今回前提にしていることなどは前回、前々回に載っていますので
まだ見てない方はそちらを先に見てください。
どうもお久しぶりです。AGAです。
今回はコーシの関数方程式を二つ組み合わせたもののうち、
番号を使って書くと(1)と(2)、(1)と(3)、(1)と(4)です、
ただ、前二つはほぼ前回と同じなので簡単に書きます。
(1)から
(1)から
よって
※解が定数関数でなくなるので方法が急に変わり難易度も上がります
前々回の議論から有理数の範囲では
つまり、
任意の
(2)から
すなわち
任意の実数
それに収束する単調増加有理数列
つねに
このとき関数
つまり、実数の範囲でも
から、実数の範囲でも
したがって解は
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,3)
(2,4)
(3,4)
コーシーの関数方程式は一つだけだと無限に解をもつのに二つ連立すると1,2つに解が定まるというのが普通の連立方程式のようだと思いました。