高校数学から始める数値計算（１）：補間多項式

まず存在性を示す．$i=1,\dots ,n$に対し，多項式$g_i(x)$を
$$g_i(x)=(x-p_1)\cdots (x-p_{i-1})(x-p_{i+1})\cdots (x-p_n)$$
で定義する．このとき
$$g_i(p_j)=\{\begin{array}{ll}(p_j-p_1)\cdots (p_j-p_{i-1})(p_j-p_{i+1})\cdots (p_j-p_n)& (j=i)\\ 0& (j\ne i)\end{array}(j=1,\dots ,n)$$
である．仮定により$i\ne j$なら$p_i\ne p_j$なので，$g_i(p_i)\ne 0$である．したがって
$$f(x)=q_1{h}_1(x)+\cdots +q_n{h}_n(x),h_i(x)=\frac{1}{g_i(p_i)}{g}_i(x)$$
により多項式$f(x),h_1(x),\dots ,h_n(x)$を定義すれば
$$\begin{array}{rl}f(p_i)& =q_1{h}_1(p_i)+\cdots +q_n{h}_n(p_i)\\ & =q_{1}0+\cdots +q_{i-1}0+q_i\left(\frac{1}{g_i(p_i)}{g}_i(p_i)\right)+q_{i+1}0+\cdots +q_{n}0\\ & =q_i\end{array}$$
となる．$h_1(x),\dots ,h_n(x)$の次数は$n-1$次なので，これらの定数倍の和である$f(x)$の次数は最大でも$n-1$である．

次に一意性を示す．多項式$f_1(x),f_2(x)$はともに次数が$n-1$以下であり，かつすべての$i=1,\dots ,n$に対して$q_i=f_1(p_i)=f_2(p_i)$を満たすとする．$g(x)=f_1(x)-f_2(x)$で多項式$g(x)$を定義すると，$g(x)$の次数も$n-1$以下である．また，$x=p_1,\dots ,p_n$のとき$g(x)=0$であり，$p_1,\dots ,p_n$はどの２つも相異なるので，因数定理により$g(x)$は$x-p_1,\dots ,x-p_n$を因数に持つ．すなわち，$g(x)$は多項式$A(x)$によって
$$g(x)=A(x)(x-p_1)\cdots (x-p_n)$$
と書ける．$g(x)$の次数は$n-1$以下なので，この等式が成り立つには$A(x)=0$でなければならない．よって$g(x)=0$であるので，$f_1(x)=f_2(x)$が示された．

帰納法により示す．$n=1$のときは$f(x)=q_1$なので明らかに成り立つ．次に，$n-1$個以下の点に関する補間多項式について成立を仮定する．点$P_1,\dots ,P_n$に関する補間多項式を$f(x)$とする．点$P_1,\dots ,P_{n-1}$に関する補間多項式を$g(x)$，$P_2,\dots ,P_n$に関する補間多項式を$h(x)$とおくと，多項式
$$\frac{(x-p_1)h(x)-(x-p_n)g(x)}{p_n-p_1}$$
は次数が$n-1$以下であり，かつ点$P_1,\dots ,P_n$を通る．定理1により補間多項式は一意なので，これは補間多項式$f(x)$である．右辺の$n-1$次の項の係数（$0$であることもある）は，帰納法の仮定により
$$\frac{[q_2,\dots ,q_n]-[q_1,\dots ,q_{n-1}]}{p_n-p_1}=[q_1,\dots ,q_n]$$
である．定理2により，$f(x)$は実数$A_1,\dots ,A_{n-1}$によって
$$f(x)=q_1+\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k(x-p_1)\cdots (x-p_k)$$
と書けるが，この$n-1$次の項の係数は$A_{n-1}$であるので
$$f(x)=\left(q_1+\sum _{k=1}^{n-2}{A}_k(x-p_1)\cdots (x-p_k)\right)+[q_1,\dots ,q_n](x-p_1)\cdots (x-p_{n-1})$$
である．上の第１項は$g(x)$に等しいので，帰納法の仮定により
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\left(q_1+\sum _{k=1}^{n-2}[q_1,\dots ,q_{k+1}](x-p_1)\cdots (x-p_k)\right)+[q_1,\dots ,q_n](x-p_1)\cdots (x-p_{n-1})\\ & =q_1+\sum _{k=1}^{n-1}[q_1,\dots ,q_{k+1}](x-p_1)\cdots (x-p_k)\end{array}$$
である．よって，$n$個の点に関する補間多項式についても命題は成り立つ．

