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大学数学基礎解説
文献あり

リーマン予想と同値な等式

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではリーマン予想と同値な等式
$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
について解説していきます。ただし$\g$はオイラー定数$\g=\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r)$としました。

リーマン予想を数式で表すカラクリ

 そもそもどうやって「ゼータ関数の非自明な零点の虚部は全て$\frac12$である」という主張が数式に言い換えれるのでしょうか。そのカラクリは不等式の等号成立条件にあります。
 具体的には
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}$$
という級数を考えたとき、リーマン予想が真であるとすると
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_{\rho}\frac{\frac12}{|\rho|^2}$$
が成り立ちます。実は逆にリーマン予想が偽であるとき
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}<\sum_{\rho}\frac{\frac12}{|\rho|^2}$$
が成り立つことがわかるのでこの間に等号が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になるのです。
 とは言ってもこのままだといまいちパッとしません。どうしてこんな級数を考えるのか、その理由はゼータ関数の因数分解公式
$$\z(s)=\frac1{s-1}\exp\l(\frac{\log\pi+\g}2s-\log2\r)\prod_\rho\l(1-\frac s\rho\r)\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac s{2n}\r)e^{-\farc s{2n}}$$
にあります。この公式を対数微分し$s=0$を代入することで
$$\frac{\z'(0)}{\z(0)}=1+\farc{\log\pi+\g}2-\sum_\rho\frac1\rho$$
という式が得られます。この左辺の値は別途$\log2\pi$となることがわかるので
$$\sum_\rho\frac1\rho=1+\frac\g2-\frac{\log4\pi}2$$
というように求めることができるというのです。また
$$\sum_\rho\frac1\rho =\frac12\l(\sum_\rho\frac1\rho+\sum_\rho\frac1{\;\ol\rho\;}\r) =\sum_\rho\frac{\frac{\rho+\ol\rho}2}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{\Re(\rho)}{|\rho|^2}$$
と変形できるので
$$\sum_\rho\frac1{|\rho|^2}=2+\g-\log4\pi$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になります。
 そして
$$\sum_\rho\frac{\frac12}{|\rho|^2}=\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt$$
と表せることや
$$N(T)=1-\frac T{2\pi}\log\pi+\frac1\pi\Im\log\G\l(\frac14+\farc{iT}2\r)+\frac1\pi\arg\z\l(\frac12+iT\r)$$
が成り立つことを使ってなんやかんやすることで
$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値だということがわかる。といった具合になります。
 では、以下で詳細な証明を見ていきましょう。

不等式の証明

 まず
$$\mbox{リーマン予想が真}\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\frac{\frac12}{|\rho|^2}$$
を示す。これについては
$$\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_{\Im(\rho)>0}\l(\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}+\frac{\Re(1-\rho)}{|1-\rho|^2}\r)$$
であることから
$$\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}+\frac{\Re(1-\rho)}{|1-\rho|^2} \leq\frac{\frac12}{|\rho|^2}+\frac{\frac12}{|1-\rho|^2}$$
すなわち以下の不等式を示せば十分である。

 $0\leq x\leq1$において
$$\frac x{x^2+y^2}+\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\leq\frac{\frac12}{x^2+y^2}+\frac{\frac12}{(1-x)^2+y^2}$$
が成り立つ。ただし等号成立条件は$x=\frac12$である。

対称性($x\leftrightarrow1-x$)より$0\leq x\leq\frac12$としてよい。このとき$x\leq1-x$に注意すると
\begin{eqnarray} \mbox{(右辺)}-\mbox{(左辺)}&=&\l(\frac12-x\r)\l(\frac1{x^2+y^2}-\frac1{(1-x)^2+y^2}\r) \\&\geq&\l(\frac12-x\r)\l(\frac1{(1-x)^2+y^2}-\frac1{(1-x)^2+y^2}\r)=0 \end{eqnarray}
がわかる。ただし等号成立条件は$x=1-x$、つまり$x=\frac12$である。

