リーマン予想と同値な等式
はじめに
この記事ではリーマン予想と同値な等式
$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
について解説していきます。ただし$\g$はオイラー定数$\dis\g=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r)$としました。
リーマン予想を数式で表すカラクリ
そもそもどうやって「ゼータ関数の非自明な零点の虚部は全て$\frac12$である」という主張が数式に言い換えれるのでしょうか。そのカラクリは不等式の等号成立条件にあります。
具体的には
$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}$
という級数を考えたとき、リーマン予想が真であるとすると
$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_{\rho}\frac{\frac12}{|\rho|^2}$
が成り立ちます。実は逆にリーマン予想が偽であるとき
$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}<\sum_{\rho}\frac{\frac12}{|\rho|^2}$
が成り立つことがわかるのでこの間に等号が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になるのです。
とは言ってもこのままだといまいちパッとしません。どうしてこんな級数を考えるのか、その理由はゼータ関数の因数分解公式
$$\z(s)=\frac1{s-1}\exp\l(\frac{\log\pi+\g}2s-\log2\r)\prod_\rho\l(1-\frac s\rho\r)\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac s{2n}\r)e^{-\farc s{2n}}$$
にあります。この公式を対数微分し$s=0$を代入することで
$\dis\frac{\z'(0)}{\z(0)}=1+\farc{\log\pi+\g}2-\sum_\rho\frac1\rho$
という式が得られます。この左辺の値は$\log2\pi$であることが知られているので
$\dis\sum_\rho\frac1\rho=1+\frac\g2-\frac{\log4\pi}2$
というように求めることができるというのです。また
$\dis\sum_\rho\frac1\rho
=\frac12\l(\sum_\rho\frac1\rho+\sum_\rho\frac1{\;\ol\rho\;}\r)
=\sum_\rho\frac{\frac{\rho+\ol\rho}2}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{\Re(\rho)}{|\rho|^2}$
と変形できるので
$\dis\sum_\rho\frac1{|\rho|^2}=2+\g-\log4\pi$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になります。
そして
$\dis\sum_\rho\frac{\frac12}{|\rho|^2}=\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt$
と表せれることや
$\dis N(T)=1-\frac T{2\pi}\log\pi+\frac1\pi\Im\log\G\l(\frac14+\farc{iT}2\r)+\frac1\pi\arg\z\l(\frac12+iT\r)$
が成り立つことを使ってなんやかんやすることで
$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値だということがわかる。といった具合になります。
では、以下で詳細な証明を見ていきましょう。
証明
不等式の証明
まず
$\dis リーマン予想が真\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\frac{\frac12}{|\rho|^2}$
を示します。これについては
$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_{\Im(\rho)>0}\l(\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}+\frac{\Re(1-\rho)}{|1-\rho|^2}\r)$
であることから
$\dis\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}+\frac{\Re(1-\rho)}{|1-\rho|^2}
\leq\frac{\frac12}{|\rho|^2}+\frac{\frac12}{|1-\rho|^2}$
すなわち以下の不等式を示せば十分です。
$\dis\frac x{x^2+y^2}+\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\leq\frac{\frac12}{x^2+y^2}+\frac{\frac12}{(1-x)^2+y^2}\quad(0\leq x\leq1)$
が成り立つ。ただし等号成立条件は$x=\frac12$である。
対称性($x\leftrightarrow1-x$)より$0\leq x\leq\frac12$としてよい。このとき$x\leq1-x$に注意すると
\begin{eqnarray}
\mbox{(右辺)}-\mbox{(左辺)}&=&(\frac12-x)\l(\frac1{x^2+y^2}-\frac1{(1-x)^2+y^2}\r)
\\&\geq&(\frac12-x)\l(\frac1{(1-x)^2+y^2}-\frac1{(1-x)^2+y^2}\r)=0
\end{eqnarray}
がわかる。ただし等号成立条件は$x=1-x$、つまり$x=\frac12$である。
ただ以下での議論ではもう少し強い主張
$\dis リーマン予想が真\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{\frac12}{\frac1{2^2}+\Im(\rho)^2}$
を示す必要があります。これについては以下の不等式を示せば十分です。
$\dis\frac x{x^2+y^2}+\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\leq2\cdot\frac{\frac12}{\frac1{2^2}+y^2}\quad(0\leq x\leq1,\;|y|>1)$
