非自明な零点の推定

　適当な平行移動によって$z_0=0$であるものとしてよい。いま$f$が$|z|\leq r$において持つ$n$個の零点を$a_1,a_2,\ldots,a_n$とし
$$g(z)=f(z)\prod^n_{k=1}\frac{R^2-\ol{a_k}z}{R(z-a_k)}$$
とおく。このとき$g$は$|z|\leq R$において正則であり、$|z|=R$において
$$|g(z)|=|f(z)|\prod^n_{k=1}\l|\frac{z\ol z-\ol{a_k}z}{|z|(z-a_k)}\r|=|f(z)|$$
が成り立つので
$$|g(0)|\leq\max_{|z|\leq R}|g(z)|=\max_{|z|=R}|g(z)|=M$$
となる(cf. 最大絶対値の原理)。よって
$$|f(0)|=|g(0)|\prod^n_{k=1}\frac{|a_k|}{R}\leq M\l(\frac rR\r)^n$$
を得る。

　 ポアソン・イェンゼンの公式 のVer. 2から
\begin{align} \log|f(0)|&=\sum_{\substack{\a:\rm{zeros}\\|\a|< R}}\log\frac{|\a|}{R} +\frac1{2\pi}\int^{2\pi}_0\log|f(Re^{i\t})|d\t\\ &\leq\sum_{\substack{\a:\rm{zeros}\\|\a|\leq r}}\log\frac{|\a|}{R}+\log M\\ &\leq n\log\frac rR+\log M \end{align}
とわかる。

\begin{eqnarray} \sum_{N\leq n\leq x}a_nf(n) &=&\sum_{N\leq n\leq x}a_n\l(f(x)-\int^x_nf'(t)dt\r)\\ &=&A(x)f(x)-\int^x_N\l(\sum_{N\leq n\leq t}a_n\r)f'(t)dt\\ &=&A(x)f(x)-\int^x_{N}A(t)f'(t)dt \end{eqnarray}
とわかる。

$$\sum_{1\leq n\leq x}1=\f x=x-\an x$$
に注意するとアーベルの総和公式から
\begin{eqnarray} \sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^s} &=&\frac{X-\an X}{X^s}+s\int^X_1\frac{x-\an x}{x^{s+1}}dx \\&=&\l(\frac1{X^{s-1}}-\frac{\an X}{X^s}\r)+\l(\frac s{s-1}-\frac s{(s-1)X^{s-1}}\r)-s\int^X_1\frac{\an x}{x^{s+1}}dx \\&=&\frac s{s-1}-\frac1{(s-1)X^{s-1}}-\frac{\an X}{X^s}-s\int^X_1\frac{\an x}{x^{s+1}}dx \quad\cdots(*) \end{eqnarray}
が成り立つので
\begin{align} \z(s)&=\sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^s}+\l(\sum_{1\leq n\leq\infty}\frac1{n^s}-\sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^s}\r)\\ &=\sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^s}+\frac1{(s-1)X^{s-1}}+\frac{\an X}{X^s}-s\int^\infty_X\frac{\an x}{x^{s+1}}dx \end{align}
を得る。
　また$\an x\leq1$に注意するとこの右辺の積分は
$$\l|\int^\infty_1\frac{\an x}{x^{s+1}}\r|\leq\int^\infty_1\frac1{x^{\Re(s)+1}}dx=\frac1{\Re(s)}$$
と$\Re(s)>0$で収束するのでこの等式自体も$\Re(s)>0$で成立することになる(cf. 一致の定理)。

　任意に$0<\d<1$を取り$\s\geq\d,\;t\geq1$すると$|s|\leq\s+t,\;|s-1|\geq t$に注意すれば
\begin{eqnarray} |\z(s)|&=&\l|\sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^s}+\frac1{(s-1)X^{s-1}}+\frac{\an X}{X^s}-s\int^\infty_X\frac{\an x}{x^{s+1}}dx\r| \\&\leq&\sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^\s}+\frac1{tX^{\s-1}}+\frac1{X^\s}+(\s+t)\int^\infty_X\frac1{x^{\s+1}}dx \\&\leq&\sum_{1\leq n\leq X}\frac1{n^\d}+\frac1{X^{\d-1}}+\frac1{X^\d}+\l(1+\frac t\s\r)\farc1{X^\s} \\&\leq&\int^X_0\frac{dx}{x^\d}+X^{1-\d}+\l(2+\frac t\d\r)\frac1{X^\d} \\&\leq&\frac{X^{1-\d}}{1-\d}+X^{1-\d}+\frac{3t}\d\frac1{X^\d} \end{eqnarray}
と評価できるので$X=t$とすると
$$|\z(s)|<\l(\frac1{1-\d}+1+\frac3\d\r)t^{1-\d}\quad(\s\geq\d,\;t\geq1)$$
が得られる。
　特に$\d=\frac14$としたとき
$$|\z(s)|<\frac{40}3t^\frac34\quad(\s\geq\frac14,t\geq1)$$
を得る。

