非自明な零点の推定

　適当な平行移動によって$z_0=0$であるものとしてよい。いま$f$が$|z|\le r$において持つ$n$個の零点を$a_1,a_2,\dots ,a_n$とし
$$g(z)=f(z)\prod _{k=1}^n\frac{R^2-\overline{a_k}z}{R(z-a_k)}$$
とおく。このとき$g$は$|z|\le R$において正則であり、$|z|=R$において
$$|g(z)|=|f(z)|\prod _{k=1}^n\left|\frac{z\bar{z}-\overline{a_k}z}{|z|(z-a_k)}\right|=|f(z)|$$
が成り立つので
$$|g(0)|\le \underset{|z|\le R}{max}|g(z)|=\underset{|z|=R}{max}|g(z)|=M$$
となる(cf. 最大絶対値の原理)。よって
$$|f(0)|=|g(0)|\prod _{k=1}^n\frac{|a_k|}{R}\le M{\left(\frac{r}{R}\right)}^n$$
を得る。

　 ポアソン・イェンゼンの公式 のVer. 2から
$$\begin{array}{rl}\log |f(0)|& =\sum _{\begin{array}{c}\alpha :\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\\ |\alpha |<R\end{array}}\log \frac{|\alpha |}{R}+\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\log |f(R{e}^{i\theta })|d\theta \\ & \le \sum _{\begin{array}{c}\alpha :\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\\ |\alpha |\le r\end{array}}\log \frac{|\alpha |}{R}+\log M\\ & \le n\log \frac{r}{R}+\log M\end{array}$$
とわかる。

$$\begin{array}{rcl}\sum _{N\le n\le x}{a}_{n}f(n)& =& \sum _{N\le n\le x}{a}_n(f(x)-{\int }_n^x{f}^{\prime }(t)dt)\\ & =& A(x)f(x)-{\int }_N^x\left(\sum _{N\le n\le t}{a}_n\right)f^{\prime }(t)dt\\ & =& A(x)f(x)-{\int }_N^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt\end{array}$$
とわかる。

$$\sum _{1\le n\le x}1=\lfloor x\rfloor =x-⟨x⟩$$
に注意するとアーベルの総和公式から
$$\begin{array}{rcl}\sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^s}& =& \frac{X-⟨X⟩}{X^s}+s{\int }_1^X\frac{x-⟨x⟩}{x^{s+1}}dx\\ & =& (\frac{1}{X^{s-1}}-\frac{⟨X⟩}{X^s})+(\frac{s}{s-1}-\frac{s}{(s-1)X^{s-1}})-s{\int }_1^X\frac{⟨x⟩}{x^{s+1}}dx\\ & =& \frac{s}{s-1}-\frac{1}{(s-1)X^{s-1}}-\frac{⟨X⟩}{X^s}-s{\int }_1^X\frac{⟨x⟩}{x^{s+1}}dx\cdots (\ast )\end{array}$$
が成り立つので
$$\begin{array}{rl}\zeta (s)& =\sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^s}+(\sum _{1\le n\le \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}-\sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^s})\\ & =\sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^s}+\frac{1}{(s-1)X^{s-1}}+\frac{⟨X⟩}{X^s}-s{\int }_X^{\mathrm{\infty }}\frac{⟨x⟩}{x^{s+1}}dx\end{array}$$
を得る。
　また$⟨x⟩\le 1$に注意するとこの右辺の積分は
$$\left|{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{⟨x⟩}{x^{s+1}}\right|\le {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\mathrm{Re}(s)+1}}dx=\frac{1}{\mathrm{Re}(s)}$$
と$\mathrm{Re}(s)>0$で収束するのでこの等式自体も$\mathrm{Re}(s)>0$で成立することになる(cf. 一致の定理)。

