >0 \}})$となり$F \to F_{\{ \varphi \le 0 \}} \simeq F_M$は$\Db(\bfk_X;p)$における同形である．

(ii) (i)により$G \in \Db(\bfk_M)$が存在して$\Db(\bfk_X;p)$において$F \simeq i_*G$が成り立つ．前回の命題1より，$\pi(p)$の近傍で$\MS(G) \subset 0_M$が成り立つ．ゆえに第1回の命題2より$V \in \Db(\bfk)$が存在して$\pi(p)$の近傍で$G \simeq V_M$が成り立つ．よって，$\Db(\bfk_X;p)$において$F \simeq V_M$が成り立つ．

こうしてマイクロ台が層の形を統制するというストーリーを超局所圏を導入することでさらに一歩進めることができたのでした．上記のように$\Db(\bfk_X;p)$における$F \simeq V_M$が得られるならば，前小節の最後に計算してみせたことから逆に$V$を$F$の$p$における超局所的障害で計算することができます．

$f \colon X \to Y$が沈め込みのときは前回の命題2より，$G \in \Db(\bfk_Y)$に対して$\MS(f^{-1}G) \subset f_d f_\pi^{-1}(\MS(G)) \subset f_d(X \times_Y T^*Y)$が成り立っており，逆に$F \in \Db(\bfk_X)$に対して大域的に$\MS(F) \subset f_d(X \times_Y T^*Y)$が成り立っていたら$X$上局所的に$G \in \Db(\bfk_Y)$が存在して$F \simeq f^{-1}G$が成り立ちます．上の命題よりさらに精密に議論を行うことで，この超局所版の次の命題も証明することができます．

沈め込みに関する超局所的同形

$f \colon X \to Y$を沈め込みとして$f_d$によって$X \times_Y T^*Y$を$T^*X$の部分多様体とみなす．$p \in X \times_Y T^*Y, F \in \Db(\bfk_X)$として$p$の近傍で$\MS(F) \subset X \times_Y T^*Y$であると仮定する．このとき，$G \in \Db(\bfk_Y)$が存在して$\Db(\bfk_X;p)$において$F \simeq f^{-1}G$が成り立つ．

余接束上に層を持ち上げる？超局所圏のHomを並べた層？

さて，ここまでは多様体$X$上の層のマイクロ台を考えることで余接束$T^*X$の部分集合を構成して，それを使って層の導来圏を超局所化したりしてきました．それでは$X$上の層から余接束$T^*X$上の層を作って，そこからマイクロ台など様々な情報を引き出すことはできないでしょうか？もっと具体的には次のような期待があります．
(1) 台が$\MS(F)$になる$T^*X$上の層がほしい．
(2) （若干天下りだが）$F,G \in \Db(\bfk_X)$に対して$p \in T^*X$における茎が$\Hom_{\Db(\bfk_X;p)}(F,G)$になる$T^*X$上の層がほしい．この層は$\cRHom_{\Db(\bfk_X)}(F,G)$の情報も持っていてほしい．

実はこの二つは$\mu hom$という道具を使うことで達成できるのです．すなわち，$\mu hom \colon \Db(\bfk_X)^{\op} \times \Db(\bfk_X) \to \Db(\bfk_{T^*X})$という函手が存在して，次を満たします：
(1) $\Supp(\mu hom(F,F))=\MS(F)$,
(2) $p \in T^*X$に対して$H^0(\mu hom(F,G)_p) \simeq \Hom_{\Db(\bfk_X;p)}(F,G)$,$R \pi_* \mu hom(F,G) \simeq \cRHom(F,G)$.

こうして，マイクロ台だけでなく$T^*X$上の層を作って，そこから様々な情報を引き出すことができるのです！次回からはこの$\mu hom$に向かってどのような構成をしていけば良いかを説明していきたいと思います．

Kashiwara-Schapiraスタック

超局所圏のより最近（2021年現在）の扱いはKashiwara-Schapiraスタックというものを使って定式化されているようである（筆者はそれほど詳しくない）．つまり大体は$T^*X$の開集合$\Omega$に対して$\Ob(\mu \Sh^0(\Omega)):=\Ob(\Db(\bfk_X))$，$F,G \in \mu \Sh^0(\Omega)$に対して$\Hom_{\mu \Sh^0(\Omega)}(F,G):=\Hom_{\Db(\bfk_X;p)}(F,G)$と定めて，$\mu \Sh^0$に付随するスタックをKashiwara-Schapiraスタック$\mu \Sh(\bfk_T^*X)$と定める．実際には$T^*X$全体で考えると困難が多いので$T^*X$の局所閉な錐状ラグランジュ部分多様体$\Lambda$に制限して$\Lambda$上のスタック$\mu\Sh(\bfk_\Lambda)$を考える．このKashiwara-Schapiraスタックを調べる際には上記の条件(2)によって$\mu hom$が重要な役割を果たすのである．