高校数学から始める数値計算（１）：補間多項式

まず存在性を示す．$i=1,\dots,n$に対し，多項式$g_i(x)$を
$$ g_i(x) = (x-p_1) \cdots (x-p_{i-1})(x-p_{i+1}) \cdots (x-p_n) $$
で定義する．このとき
$$ g_i(p_j) = { \begin{cases} (p_j-p_1) \cdots (p_j-p_{i-1})(p_j-p_{i+1}) \cdots (p_j-p_n) & (j = i) \\ 0 & (j \neq i) \end{cases} \quad (j = 1,\dots,n) } $$
である．仮定により$i \neq j$なら$p_i \neq p_j$なので，$g_i (p_i) \neq 0$である．したがって
$$ f(x) = q_1h_1(x) + \cdots + q_nh_n(x), \quad h_i(x) = \frac{1}{g_i(p_i)} g_i(x) $$
により多項式$f(x), h_1(x), \dots, h_n(x)$を定義すれば
\begin{align*} f(p_i) &= q_1h_1(p_i) + \cdots + q_nh_n(p_i) \\ &= q_10 + \cdots + q_{i-1}0 + q_i\pqty{\frac{1}{g_i(p_i)} g_i(p_i)} + q_{i+1}0 + \cdots + q_n0 \\ &= q_i \end{align*}
となる．$h_1(x), \dots, h_n(x)$の次数は$n-1$次なので，これらの定数倍の和である$f(x)$の次数は最大でも$n-1$である．

次に一意性を示す．多項式$f_1(x), f_2(x)$はともに次数が$n-1$以下であり，かつすべての$i = 1, \dots, n$に対して$q_i = f_1(p_i) = f_2(p_i)$を満たすとする．$g(x) = f_1(x) - f_2(x)$で多項式$g(x)$を定義すると，$g(x)$の次数も$n-1$以下である．また，$x = p_1, \dots, p_n$のとき$g(x) = 0$であり，$p_1,\dots,p_n$はどの２つも相異なるので，因数定理により$g(x)$は$x-p_1,\dots,x-p_n$を因数に持つ．すなわち，$g(x)$は多項式$A(x)$によって
$$ g(x) = A(x)(x-p_1) \cdots (x-p_n) $$
と書ける．$g(x)$の次数は$n-1$以下なので，この等式が成り立つには$A(x) = 0$でなければならない．よって$g(x) = 0$であるので，$f_1(x) = f_2(x)$が示された．

帰納法により示す．$n=1$のときは$f(x)=q_1$なので明らかに成り立つ．次に，$n-1$個以下の点に関する補間多項式について成立を仮定する．点$P_1,\dots,P_n$に関する補間多項式を$f(x)$とする．点$P_1, \dots, P_{n-1}$に関する補間多項式を$g(x)$，$P_2, \dots, P_n$に関する補間多項式を$h(x)$とおくと，多項式
$$ \frac{(x-p_1)h(x) - (x-p_n)g(x)}{p_n-p_1} $$
は次数が$n-1$以下であり，かつ点$P_1,\dots,P_n$を通る．定理1により補間多項式は一意なので，これは補間多項式$f(x)$である．右辺の$n-1$次の項の係数（$0$であることもある）は，帰納法の仮定により
$$ \frac{[q_2,\dots,q_n]-[q_1,\dots,q_{n-1}]}{p_n-p_1} = [q_1,\dots,q_n] $$
である．定理2により，$f(x)$は実数$A_1,\dots,A_{n-1}$によって
$$ f(x) = q_1 + \sum_{k=1}^{n-1} A_k(x-p_1)\cdots (x-p_k) $$
と書けるが，この$n-1$次の項の係数は$A_{n-1}$であるので
$$ f(x) = \pqty{q_1 + \sum_{k=1}^{n-2} A_k(x-p_1)\cdots (x-p_k)} + [q_1,\dots,q_n](x-p_1)\cdots (x-p_{n-1}) $$
である．上の第１項は$g(x)$に等しいので，帰納法の仮定により
\begin{align*} f(x) &= \pqty{q_1 + \sum_{k=1}^{n-2} [q_1,\dots,q_{k+1}](x-p_1)\cdots (x-p_k)} + [q_1,\dots,q_n](x-p_1)\cdots (x-p_{n-1}) \\ &= q_1 + \sum_{k=1}^{n-1} [q_1,\dots,q_{k+1}](x-p_1)\cdots (x-p_k) \end{align*}
である．よって，$n$個の点に関する補間多項式についても命題は成り立つ．