　任意に$0<\delta <1$を取り$\sigma \ge \delta ,t\ge 1$すると$|s|\le \sigma +t,|s-1|\ge t$に注意すれば
$$\begin{array}{rcl}|\zeta (s)|& =& |\sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^s}+\frac{1}{(s-1)X^{s-1}}+\frac{⟨X⟩}{X^s}-s{\int }_X^{\mathrm{\infty }}\frac{⟨x⟩}{x^{s+1}}dx|\\ & \le & \sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^{\sigma }}+\frac{1}{t{X}^{\sigma -1}}+\frac{1}{X^{\sigma }}+(\sigma +t){\int }_X^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\sigma +1}}dx\\ & \le & \sum _{1\le n\le X}\frac{1}{n^{\delta }}+\frac{1}{X^{\delta -1}}+\frac{1}{X^{\delta }}+(1+\frac{t}{\sigma })\frac{1}{X^{\sigma }}\\ & \le & {\int }_0^X\frac{dx}{x^{\delta }}+X^{1-\delta }+(2+\frac{t}{\delta })\frac{1}{X^{\delta }}\\ & \le & \frac{X^{1-\delta }}{1-\delta }+X^{1-\delta }+\frac{3t}{\delta }\frac{1}{X^{\delta }}\end{array}$$
と評価できるので$X=t$とすると
$$|\zeta (s)|<(\frac{1}{1-\delta }+1+\frac{3}{\delta })t^{1-\delta }(\sigma \ge \delta ,t\ge 1)$$
が得られる。
　特に$\delta =\frac{1}{4}$としたとき
$$|\zeta (s)|<\frac{40}{3}{t}^{\frac{3}{4}}(\sigma \ge \frac{1}{4},t\ge 1)$$
を得る。

　証明のあらすじにて解説したように$C$を$-1\pm iT,2\pm iT$を頂点とする長方形を反時計回りに回る経路とすると
$$4\pi N(T)=[\arg \xi (s){]}_C$$
が成り立つ。このとき経路$L$に対して変換$z\mapsto 1-z,\bar{z},1-\bar{z}$を施したものをそれぞれ$1-L,\bar{L},1-\bar{L}$とおくと経路$C$は
$$C=L-(1-\bar{L})+(1-L)-\bar{L}$$
と表せることに注意する。
　ここで$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1)\cdot \varphi (s)$と分けると$s=0,1$は$C$の内部にあるので
$$[\arg (s(s-1))]=4\pi$$
と計算でき、また$\varphi$は$\varphi (1-s)=\varphi (s)$および$\overline{\varphi (s)}=\varphi (\bar{s})$を満たすので
$$\begin{array}{rlrl}[\arg \varphi (s){]}_{1-L}& =[\arg \varphi (1-s){]}_L& & =[\arg \varphi (s){]}_L\\ [\arg \varphi (s){]}_{\bar{L}\phantom{-1}}& =[\arg \varphi (\bar{s}){]}_L& & =[\arg \overline{\varphi (s)}{]}_L=-[\arg \varphi (s){]}_L\\ [\arg \varphi (s){]}_{1-\bar{L}}& =[\arg \varphi (1-s){]}_{\bar{L}}& & =[\arg \varphi (s){]}_{\bar{L}}=-[\arg \varphi (s){]}_L\end{array}$$
つまり
$$\begin{array}{rl}[\arg \varphi (s){]}_C& =[\arg \varphi (s){]}_L-[\arg \varphi (s){]}_{1-\bar{L}}+[\arg \varphi (s){]}_{1-L}-[\arg \varphi (s){]}_{\bar{L}}\\ & =4[\arg \varphi (s){]}_L\end{array}$$
と変形できる。
　したがって$\varphi (s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$であったことから
$$\begin{array}{rl}\pi N(T)& =\pi +[\arg \varphi (s){]}_L\\ & =\pi +[\arg {\pi }^{-\frac{s}{2}}{]}_L+{[\arg \mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)]}_L+[\arg \zeta (s){]}_L\end{array}$$
を得る。

　$\arg z=\mathrm{Im}(\log z)$に注意すると
$$[\arg {\pi }^{-\frac{s}{2}}{]}_L={[-\frac{\mathrm{Im}(s)}{2}\log \pi ]}_2^{\frac{1}{2}+iT}=-\frac{T}{2}\log \pi$$
と計算できる。