 ただ以下での議論ではもう少し強い主張
$$\mbox{リーマン予想が真}\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{\frac12}{\frac1{2^2}+\Im(\rho)^2}$$
を示す必要がある。これについては以下の不等式を示せば十分である。

 $0\leq x\leq1,\;|y|>1$において
$$\frac x{x^2+y^2}+\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}\leq2\cdot\frac{\frac12}{\frac1{2^2}+y^2}$$
が成り立つ。ただし等号成立条件は$x=\frac12$である。

$$f(x)=\frac x{x^2+y^2}$$
と置いたとき
\begin{eqnarray} f'(x)&=&\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \\f''(x)&=&-\frac{2x(x^2+y^2)+4x(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3}=-\frac{2x(3y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3} \end{eqnarray}
なので$3y^2-x^2>3-1>0$より$f''(x)<0$となる。
 また$F(x)=f(x)+f(1-x)$とおいたとき、$F''(x)=f''(x)+f''(1-x)<0$なので以下の増減表により主張を得る。
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&0&\cdots&\frac12&\cdots&1 \\\hline F(x)&f(1)&\nearrow&2f(\frac12)&\searrow&f(1) \\\hline F'(x)&+&\searrow&0&\searrow&- \end{array}

 ちなみに$\min_\rho|\Im(\rho)|=14.1347\ldots$(出典)なので$|y|>1$という条件は特に気にする必要はない。

級数の変形

 以上より
$$\mbox{リーマン予想が真}\iff\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=\sum_\rho\farc{2}{4\Im(\rho)^2+1}$$
が示された。次にこの右の命題の両辺を変形していく。

$\dis\sum_\rho\frac{\Re(\rho)}{|\rho|^2}=1+\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2$

  この記事 の補題10として示した。

$$N(T)=\sum_{0<\Im(\rho)\leq T}1$$
とおくと
$$\sum_\rho\frac2{4\Im(\rho)^2+1}=\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt$$
が成り立つ。

\begin{eqnarray} \sum_\rho\frac2{4\Im(\rho)^2+1} &=&\sum_{\Im(\rho)>0}\l(\frac2{4\Im(\rho)^2+1}+\frac2{4\Im(\ol\rho)^2+1}\r) \\&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\frac4{4\Im(\rho)^2+1} \\&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\l[-\frac4{4t^2+1}\r]^{t=\infty}_{t=\Im(\rho)} \\&=&\sum_{\Im(\rho)>0}\int^\infty_{\Im(\rho)}\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt \\&=&\int^\infty_0\l(\sum_{0<\Im(\rho)\leq t}1\r)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt \\&=&\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt \end{eqnarray}
とわかる。

積分の計算

 いま この記事 で紹介したように
$$N(T)=1-\frac T{2\pi}\log\pi+\frac1\pi\Im\log\G\l(\frac14+\frac{iT}2\r)+\frac1\pi\arg\z\l(\frac12+iT\r)$$
が成り立っていたので
$$\int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt$$
における各項を計算していく。

$1,2$項の計算

$\dis\int^\infty_0\l(1-\frac t{2\pi}\log\pi\r)\farc{32t}{(4t^2+1)^2}dt=4-\frac{\log\pi}2$

\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\l(1-\frac t{2\pi}\log\pi\r)\farc{32t}{(4t^2+1)^2}dt \\&=&\l[-\l(1-\frac t{2\pi}\log\pi\r)\frac{4}{4t^2+1}\r]^\infty_0-\frac{\log\pi}{2\pi}\int^\infty_0\frac{4}{4t^2+1}dt \\&=&4-\frac{\log\pi}{2\pi}\big[2\arctan(2t)\big]^\infty_0 \\&=&4-\frac{\log\pi}2 \end{eqnarray}
とわかる。