が成り立つ。ただし等号成立条件は$x=\frac12$である。
$\dis f(x)=\frac x{x^2+y^2}$
と置いたとき、
\begin{eqnarray}
f'(x)&=&\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
\\f''(x)&=&-\frac{2x(x^2+y^2)+4x(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3}=-\frac{2x(3y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3}
\end{eqnarray}
なので$3y^2-x^2>3-1>0$より$f''(x)<0$となる。
また$F(x)=f(x)+f(1-x)$とおいたとき、$F''(x)=f''(x)+f''(1-x)<0$なので以下の増減表により主張を得る。
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x&0&\cdots&\frac12&\cdots&1
\\\hline F(x)&f(1)&\nearrow&2f(\frac12)&\searrow&f(1)
\\\hline F'(x)&+&\searrow&0&\searrow&-
\end{array}
ちなみに$\min_\rho|\Im(\rho)|=14.1347\ldots$(→ 出典 )なので$|y|>1$という条件は特に気にする必要はありません。
左辺の値
次に
$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=1+\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2$
を示します。と言っても上で
$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=1+\frac{\log\pi+\g}2-\frac{\z'(0)}{\z(0)}$
ということまでは示していたのであとは
$\dis\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\log2\pi$
を示せばよいですが、これついては
リーマン予想の記事
で示していたのでそのコピペを貼っておきます。
${}$
$\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\log2\pi$の証明
$$\eta(x)=(1-2^{1-s})\z(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}-2\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n)^s}=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$
とおくとこれは$\Re(s)>0$で収束するが、
$$2\eta(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}+\l(1-\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^s}\r)=1+\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\l(\frac1{n^s}-\frac1{(n+1)^s}\r)$$
と変形すれば$\Re(s)>-1$で収束することになる。
収束性について
\begin{eqnarray}
&&\l|\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\l(\frac1{n^s}-\frac1{(n+1)^s}\r)\r|
\\&=&\l|\sum^\infty_{n=1}\l(\Big(\frac1{(2n-1)^s}-\frac1{(2n)^s}\Big)-\Big(\frac1{(2n)^s}-\frac1{(2n+1)^s}\Big)\r)\r|
\\&=&\l|\sum^\infty_{n=1}s\l(\int^{2n}_{2n-1}\frac{dx}{x^{s+1}}-\int^{2n}_{2n-1}\frac{dx}{(x+1)^{s-1}}\r)\r|
\\&=&\l|\sum^\infty_{n=1}s(s+1)\int^{2n}_{2n-1}\int^{x+1}_x\frac1{y^{s+2}}dydx\r|
\\&\leq&|s(s+1)|\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n-1)^{\Re(s)+2}}<\infty
\end{eqnarray}
とわかる。
またその項別微分
$$2\eta'(s)=\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\l(\frac{\log n}{n^s}-\farc{\log(n+1)}{n^s}\r)$$
も$\Re(s)>-1$で収束するので$s=0$を代入することで
\begin{eqnarray} 2\eta'(0)&=&\sum^\infty_{n=1}\Big(-(\log(2n-1)-\log(2n))+(\log(2n)-\log(2n+1))\Big) \\&=&\log\l(\prod^\infty_{n=1}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\r) \\&=&\log\farc\pi2 \end{eqnarray}
を得る。ここで
$$\sin\frac\pi2=\frac\pi2\prod^\infty_{n=1}\l(1-\farc1{(2n)^2}\r)=\frac\pi2\prod^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}=1$$
であること(ウォリスの公式)を用いた。
いま
$2\eta'(s)=2((1-2^{1-s})\z(s))'=2^{1-s}(\log2)2\z(s)+2(1-2^{1-s})\z'(s)$
であったので$\z(0)=-\frac12$に注意して$s=0$を代入することで
$2\eta'(0)=-2\log2-2\z'(0)=\log\frac\pi2$
すなわち
$\dis\z'(0)=-\farc12\log2\pi$
ひいては
$\dis\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\log2\pi$
を得る。
右辺の変形
そして