　ガンマ関数に対するスターリングの公式
$$\log \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\log z-z+\frac{1}{2}\log 2\pi +O\left(\frac{1}{|z|}\right)$$
に注意すると
$$\begin{array}{rcl}{[\arg \mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)]}_L& =& \mathrm{Im}(\log \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}+\frac{iT}{2}))-\mathrm{Im}(\log \mathrm{\Gamma }(1))\\ & =& \mathrm{Im}((-\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})\log (\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})-(\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})+\frac{1}{2}\log 2\pi +O\left(\frac{1}{T}\right))\\ & =& \frac{T}{2}\log |\frac{1}{4}+\frac{iT}{2}|-\frac{1}{4}\arg (\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})-\frac{T}{2}+O\left(\frac{1}{T}\right)\end{array}$$
と評価できる。
　また
$$\begin{array}{rl}\log (\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})-\log \frac{iT}{2}& =\log (1+\frac{1}{2iT})\\ & =\frac{1}{2iT}+O\left(\frac{1}{T^2}\right)\end{array}$$
つまりこの実部虚部を取ることで
$$\begin{array}{rl}\log |\frac{1}{4}+\frac{iT}{2}|& =\log \frac{T}{2}+O\left(\frac{1}{T^2}\right)\\ \arg (\frac{1}{4}+\frac{iT}{2})& =\frac{\pi }{2}+O\left(\frac{1}{T}\right)\end{array}$$
が成り立つことに注意すると主張を得る。

　$m$を経路$L$上で$\mathrm{Re}(\zeta (s))$が$0$になる回数とし、$L$を$\mathrm{Re}(\zeta (s))=0$となるような点で分割したものを$L_0,L_1,\dots ,L_m$とおくと、各$L_k$において$\mathrm{Re}(\zeta (s))$の符号は変わらないので
$$|[\arg \zeta (s){]}_{L_k}|\le \pi$$
と評価できる。つまり
$$|[\arg \zeta (s){]}_L|\le \sum _{k=0}^m|[\arg \zeta (s){]}_{L_k}|\le (m+1)\pi$$
が成り立つ。また
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Re}(\zeta (2+it))& =1+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (t\log n)}{n^2}\\ & \ge 1-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\\ (& =2-\frac{{\pi }^2}{6}=0.355065\dots )\\ & \ge 1-\frac{1}{2^2}-{\int }_2^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{4}\end{array}$$
なので$\mathrm{Re}(\zeta (s))$は経路$2\to 2+iT$上では$0$にならず、したがって$\mathrm{Re}(\zeta (s))$は経路$2+iT\to \frac{1}{2}+iT$上で$m$回$0$になることに注意する。
　いま
$$g(s)=\frac{1}{2}(\zeta (s+iT)+\zeta (s-iT))$$
とおくと、$g$は$\frac{1}{2}<s<2$において$g(s)=\mathrm{Re}(\zeta (s+iT))$となるので$m$個の零点を持ち、つまり$|s-2|\le \frac{3}{2}$において少なくとも$m$個の零点を持つことになる。また$g$は$s=1\pm iT$を除いて正則なので$T>3$ならば$|s-2|\le \frac{7}{4}$において正則であると言える。よって$z_0=2,R=\frac{7}{4},r=\frac{3}{2}$について補題3が適用でき
$${\left(\frac{7}{6}\right)}^m\le \frac{\underset{|s-2|=\frac{7}{4}}{max}|g(s)|}{|g(2)|}$$
がわかる。
　そして$T>3$ならば$|\mathrm{Im}(s)|\le |s-2|\le \frac{7}{4}$において$\mathrm{Re}(s)\ge \frac{1}{4}$かつ$1<3-\frac{7}{4}\le |\mathrm{Im}(s)\pm T|\le T+\frac{7}{4}$なので
$$|\zeta (s\pm iT)|\le \frac{40}{3}|\mathrm{Im}(s)\pm T{|}^{\frac{3}{4}}\le \frac{40}{3}(T+\frac{7}{4}{)}^{\frac{3}{4}}=O(T)$$
つまり$|g(s)|=O(T)$と評価でき、また
$$|g(2)|=|\mathrm{Re}(\zeta (2+iT))|\ge \frac{1}{4}$$
であったので結局
$${\left(\frac{7}{6}\right)}^m\le \frac{\underset{|s-2|=\frac{7}{4}}{max}|g(s)|}{|g(2)|}=O(T)$$
即ち
$$|[\arg \zeta {]}_L|\le (m+1)\pi =O(\log T)$$
を得る。