　証明のあらすじにて解説したように$C$を$-1\pm iT,2\pm iT$を頂点とする長方形を反時計回りに回る経路とすると
$$4\pi N(T)=[\arg\xi(s)]_C$$
が成り立つ。このとき経路$L$に対して変換$z\mapsto 1-z,\ol z,1-\ol z$を施したものをそれぞれ$1-L,\ol L,1-\ol L$とおくと経路$C$は
$$C=L-(1-\ol L)+(1-L)-\ol L$$
と表せることに注意する。
　ここで$\xi(s)=\frac12s(s-1)\cdot\phi(s)$と分けると$s=0,1$は$C$の内部にあるので
$$[\arg(s(s-1))]=4\pi$$
と計算でき、また$\phi$は$\phi(1-s)=\phi(s)$および$\ol{\phi(s)}=\phi(\ol s)$を満たすので
\begin{alignat}{3} [\arg\phi(s)]_{1-L}&=[\arg\phi(1-s)]_L&&=[\arg\phi(s)]_L\\ [\arg\phi(s)]_{\ol L\phantom{-1}}&=[\arg\phi(\ol s)]_L&&=[\arg\ol{\phi(s)}]_L=-[\arg\phi(s)]_L\\ [\arg\phi(s)]_{1-\ol L}&=[\arg\phi(1-s)]_{\ol L}&&=[\arg\phi(s)]_{\ol L}=-[\arg\phi(s)]_L \end{alignat}
つまり
\begin{align} [\arg\phi(s)]_C &=[\arg\phi(s)]_L-[\arg\phi(s)]_{1-\ol L}+[\arg\phi(s)]_{1-L}-[\arg\phi(s)]_{\ol L}\\ &=4[\arg\phi(s)]_L \end{align}
と変形できる。
　したがって$\phi(s)=\pi^{-\frac s2}\G\l(\frac s2\r)\z(s)$であったことから
\begin{align} \pi N(T)&=\pi+[\arg\phi(s)]_L\\ &=\pi+[\arg\pi^{-\frac s2}]_L+\l[\arg\G\l(\frac s2\r)\r]_L+[\arg\z(s)]_L \end{align}
を得る。

　$\arg z=\Im(\log z)$に注意すると
$$[\arg\pi^{-\frac s2}]_L=\l[-\frac{\Im(s)}2\log\pi\r]^{\frac12+iT}_2=-\frac T2\log\pi$$
と計算できる。

　ガンマ関数に対するスターリングの公式
$$\log\G(z)=\l(z-\frac12\r)\log z-z+\frac12\log2\pi+O\l(\frac1{|z|}\r)$$
に注意すると
\begin{eqnarray} \l[\arg\G\l(\frac s2\r)\r]_L&=&\Im\l(\log\G\l(\frac14+\frac{iT}2\r)\r)-\Im(\log\G(1)) \\&=&\Im\l(\l(-\frac14+\frac{iT}2\r)\log\l(\frac14+\frac{iT}2\r)-\l(\frac14+\frac{iT}2\r)+\frac12\log2\pi+O\l(\frac1T\r)\r) \\&=&\frac T2\log\l|\frac14+\frac{iT}2\r|-\frac14\arg\l(\frac14+\frac{iT}2\r)-\frac T2+O\l(\frac1T\r) \end{eqnarray}
と評価できる。
　また
\begin{align} \log\l(\frac14+\frac{iT}2\r)-\log\frac{iT}2 &=\log\l(1+\frac1{2iT}\r)\\ &=\frac1{2iT}+O\l(\frac1{T^2}\r) \end{align}
つまりこの実部虚部を取ることで
\begin{align} \log\l|\frac14+\frac{iT}2\r|&=\log\frac T2+O\l(\frac1{T^2}\r)\\ \arg\l(\frac14+\frac{iT}2\r)&=\frac\pi2+O\l(\frac1T\r) \end{align}
が成り立つことに注意すると主張を得る。