$3$項の計算

 まず部分積分する。
\begin{eqnarray} &&\Im\l(\int^\infty_0\log\G\l(\frac 14+\frac{it}2\r)\frac{32t}{4t^2+1}dt\r) \\&=&\Im\l(\l[-\log\G\l(\frac 14+\frac{it}2\r)\frac4{4t^2+1}\r]^\infty_0+\frac i2\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc4{4t^2+1}dt\r) \\&=&\Re\l(\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc2{4t^2+1}dt\r) \end{eqnarray}
ここでガンマ関数の因数分解公式
$$\frac1{\G(s)}=se^{\g s}\prod^\infty_{n=1}\l(1+\frac sn\r)e^{-\frac sn}$$
を対数微分することで
$$\farc{\G'(s)}{\G(s)}=-\g-\frac1s-\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{s+n}-\frac1n\r)$$
がわかるのでこの各項を積分していく。

$\dis\int^\infty_0\farc2{4t^2+1}dt=\frac\pi2$

$$\int^\infty_0\frac2{4t^2+1}dt=\big[\arctan(2t)\big]^\infty_0=\frac\pi2$$
とわかる。

$\dis\int^\infty_0\frac1{\frac14+\frac{it}2}\farc2{4t^2+1}dt=\pi-2i$

\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\frac2{(\frac14+\frac{it}2)(4t^2+1)}dt \\&=&2\int^\infty_0\l(\frac2{4t^2+1}-\farc2{(2t-i)^2}\r)dt \\&=&2\l[\arctan(2t)+\frac1{2t-i}\r]^\infty_0 \\&=&\pi-2i \end{eqnarray}
とわかる。

$\dis\int^\infty_0\frac2{(\frac14+\frac{it}2+n)(4t^2+1)}dt=\frac\pi{2n+1}-\frac{\log(4n+1)}{2n(2n+1)}i$

\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\frac2{(\frac14+\frac{it}2+n)(4t^2+1)}dt \\&=&-\frac1{n(2n+1)}\int^\infty_0\l(\frac1{2it+4n+1}+\frac{2it-4n-1}{4t^2+1}\r)dt \\&=&-\frac1{n(2n+1)}\l[\farc1{2i}\log(2it+4n+1)+\frac i4\log(4t^2+1)-\frac{4n+1}2\arctan(2t)\r]^\infty_0 \\&=&-\frac1{n(2n+1)}\l(\l[\frac1{4i}\log\l(\farc{(2it+4n+1)^2}{4t^2+1}\r)\r]^\infty_0-\frac{4n+1}{4}\pi\r) \\&=&-\frac1{4n(2n+1)}\l(\frac1i(i\pi-2\log(4n+1))-(4n+1)\pi\r) \\&=&\frac\pi{2n+1}-\frac{\log(4n+1)}{2n(2n+1)}i \end{eqnarray}
とわかる。

 以上より
\begin{eqnarray} &&\Re\l(\int^\infty_0\frac{\G'\l(\frac14+\frac{it}2\r)}{\G\l(\frac14+\frac{it}2\r)}\farc2{4t^2+1}dt\r) \\&=&-\frac{\g\pi}2-\pi-\sum^\infty_{n=1}\l(\frac\pi{2n+1}-\frac\pi{2n}\r) \\&=&-\pi\l(\frac\g2+\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\r) \\&=&-\pi\l(\frac\g2+\log2\r) \end{eqnarray}
を得る。

$4$項の計算

 まず部分積分する。
$$\int^\infty_0\arg\z\l(\frac12+it\r)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt =-32\int^\infty_0\l(\int^t_0\arg\z\l(\frac12+is\r)ds\r)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}dt$$
ここで出てきた
$$S_1(T)=\int^T_0\arg\z\l(\frac12+it\r)dt$$
を次の補題を使って変形していく。