どの２つも相異なる$n+1$個の実数$x_1,\dots,x_{n+1} \in I$について$g(x_1) = \cdots = g(x_{n+1}) =0$であるとする．$j=1,\dots,n$に対し，$I_{1,j}=[x_j,x_{j+1}], \mathring{I}_{1,j}=(x_j,x_{j+1})$とおく．関数$g(x)$は$I_{1,j}$で連続かつ$\mathring{I}_{1,j}$で微分可能なので，平均値の定理により
$$ g^{(1)}(\xi_{1j}) = \frac{g(x_j)-g(x_{j+1})}{x_j-x_{j+1}} = \frac{0-0}{x_j-x_{j+1}}=0 $$
を満たす$\xi_{1,j} \in \mathring{I}_{1,j}$が存在する．これにより，$n$個の実数$\xi_{1,1} < \dots < \xi_{1,n}$を$g^{(1)}(x)$の値が$0$であるように取れる．この$n$項数列を$\xi_1 = \{ \xi_{1,n} \}$とする．

同様に，$j=1,\dots,n-1$に対して，$I_{2,j}=[\xi_{1,j},\xi_{1,j+1}], \mathring{I}_{2,j}=(\xi_{1,j},\xi_{1,j+1})$とおく．再び平均値の定理により
$$ g^{(2)}(\xi_{2,j}) = \frac{g^{(1)}(\xi_{1,j})-g^{(1)}(\xi_{1,j+1})}{\xi_{1,j}-\xi_{1,j+1}} = \frac{0-0}{\xi_{1,j}-\xi_{1,j+1}} = 0 $$
を満たす$\xi_{2,j} \in \mathring{I}_{2,j}$が存在する．$\xi_{2,1},\dots,\xi_{2,n-1}$により，さきほどと同様に$n-1$項数列$\xi_2 = \{ \xi_{2,n} \}$を定義する．

以下，これを繰り返すことによって数列$\xi_3,\dots,\xi_n$を定義する．$\xi_j$は$n+1-j$項数列であり，その項に現れる任意の数$a$は$g^{(j)}(a)=0$を満たす．よって，特に$j=n$のとき$\xi_n$は項をただ１つもち，その項$\xi$は$g^{(n)}(\xi)=0$を満たす．

$t=x_2,\dots,x_{n-1}$のときは$(t-x_1)\cdots (t-x_n)=0$であるから，$\xi$は区間$(x_1,x_n)$上の任意の値にしてよい（たとえば$\xi=(x_1+x_n)/2$とすればよい）．そこで，$t$が$x_2,\dots,x_{n-1}$のいずれとも等しくない場合について示す．
$$ g(x) = f(x)-p(x)-a(x-x_1)\cdots (x-x_n) $$
とおく．ただし$a$は$g(t)=0$であるように取る．すなわち
$$ a = \frac{f(t)-p(t)}{(t-x_1)\cdots (t-x_n)} $$
とする．

$x=x_1,\dots,x_n,t$のとき$g(x)=0$であり，かつ関数$g(x)$は仮定により$n$階微分可能である．よって，補題5により$g^{(n)}(\xi)=0$を満たす$\xi\in (x_1,x_n)$が存在する．ここで
$$ g^{(n)}(\xi) = f^{(n)}(\xi)-p^{(n)}(\xi)-an! = 0\quad\therefore\, a = \frac{f^{(n)}(\xi)-p^{(n)}(\xi)}{n!} $$
である．$p(x)$の次数は最大でも$n-1$なので$p^{(n)}(\xi)=0$であり
$$ a = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} \quad\therefore\, f(t)-p(t)-\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(t-x_1)\cdots (t-x_n) = g(t) = 0 $$
となる．したがって
$$ f(t)-p(t) = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(t-x_1)\cdots (t-x_n) $$
である．後半は明らか．