　$m$を経路$L$上で$\Re(\z(s))$が$0$になる回数とし、$L$を$\Re(\z(s))=0$となるような点で分割したものを$L_0,L_1,\ldots,L_m$とおくと、各$L_k$において$\Re(\z(s))$の符号は変わらないので
$$\big|[\arg\z(s)]_{L_k}\big|\leq\pi$$
と評価できる。つまり
$$\big|[\arg\z(s)]_L\big|\leq\sum^m_{k=0}\big|[\arg\z(s)]_{L_k}\big|\leq(m+1)\pi$$
が成り立つ。また
\begin{align} \Re(\z(2+it)) &=1+\sum^\infty_{n=2}\frac{\cos(t\log n)}{n^2}\\ &\geq1-\sum^\infty_{n=2}\frac1{n^2}\\ \bigg(&=2-\frac{\pi^2}6=0.355065\ldots\bigg)\\ &\geq1-\frac1{2^2}-\int^\infty_2\frac{dx}{x^2}=\frac14 \end{align}
なので$\Re(\z(s))$は経路$2\to2+iT$上では$0$にならず、したがって$\Re(\z(s))$は経路$2+iT\to\frac12+iT$上で$m$回$0$になることに注意する。
　いま
$$g(s)=\frac12(\z(s+iT)+\z(s-iT))$$
とおくと、$g$は$\frac12< s<2$において$g(s)=\Re(\z(s+iT))$となるので$m$個の零点を持ち、つまり$|s-2|\leq\frac32$において少なくとも$m$個の零点を持つことになる。また$g$は$s=1\pm iT$を除いて正則なので$T>3$ならば$|s-2|\leq\frac74$において正則であると言える。よって$z_0=2,R=\frac74,r=\frac32$について補題3が適用でき
$$\l(\frac76\r)^m\leq\frac{\max_{|s-2|=\frac74}|g(s)|}{|g(2)|}$$
がわかる。
　そして$T>3$ならば$|\Im(s)|\leq|s-2|\leq\frac74$において$\Re(s)\geq\frac14$かつ$1<3-\frac74\leq|\Im(s)\pm T|\leq T+\frac74$なので
$$|\z(s\pm iT)|\leq\frac{40}3|\Im(s)\pm T|^{\frac34}\leq\frac{40}3(T+\frac74)^{\frac34}=O(T)$$
つまり$|g(s)|=O(T)$と評価でき、また
$$|g(2)|=|\Re(\z(2+iT))|\geq\frac14$$
であったので結局
$$\l(\frac76\r)^m\leq\frac{\max_{|s-2|=\frac74}|g(s)|}{|g(2)|}=O(T)$$
即ち
$$\big|[\arg\z]_L\big|\leq(m+1)\pi=O(\log T)$$
を得る。

$$P(t)=\farc t{2\pi}\l(\log\frac t{2\pi}-1\r)$$
とおくと、平均値の定理よりある$0<\theta<1$が存在して
$$P(T+h)-P(T) =\frac h{2\pi}\log\frac{T+\theta h}{2\pi}=O(\log T)$$
が成り立つので
$$N(T+h)-N(T)=P(T+h)-P(T)+O(\log T)=O(\log T)$$
を得る。

$$s_m=\sum_{m<\Im(\rho)\leq m+1}\farc1{|\rho|},\quad s'_m=\sum_{m<\Im(\rho)\leq m+1}\frac1{|\rho|^2}$$
とおいたとき、$|z|\geq\Im(z)$に注意すると定理11から
\begin{align} s_m&\leq\frac{N(m+1)-N(m)}m=\frac{O(\log m)}{m}\\ s'_m&\leq\farc{N(m+1)-N(m)}{m^2}=\frac{O(\log m)}{m^2} \end{align}
と評価できるので
\begin{eqnarray} \sum_{0<\Im(\rho)\leq T}\farc1{|\rho|} &\leq&\sum_{0\leq m\leq T}s_m \\&=&O\l(\sum_{2\leq m\leq T}\farc{\log m}{m}\r) \\&=&O\l(\int^T_1\frac{\log T}{x}dx\r)=O(\log^2T) \\\\ \sum_{\Im(\rho)>T}\frac1{|\rho|^2} &\leq&\sum_{m>T-1}s'_m \\&=&O\l(\sum_{m>T-1}\frac{\log m}{m^2}\r) \\&=&O\l(\int^\infty_{T-2}\frac{\log x}{x^2}dx\r)=O\l(\l[-\frac1x(\log x+1)\r]^\infty_{T-2}\r)=O\l(\farc{\log T}{T}\r) \end{eqnarray}
を得る。

　$\g_n=\Im(\rho_n)$とおくと
$$N(T)=\frac T{2\pi}\log\frac T{2\pi}-\frac T{2\pi}+O(\log T)\sim\frac T{2\pi}\log T$$
より
$$2\pi N(\g_n\pm1)\sim(\g_n\pm1)\log(\g_n\pm1)\sim\g_n\log\g_n$$
が成り立つので
$$N(\g_n-1)< n\leq N(\g_n+1)$$
に注意すると$2\pi n\sim\g_n\log\g_n$を得る。
　またこれの対数を取ることで
$$\log n\sim\log\g_n+\log\log\g_n\sim\log\g_n$$
が成り立つので
$$\g_n\sim\frac{2\pi n}{\log\g_n}\sim\farc{2\pi n}{\log n}$$
を得る。
　あとは$0<\Re(\rho_n)<1$より$\g_n<|\rho_n|<\g_n+1$に注意すると
$$|\rho_n|\sim\g_n\sim\farc{2\pi n}{\log n}$$
を得る。

　 チェビシェフ関数の素数公式 の証明から
$$-\frac{\z'(s)}{\z(s)}\frac1s =\frac1{s-1}-\frac{\log2\pi}s-\sum_\rho\frac1{\rho(s-\rho)}+\sum^\infty_{n=1}\frac1{2n(s+2n)}$$
が成り立っていたので留数定理より主張を得る。