$$P(t)=\frac{t}{2\pi }(\log \frac{t}{2\pi }-1)$$
とおくと、平均値の定理よりある$0<\theta <1$が存在して
$$P(T+h)-P(T)=\frac{h}{2\pi }\log \frac{T+\theta h}{2\pi }=O(\log T)$$
が成り立つので
$$N(T+h)-N(T)=P(T+h)-P(T)+O(\log T)=O(\log T)$$
を得る。

$$s_m=\sum _{m<\mathrm{Im}(\rho )\le m+1}\frac{1}{|\rho |},s_m^{\prime }=\sum _{m<\mathrm{Im}(\rho )\le m+1}\frac{1}{|\rho {|}^2}$$
とおいたとき、$|z|\ge \mathrm{Im}(z)$に注意すると定理11から
$$\begin{array}{rl}{s}_m& \le \frac{N(m+1)-N(m)}{m}=\frac{O(\log m)}{m}\\ s_m^{\prime }& \le \frac{N(m+1)-N(m)}{m^2}=\frac{O(\log m)}{m^2}\end{array}$$
と評価できるので
$$\begin{array}{rcl}\sum _{0<\mathrm{Im}(\rho )\le T}\frac{1}{|\rho |}& \le & \sum _{0\le m\le T}{s}_m\\ & =& O\left(\sum _{2\le m\le T}\frac{\log m}{m}\right)\\ & =& O\left({\int }_1^T\frac{\log T}{x}dx\right)=O({\log }^{2}T)\\ \\ \sum _{\mathrm{Im}(\rho )>T}\frac{1}{|\rho {|}^2}& \le & \sum _{m>T-1}{s}_m^{\prime }\\ & =& O\left(\sum _{m>T-1}\frac{\log m}{m^2}\right)\\ & =& O\left({\int }_{T-2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2}dx\right)=O\left({[-\frac{1}{x}(\log x+1)]}_{T-2}^{\mathrm{\infty }}\right)=O\left(\frac{\log T}{T}\right)\end{array}$$
を得る。

　${\gamma }_n=\mathrm{Im}({\rho }_n)$とおくと
$$N(T)=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+O(\log T)\sim \frac{T}{2\pi }\log T$$
より
$$2\pi N({\gamma }_n\pm 1)\sim ({\gamma }_n\pm 1)\log ({\gamma }_n\pm 1)\sim {\gamma }_n\log {\gamma }_n$$
が成り立つので
$$N({\gamma }_n-1)<n\le N({\gamma }_n+1)$$
に注意すると$2\pi n\sim {\gamma }_n\log {\gamma }_n$を得る。
　またこれの対数を取ることで
$$\log n\sim \log {\gamma }_n+\log \log {\gamma }_n\sim \log {\gamma }_n$$
が成り立つので
$${\gamma }_n\sim \frac{2\pi n}{\log {\gamma }_n}\sim \frac{2\pi n}{\log n}$$
を得る。
　あとは$0<\mathrm{Re}({\rho }_n)<1$より${\gamma }_n<|{\rho }_n|<{\gamma }_n+1$に注意すると
$$|{\rho }_n|\sim {\gamma }_n\sim \frac{2\pi n}{\log n}$$
を得る。

　 チェビシェフ関数の素数公式 の証明から
$$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}\frac{1}{s}=\frac{1}{s-1}-\frac{\log 2\pi }{s}-\sum _{\rho }\frac{1}{\rho (s-\rho )}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n(s+2n)}$$
が成り立っていたので留数定理より主張を得る。