リーマン予想と同値な等式

はじめに

　この記事ではリーマン予想と同値な等式
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2{)}^3}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt=\frac{\pi (3-\gamma )}{32}$$
について解説していきます。ただし$\gamma$はオイラー定数$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)$としました。

リーマン予想を数式で表すカラクリ

　そもそもどうやって「ゼータ関数の非自明な零点の虚部は全て$\frac{1}{2}$である」という主張が数式に言い換えれるのでしょうか。そのカラクリは不等式の等号成立条件にあります。
　具体的には
$$\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}$$
という級数を考えたとき、リーマン予想が真であるとすると
$$\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}=\sum _{\rho }\frac{\frac{1}{2}}{|\rho {|}^2}$$
が成り立ちます。実は逆にリーマン予想が偽であるとき
$$\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}<\sum _{\rho }\frac{\frac{1}{2}}{|\rho {|}^2}$$
が成り立つことがわかるのでこの間に等号が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になるのです。
　とは言ってもこのままだといまいちパッとしません。どうしてこんな級数を考えるのか、その理由はゼータ関数の因数分解公式
$$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}\exp (\frac{\log \pi +\gamma }{2}s-\log 2)\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho })\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{s}{2n})e^{-\frac{s}{2n}}$$
にあります。この公式を対数微分し$s=0$を代入することで
$$\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}=1+\frac{\log \pi +\gamma }{2}-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho }$$
という式が得られます。この左辺の値は別途$\log 2\pi$となることがわかるので
$$\sum _{\rho }\frac{1}{\rho }=1+\frac{\gamma }{2}-\frac{\log 4\pi }{2}$$
というように求めることができるというのです。また
$$\sum _{\rho }\frac{1}{\rho }=\frac{1}{2}(\sum _{\rho }\frac{1}{\rho }+\sum _{\rho }\frac{1}{\bar{\rho }})=\sum _{\rho }\frac{\frac{\rho +\bar{\rho }}{2}}{|\rho {|}^2}=\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}$$
と変形できるので
$$\sum _{\rho }\frac{1}{|\rho {|}^2}=2+\gamma -\log 4\pi$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値になります。
　そして
$$\sum _{\rho }\frac{\frac{1}{2}}{|\rho {|}^2}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}N(t)\frac{32t}{(4t^2+1{)}^2}dt$$
と表せることや
$$N(T)=1-\frac{T}{2\pi }\log \pi +\frac{1}{\pi }\mathrm{Im}\log \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})+\frac{1}{\pi }\arg \zeta (\frac{1}{2}+iT)$$
が成り立つことを使ってなんやかんやすることで
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-12t^2}{(1+4t^2{)}^3}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt=\frac{\pi (3-\gamma )}{32}$$
が成り立つこととリーマン予想が真であることが同値だということがわかる。といった具合になります。
　では、以下で詳細な証明を見ていきましょう。

不等式の証明

　まず
$$\text{リーマン予想が真}⟺\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}=\sum _{\rho }\frac{\frac{1}{2}}{|\rho {|}^2}$$
を示す。これについては
$$\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}=\sum _{\mathrm{Im}(\rho )>0}(\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}+\frac{\mathrm{Re}(1-\rho )}{|1-\rho {|}^2})$$
であることから
$$\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}+\frac{\mathrm{Re}(1-\rho )}{|1-\rho {|}^2}\le \frac{\frac{1}{2}}{|\rho {|}^2}+\frac{\frac{1}{2}}{|1-\rho {|}^2}$$
すなわち以下の不等式を示せば十分である。

　ただ以下での議論ではもう少し強い主張
$$\text{リーマン予想が真}⟺\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}=\sum _{\rho }\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2^2}+\mathrm{Im}(\rho {)}^2}$$
を示す必要がある。これについては以下の不等式を示せば十分である。

　ちなみに$\underset{\rho }{min}|\mathrm{Im}(\rho )|=14.1347\dots$(出典)なので$|y|>1$という条件は特に気にする必要はない。

級数の変形

　以上より
$$\text{リーマン予想が真}⟺\sum _{\rho }\frac{\mathrm{Re}(\rho )}{|\rho {|}^2}=\sum _{\rho }\frac{2}{4\mathrm{Im}(\rho {)}^2+1}$$
が示された。次にこの右の命題の両辺を変形していく。

積分の計算

　いま この記事 で紹介したように
$$N(T)=1-\frac{T}{2\pi }\log \pi +\frac{1}{\pi }\mathrm{Im}\log \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})+\frac{1}{\pi }\arg \zeta (\frac{1}{2}+iT)$$
が成り立っていたので
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}N(t)\frac{32t}{(4t^2+1{)}^2}dt$$
における各項を計算していく。

第$1,2$項の計算

第$3$項の計算

　まず部分積分する。
$$\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Im}({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})\frac{32t}{4t^2+1}dt)\\ & =& \mathrm{Im}({[-\log \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})\frac{4}{4t^2+1}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{i}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})}\frac{4}{4t^2+1}dt)\\ & =& \mathrm{Re}\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})}\frac{2}{4t^2+1}dt\right)\end{array}$$
ここでガンマ関数の因数分解公式
$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}=s{e}^{\gamma s}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{s}{n})e^{-\frac{s}{n}}$$
を対数微分することで
$$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(s)}{\mathrm{\Gamma }(s)}=-\gamma -\frac{1}{s}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{s+n}-\frac{1}{n})$$
がわかるのでこの各項を積分していく。

　以上より
$$\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Re}\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{it}{2})}\frac{2}{4t^2+1}dt\right)\\ & =& -\frac{\gamma \pi }{2}-\pi -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\pi }{2n+1}-\frac{\pi }{2n})\\ & =& -\pi (\frac{\gamma }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n})\\ & =& -\pi (\frac{\gamma }{2}+\log 2)\end{array}$$
を得る。

第$4$項の計算

　まず部分積分する。
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\arg \zeta (\frac{1}{2}+it)\frac{32t}{(4t^2+1{)}^2}dt=-32{\int }_0^{\mathrm{\infty }}({\int }_0^t\arg \zeta (\frac{1}{2}+is)ds)\frac{1-12t^2}{(4t^2+1{)}^3}dt$$
ここで出てきた
$$S_1(T)={\int }_0^T\arg \zeta (\frac{1}{2}+it)dt$$
を次の補題を使って変形していく。

まとめ

　以上により
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}N(t)\frac{32t}{(4t^2+1{)}^2}dt& =& (4-\frac{\log \pi }{2})-(\frac{\gamma }{2}+\log 2)-\frac{32}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1{)}^3}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt\end{array}$$
がわかり、そしてこれを整理すると
$$\begin{array}{rcl}1+\frac{\gamma }{2}-\log 2-\frac{\log \pi }{2}& =& 4-\frac{\gamma }{2}-\log 2-\frac{\log \pi }{2}-\frac{32}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1{)}^3}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt\\ 3-\gamma & =& \frac{32}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1{)}^3}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt\\ \frac{\pi (3-\gamma )}{32}& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\frac{1}{2}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-12t^2}{(4t^2+1{)}^3}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt\end{array}$$
となるので以下の主張を得る。