高校数学から始める数値計算（３）：ルンゲ現象・補間多項式とテイラー多項式の関係

目次

本稿は「5. 補遺」に当たります．なお，本稿はこの PDF版 を元に，Mathlogの仕様に合わせて一部の文言・体裁を変更したものです．内容は変わりません．

1. はじめに
2. 補間多項式
   1. ラグランジュ補間
   2. ニュートン補間
   3. 補間多項式による近似の誤差
3. 数値微分
4. 数値積分
   1. ニュートン・コーツの公式
   2. ガウス・ルジャンドル公式
5. 補遺
   1. ルンゲ現象
   2. 補間多項式とテイラー多項式の関係

ルンゲ現象

定理1.4 の状況で，$f(x)=(25x^2+1{)}^{-1}$のときを考える．
$$x_i=-1+2\frac{i-1}{n-1}(i=1,\dots ,n)$$
とおき，$p_n(x)$を点$(x_1,f(x_1)),\dots ,(x_n,f(x_n))$に関する補間多項式としたとき，その様子は下図のようになる．

ルンゲ現象

図によれば，補間多項式が通るべき点の個数$n$を増やすほど，$p_n(x)$は$f(x)$からかけ離れている．その様子は特に$x=\pm 1$付近で顕著である．このような現象をルンゲ現象という．

ルンゲ現象により，ニュートン・コーツの公式においてただ次数を増やしても，積分の近似値は改良されないと考えられる．複合台形則，複合シンプソン則などが利用されるのはこのためである．

ルンゲ現象を回避するには，補間多項式が通るべき点の$x$座標をチェビシェフノード
$$x_i=\cos \left(\frac{2i-1}{2n}\pi \right)(i=1,\dots ,n)$$
にすると良いことが知られている[1]．このとき，$n=9$の下で補間多項式$p(x)$は下図のようになる．確かに$x=\pm 1$付近における振動が抑制されていることが分かる．

チェビシェフノードを利用した補間多項式

補間多項式とテイラー多項式の関係

この節では，補間多項式がテイラー多項式の近似と見なせることを述べる．

点$t$のまわりで$n$階微分可能な関数$f(x)$に対して，次の多項式を$n$次のテイラー多項式という．
$$p_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t{)}^k=f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)+\cdots +\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t{)}^n$$

関数$f(x)$が点$t$のまわりでテイラー展開可能であるとは，定義域における任意の$x$で
$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_n(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t{)}^n$$
が成立することをいい，この級数で元の関数を表現することをテイラー展開という．

一般には，関数が何回でも微分可能であってもテイラー展開可能とは限らない．しかし，実用上よく表れる関数はしばしばテイラー展開可能である．たとえば，関数$\cos x,\sin x,e^x$は定義域における任意の点でテイラー展開可能である．

まず$n=2$のときについて考える．$2$次のテイラー多項式
$$p_2(x)=f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)+\frac{f^{″}(t)}{2}(x-t{)}^2$$
について，この式に表れる微分係数を
$$f^{\prime }(t)\fallingdotseq \frac{f(t+h)-f(t)}{h},f^{″}(t)\fallingdotseq \frac{\left(f(t+h)-f(t)\right)h^{-1}-\left(f(t)-f(t-h)\right)h^{-1}}{h}$$
のように，十分小さな$h$で近似することを考える．この近似は次のように書き換えられる．
$$f^{\prime }(t)\fallingdotseq f[t+h,t],f^{″}(t)\fallingdotseq 2\cdot \frac{f[t+h,t]-f[t,t-h]}{(t+h)-(t-h)}=2f[t+h,t,t-h]$$

すると，これを$p_2(x)$に代入すれば
$$p_2(x)\fallingdotseq f(t)+f[t,t-h](x-t)+f[t+h,t,t-h](x-t{)}^2$$
となり，さらに，$h$が十分小さければ$x-(t+h)\fallingdotseq x-t$であるので
$$p_2(x)\fallingdotseq f(t)+f[t+h,t](x-(t+h))+f[t+h,t,t-h](x-(t+h))(x-t)$$
である． 定理1.3 により，右辺は点$(t-h,f(t-h)),(t,f(t)),(t+h,f(t+h))$に関する補間多項式である．

以下では一般の$n$についても，補間多項式がテイラー多項式の近似と見なせることを示す．

なお，関数$f(x)$の零点とは$f(\alpha )=0$を満たす値$\alpha$のことである．

関数$f(x)$はある開区間$\mathring{I}$で$n$階微分可能かつ，$n$次導関数$f^{(n)}(x)$は$\mathring{I}$で連続とする．$t=x_{n+1}\in \mathring{I}$をある定数とし，実数$s=x_1\in \mathring{I}$は$s<t$を満たすとする．$J=[s,t]$とおく．$n$個の実数$x_1,\dots ,x_n\in J$はすべて$s$の関数であり，任意の$s$について$x_1,\dots ,x_{n+1}$はどの２つも相異なるものとする．

点$(x_1,f(x_1)),\dots ,(x_{n+1},f(x_{n+1}))$に関する補間多項式を$p(x)$とおくと，$p(x)$は
$$p(x)=f(x_1)+\sum _{k=1}^{n}f[x_1,\dots ,x_{k+1}](x-x_1)\cdots (x-x_k)$$
と書ける．定理1により，各$f[x_1,\dots ,x_{k+1}]$に対して
$$f[x_1,\dots ,x_{k+1}]=\frac{f^{(k)}({\xi }_k)}{k!}$$
を満たす${\xi }_k\in J$が存在する．

関数$f^{(k)}(x)$は閉区間$J$で連続なので，$J$における最小値$m_k$，最大値$M_k$が存在する．また，$f^{(k)}(x)$は$\mathring{I}$で連続なので$m_k,M_k\to f^{(k)}(t)(s\to t-0)$である．よって，はさみうちの原理により
$$f[x_1,\dots ,x_{k+1}]\to \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(s\to t-0)$$
が成り立つ．したがって，任意の実数$x$について
$$p(x)=f(x_1)+\sum _{k=1}^{n}f[x_1,\dots ,x_{k+1}](x-x_1)\cdots (x-x_k)\to f(t)+\sum _{k=1}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t{)}^k(s\to t-0)$$
である．これにより$p(x)\to p_n(x)(s\to t-0)$であるので，$s$と$t$が十分に近ければ$p(x)\fallingdotseq p_n(x)$であり，補間多項式をテイラー多項式の近似と見なせることが確かめられた．