どの２つも相異なる$n+1$個の実数$x_1,\dots ,x_{n+1}\in I$について$g(x_1)=\cdots =g(x_{n+1})=0$であるとする．$j=1,\dots ,n$に対し，$I_{1,j}=[x_j,x_{j+1}],{\mathring{I}}_{1,j}=(x_j,x_{j+1})$とおく．関数$g(x)$は$I_{1,j}$で連続かつ${\mathring{I}}_{1,j}$で微分可能なので，平均値の定理により
$$g^{(1)}({\xi }_{1j})=\frac{g(x_j)-g(x_{j+1})}{x_j-x_{j+1}}=\frac{0-0}{x_j-x_{j+1}}=0$$
を満たす${\xi }_{1,j}\in {\mathring{I}}_{1,j}$が存在する．これにより，$n$個の実数${\xi }_{1,1}<\cdots <{\xi }_{1,n}$を$g^{(1)}(x)$の値が$0$であるように取れる．この$n$項数列を${\xi }_1=\{{\xi }_{1,n}\}$とする．

同様に，$j=1,\dots ,n-1$に対して，$I_{2,j}=[{\xi }_{1,j},{\xi }_{1,j+1}],{\mathring{I}}_{2,j}=({\xi }_{1,j},{\xi }_{1,j+1})$とおく．再び平均値の定理により
$$g^{(2)}({\xi }_{2,j})=\frac{g^{(1)}({\xi }_{1,j})-g^{(1)}({\xi }_{1,j+1})}{{\xi }_{1,j}-{\xi }_{1,j+1}}=\frac{0-0}{{\xi }_{1,j}-{\xi }_{1,j+1}}=0$$
を満たす${\xi }_{2,j}\in {\mathring{I}}_{2,j}$が存在する．${\xi }_{2,1},\dots ,{\xi }_{2,n-1}$により，さきほどと同様に$n-1$項数列${\xi }_2=\{{\xi }_{2,n}\}$を定義する．

以下，これを繰り返すことによって数列${\xi }_3,\dots ,{\xi }_n$を定義する．${\xi }_j$は$n+1-j$項数列であり，その項に現れる任意の数$a$は$g^{(j)}(a)=0$を満たす．よって，特に$j=n$のとき${\xi }_n$は項をただ１つもち，その項$\xi$は$g^{(n)}(\xi )=0$を満たす．

$t=x_2,\dots ,x_{n-1}$のときは$(t-x_1)\cdots (t-x_n)=0$であるから，$\xi$は区間$(x_1,x_n)$上の任意の値にしてよい（たとえば$\xi =(x_1+x_n)/2$とすればよい）．そこで，$t$が$x_2,\dots ,x_{n-1}$のいずれとも等しくない場合について示す．
$$g(x)=f(x)-p(x)-a(x-x_1)\cdots (x-x_n)$$
とおく．ただし$a$は$g(t)=0$であるように取る．すなわち
$$a=\frac{f(t)-p(t)}{(t-x_1)\cdots (t-x_n)}$$
とする．

$x=x_1,\dots ,x_n,t$のとき$g(x)=0$であり，かつ関数$g(x)$は仮定により$n$階微分可能である．よって，補題5により$g^{(n)}(\xi )=0$を満たす$\xi \in (x_1,x_n)$が存在する．ここで
$$g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-p^{(n)}(\xi )-an!=0\therefore a=\frac{f^{(n)}(\xi )-p^{(n)}(\xi )}{n!}$$
である．$p(x)$の次数は最大でも$n-1$なので$p^{(n)}(\xi )=0$であり
$$a=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}\therefore f(t)-p(t)-\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}(t-x_1)\cdots (t-x_n)=g(t)=0$$
となる．したがって
$$f(t)-p(t)=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}(t-x_1)\cdots (t-x_n)$$
である．後半は明らか．