$\dis\sum_\rho\frac2{4\Im(\rho)^2+1}=\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt\quad\Big(N(x)=\sum_{0<\Im(\rho)\leq x}1\Big)$
を示します。これは
\begin{eqnarray}
\sum_\rho\frac2{4\Im(\rho)^2+1}
&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\l(\frac2{4\Im(\rho)^2+1}+\frac2{4\Im(\ol\rho)^2+1}\r)
\\&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\frac4{4\Im(\rho)^2+1}
\\&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\l[-\frac4{4t^2+1}\r]^{t=\infty}_{t=\Im(\rho)}
\\&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\int^\infty_{\Im(\rho)}\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt
\\&=&\int^\infty_0\l(\sum_{0<\Im(\rho)\leq t}1\r)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt
\\&=&\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt
\end{eqnarray}
のようにしてわかります。
積分の計算
いま
この記事
で紹介したように
$$N(T))=1-\frac T{2\pi}\log\pi+\frac1\pi\Im\log\G\l(\frac12(\frac12+iT)\r)+\frac1\pi\arg\z\l(\frac12+iT\r)$$
が成り立っていたのでこの各項の積分を計算していきましょう。
第$1,2$項の計算
\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\l(1-\frac t{2\pi}\log\pi\r)\farc{32t}{(4t^2+1)^2}dt \\&=&\l[-\l(1-\frac t{2\pi}\log\pi\r)\frac{4}{4t^2+1}\r]^\infty_0-\frac{\log\pi}{2\pi}\int^\infty_0\frac{4}{4t^2+1}dt \\&=&4-\frac{\log\pi}{2\pi}\big[2\arctan(2t)\big]^\infty_0 \\&=&4-\frac{\log\pi}2 \end{eqnarray}
第$3$項の計算
まず部分積分します。
\begin{eqnarray}
&&\Im\l(\int^\infty_0\log\G\l(\frac 14+\frac{it}2\r)\frac{32t}{4t^2+1}dt\r)
\\&=&\Im\l(\l[-\log\G\l(\frac 14+\frac{it}2\r)\frac4{4t^2+1}\r]^\infty_0+\frac i2\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc4{4t^2+1}dt\r)
\\&=&\Re\l(\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc2{4t^2+1}dt\r)
\end{eqnarray}
ここでガンマ関数の因数分解公式
$$\frac1{\G(s)}=se^{\g s}\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac sn\r)e^{-\frac sn}$$
を対数微分することで
$$\farc{\G'(s)}{\G(s)}=-\g-\frac1s-\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{s+n}-\frac1n\r)$$
がわかるのでこの各項を積分していきます。
${}$
定数項部分については
$\dis\int^\infty_0\frac2{4t^2+1}dt=\big[\arctan(2t)\big]^\infty_0=\frac\pi2$$\frac1s$の項については
\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\frac2{(\frac14+\frac{it}2)(4t^2+1)}dt \\&=&2\int^\infty_0\l(\frac2{4t^2+1}-\farc2{(2t-i)^2}\r)dt \\&=&2\l[\arctan(2t)+\frac1{2t-i}\r]^\infty_0 \\&=&\pi-2i \end{eqnarray}$\frac1{s+n}$の項については
\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\frac2{(\frac14+\frac{it}2+n)(4t^2+1)}dt \\&=&-\frac1{n(2n+1)}\int^\infty_0\l(\frac1{2it+4n+1}+\frac{2it-4n-1}{4t^2+1}\r)dt \\&=&-\frac1{n(2n+1)}\l[\farc1{2i}\log(2it+4n+1)+\frac i4\log(4t^2+1)-\frac{4n+1}2\arctan(2t)\r]^\infty_0 \\&=&-\frac1{n(2n+1)}\l(\l[\frac1{4i}\log\l(\farc{(2it+4n+1)^2}{4t^2+1}\r)\r]^\infty_0-\frac{4n+1}{4}\pi\r) \\&=&-\frac1{4n(2n+1)}\big(\frac1i(i\pi-2\log(4n+1))-(4n+1)\pi\big) \\&=&\frac\pi{2n+1}-\frac{\log(4n+1)}{2n(2n+1)}i \end{eqnarray}
と計算できるので
\begin{eqnarray}
&&\Re\l(\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc2{4t^2+1}dt\r)
\\&=&-\frac{\g\pi}2-\pi-\sum^\infty_{n=1}\l(\frac\pi{2n+1}-\frac\pi{2n}\r)
\\&=&-\pi\l(\frac\g2+\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\r)
