リーマン予想と同値な等式

はじめに

　この記事ではリーマン予想と同値な等式
$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
について解説していきます。ただし$\g$はオイラー定数$\g=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r)$としました。

リーマン予想を数式で表すカラクリ

　そもそもどうやって「ゼータ関数の非自明な零点の虚部は全て$\frac12$である」という主張が数式に言い換えれるのでしょうか。そのカラクリは不等式の等号成立条件にあります。
　具体的には
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}$$
という級数を考えたとき、リーマン予想が真であるとすると
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_{\rho}\frac{\frac12}{|\rho|^2}$$
が成り立ちます。実は逆にリーマン予想が偽であるとき
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}<\sum_{\rho}\frac{\frac12}{|\rho|^2}$$
が成り立つことがわかるのでこの間に等号が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になるのです。
　とは言ってもこのままだといまいちパッとしません。どうしてこんな級数を考えるのか、その理由はゼータ関数の因数分解公式
$$\z(s)=\frac1{s-1}\exp\l(\frac{\log\pi+\g}2s-\log2\r)\prod_\rho\l(1-\frac s\rho\r)\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac s{2n}\r)e^{-\farc s{2n}}$$
にあります。この公式を対数微分し$s=0$を代入することで
$$\frac{\z'(0)}{\z(0)}=1+\farc{\log\pi+\g}2-\sum_\rho\frac1\rho$$
という式が得られます。この左辺の値は別途$\log2\pi$となることがわかるので
$$\sum_\rho\frac1\rho=1+\frac\g2-\frac{\log4\pi}2$$
というように求めることができるというのです。また
$$\sum_\rho\frac1\rho =\frac12\l(\sum_\rho\frac1\rho+\sum_\rho\frac1{\;\ol\rho\;}\r) =\sum_\rho\frac{\frac{\rho+\ol\rho}2}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{\Re(\rho)}{|\rho|^2}$$
と変形できるので
$$\sum_\rho\frac1{|\rho|^2}=2+\g-\log4\pi$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になります。
　そして
$$\sum_\rho\frac{\frac12}{|\rho|^2}=\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt$$
と表せることや
$$N(T)=1-\frac T{2\pi}\log\pi+\frac1\pi\Im\log\G\l(\frac14+\farc{iT}2\r)+\frac1\pi\arg\z\l(\frac12+iT\r)$$
が成り立つことを使ってなんやかんやすることで
$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値だということがわかる。といった具合になります。
　では、以下で詳細な証明を見ていきましょう。

不等式の証明

　まず
$$\mbox{リーマン予想が真}\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\frac{\frac12}{|\rho|^2}$$
を示す。これについては
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_{\Im(\rho)>0}\l(\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}+\frac{\Re(1-\rho)}{|1-\rho|^2}\r)$$
であることから
$$\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}+\frac{\Re(1-\rho)}{|1-\rho|^2} \leq\frac{\frac12}{|\rho|^2}+\frac{\frac12}{|1-\rho|^2}$$
すなわち以下の不等式を示せば十分である。

　ただ以下での議論ではもう少し強い主張
$$\mbox{リーマン予想が真}\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{\frac12}{\frac1{2^2}+\Im(\rho)^2}$$
を示す必要がある。これについては以下の不等式を示せば十分である。

　ちなみに$\min_\rho|\Im(\rho)|=14.1347\ldots$(出典)なので$|y|>1$という条件は特に気にする必要はない。

級数の変形

　以上より
$$\mbox{リーマン予想が真}\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{2}{4\Im(\rho)^2+1}$$
が示された。次にこの右の命題の両辺を変形していく。

積分の計算

　いま この記事 で紹介したように
$$N(T)=1-\frac T{2\pi}\log\pi+\frac1\pi\Im\log\G\l(\frac14+\frac{iT}2\r)+\frac1\pi\arg\z\l(\frac12+iT\r)$$
が成り立っていたので
$$\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt$$
における各項を計算していく。

第$1,2$項の計算

第$3$項の計算

　まず部分積分する。
\begin{eqnarray} &&\Im\l(\int^\infty_0\log\G\l(\frac 14+\frac{it}2\r)\frac{32t}{4t^2+1}dt\r) \\&=&\Im\l(\l[-\log\G\l(\frac 14+\frac{it}2\r)\frac4{4t^2+1}\r]^\infty_0+\frac i2\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc4{4t^2+1}dt\r) \\&=&\Re\l(\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc2{4t^2+1}dt\r) \end{eqnarray}
ここでガンマ関数の因数分解公式
$$\frac1{\G(s)}=se^{\g s}\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac sn\r)e^{-\frac sn}$$
を対数微分することで
$$\farc{\G'(s)}{\G(s)}=-\g-\frac1s-\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{s+n}-\frac1n\r)$$
がわかるのでこの各項を積分していく。

　以上より
\begin{eqnarray} &&\Re\l(\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc2{4t^2+1}dt\r) \\&=&-\frac{\g\pi}2-\pi-\sum^\infty_{n=1}\l(\frac\pi{2n+1}-\frac\pi{2n}\r) \\&=&-\pi\l(\frac\g2+\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\r) \\&=&-\pi\l(\frac\g2+\log2\r) \end{eqnarray}
を得る。

第$4$項の計算

　まず部分積分する。
$$\int^\infty_0\arg\z\l(\frac12+it\r)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt =-32\int^\infty_0\l(\int^t_0\arg\z\l(\frac12+is\r)ds\r)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}dt$$
ここで出てきた
$$S_1(T)=\int^T_0\arg\z\l(\frac12+it\r)dt$$
を次の補題を使って変形していく。

まとめ

　以上により
\begin{eqnarray} \int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt &=&\l(4-\frac{\log\pi}2\r)-\l(\frac\g2+\log2\r)-\frac{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \end{eqnarray}
がわかり、そしてこれを整理すると
\begin{eqnarray} 1+\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2 &=&4-\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2-\farc{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \\3-\g &=&\farc{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \\\farc{\pi(3-\g)}{32} &=&\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \end{eqnarray}
となるので以下の主張を得る。