 $\Re(z)=\a,\b$および$\Im(z)=0,T$によって囲まれる長方形$S$の周上で正則な関数$\phi(z)$について、$S$$\Re(z)>\s$における$\phi(z)$の(重複度込みの)零点の個数と極の個数の差を$\nu(\s)$とおくと
$$\oint_S\log\phi(z)dz=-2\pi i\int^\b_\a\nu(\s)d\s$$
が成り立つ。

\begin{eqnarray} \oint_S\log\phi(z)dz &=&\l(\int^\b_\a+\int^{\b+iT}_\b+\int^{\a+iT}_{\b+iT}+\int^\a_{\a+iT}\r)\log\phi(z)dz \\&=&\int^\b_\a(\log\phi(\s)-\log\phi(\s+iT))d\s+\int^T_0(\log\phi(\b+it)-\log\phi(\a+it))idt \end{eqnarray}
において、この二項目は
$$\int^T_0\int^\b_\a\frac{\phi'(\s+it)}{\phi(\s+it)}d\s\cdot idt=\int^\b_\a\int^{\s+iT}_\s\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dzd\s$$
と変形でき、更に偏角の原理より
$$\l(\int^\b_\s+\int^{\b+iT}_\b+\int^{\s+iT}_{\b+iT}+\int^\s_{\s+iT}\r)\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dz=2\pi i\nu(\s)$$
つまり
\begin{eqnarray} \int^{\s+iT}_\s\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dz &=&\l(\int^\b_\s+\int^{\b+iT}_\b-\int^{\b+iT}_{\s+iT}\r)\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}dz-2\pi i\nu(\s) \\&=&\log\phi(\s+iT)-\log\phi(\s)-2\pi i\nu(\s) \end{eqnarray}
がわかるので
\begin{eqnarray} \oint_S\log\phi(z)dz &=&\int^\b_\a(\log\phi(\s)-\log\phi(\s+iT))d\s\\ &&+\int^\b_\a(\log\phi(\s+iT)-\log\phi(\s)-2\pi i\nu(\s))d\s \\&=&-2\pi i\int^\b_\a\nu(\s)d\s \end{eqnarray}
を得る。

$\dis\int^\infty_0S_1(t)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}dt =\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt$

 上の補題において$\phi(z)=\z(z),\;\a=\frac12$として両辺の実部を取ることで
$$\int^\b_\frac12(\log|\z(\s)|-\log|\z(\s+iT)|)d\s-\int^T_0(\arg\z(\b+it)-\arg\z\l(\frac12+it\r))dt=0$$
つまり
$$S_1(T)=\int^\b_\frac12(\log|\z(\s+iT)|-\log|\z(\s)|)d\s+\int^T_0\arg\z(\b+it)dt$$
が成り立つ。そして$\b\to\infty$において$\arg\z(\b+it)\to\arg1=0$に注意すると
$$S_1(T)=\int^\infty_\frac12(\log|\z(\s+iT)|-\log|\z(\s)|)d\s$$
と表せる。
 さらに
$$\int^\infty_0\int^\infty_\frac12\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s)|d\s dt =\int^\infty_\frac12\l[\frac t{(4t^2+1)^2}\r]^\infty_0\log|\z(\s)|d\s=0$$
に注意すると
$$\int^\infty_0S(t)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}dt=\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt$$
を得る。

まとめ

 以上により
\begin{eqnarray} \int^\infty_0N(t)\frac{32t}{(4t^2+1)^2}dt &=&\l(4-\frac{\log\pi}2\r)-\l(\frac\g2+\log2\r)-\frac{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \end{eqnarray}
がわかり、そしてこれを整理すると
\begin{eqnarray} 1+\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2 &=&4-\frac\g2-\log2-\frac{\log\pi}2-\farc{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \\3-\g &=&\farc{32}\pi\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \\\farc{\pi(3-\g)}{32} &=&\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt \end{eqnarray}
となるので以下の主張を得る。

(Volchkov)

$$\int^\infty_0\int^\infty_{\frac12}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2)^3}\log|\z(\s+it)|d\s dt=\frac{\pi(3-\g)}{32}$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることは同値である。

参考文献

[1]
V. V. Volchkov, On an equality equivalent to the Riemann hypothesis, Ukrainian Mathematical Journal, 1995, pp.491-493
[2]
E. C. Titchmarsh, The Theory Of The Riemann Zeta-Function, Oxford University Press, 1987, pp.220-221
投稿日:2021922
更新日:124

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投稿者

子葉
子葉
916
185701
主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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