\\&=&-\pi\l(\frac\g2+\log2\r)
\end{eqnarray}
と求まります。
第$4$項の計算
まず部分積分します。
$\dis\int^\infty_0\arg\z\l(\frac12+it\r)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt
=-32\int^\infty_0\l(\int^t_0\arg\z\l(\frac12+is\r)ds\r)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}dt$
ここで出てきた
$\dis S_1(T)=\int^T_0\arg\z\l(\frac12+it\r)dt$
を次の補題を使って変形していきます。
$\Re(z)=\a,\b$および$\Im(z)=0,T$によって囲まれる長方形$S$上で正則な関数$\phi(z)$について、$S$の$\Re(z)>\s$における$\phi(z)$の(重複度込みの)零点の個数と極の個数の差を$\nu(\s)$とおくと
$\dis\oint_S\log\phi(z)dz=-2\pi i\int^\b_\a\nu(\s)d\s$
が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\oint_S\log\phi(z)dz
&=&\l(\int^\b_\a+\int^{\b+iT}_\b+\int^{\a+iT}_{\b+iT}+\int^\a_{\a+iT}\r)\log\phi(z)dz
\\&=&\int^\b_\a(\log\phi(\s)-\log\phi(\s+iT))d\s+\int^T_0(\log\phi(\b+it)-\log\phi(\a+it))idt
\end{eqnarray}
において、この二項目は
$$\int^T_0\int^\b_\a\frac{\phi'(\s+it)}{\phi(\s+it)}d\s\cdot idt=\int^\b_\a\int^{\s+iT}_\s\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dzd\s$$
と変形でき、更に偏角の原理より
$$\l(\int^\b_\s+\int^{\b+iT}_\b+\int^{\s+iT}_{\b+iT}+\int^\s_{\s+iT}\r)\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dz=2\pi i\nu(\s)$$
つまり
\begin{eqnarray}
\int^{\s+iT}_\s\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dz
&=&\l(\int^\b_\s+\int^{\b+iT}_\b-\int^{\b+iT}_{\s+iT}\r)\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dz-2\pi i\nu(\s)
\\&=&\log\phi(\s+iT)-\log\phi(\s)-2\pi i\nu(\s)
\end{eqnarray}
がわかるので
\begin{eqnarray}
\oint_S\log\phi(z)dz
&=&\int^\b_\a(\log\phi(\s)-\log\phi(\s+iT))d\s+\int^\b_\a(\log\phi(\s+iT)-\log\phi(\s)-2\pi i\nu(\s))d\s
\\&=&-2\pi i\int^\b_\a\nu(\s)d\s
\end{eqnarray}
を得る。
補題3において$\phi(z)=\z(z),\;\a=\frac12$として両辺の実部を取ることで
$$\int^\b_\frac12(\log|\z(\s)|-\log|\z(\s+iT)|)d\s-\int^T_0(\arg\z(\b+it)-\arg\z\l(\frac12+it\r))dt=0$$
つまり
$$S_1(T)=\int^\b_\frac12(\log|\z(\s+iT)|-\log|\z(\s)|)d\s+\int^T_0\arg\z(\b+it)dt$$
がわかります。そして$\b\to\infty$において$\arg\z(\b+it)\to\arg1=0$に注意すると
$$S_1(T)=\int^\infty_\frac12(\log|\z(\s+iT)|-\log|\z(\s)|)d\s$$
という表示が得られます。
さらに
$$\int^\infty_0\int^\infty_\frac12\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s)|d\s dt
=\int^\infty_\frac12\l[\frac t{(4t^2+1)^2}\r]^\infty_0\log|\z(\s)|d\s=0$$
に注意すると
$$\int^\infty_0S(t)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}dt=\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt$$
ということになります。
まとめ
以上により
\begin{eqnarray}
\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt
&=&\l(4-\frac{\log\pi}2\r)-\l(\frac\g2+\log2\r)-\frac{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt
\end{eqnarray}
がわかり、そして
\begin{eqnarray}
1+\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2
&=&4-\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2-\farc{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt
\\3-\g
&=&\farc{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt
\\\farc{\pi(3-\g)}{32}
&=&\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt
\end{eqnarray}
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値ということになる。というわけです。
