4C2のコーシーの関数方程式(前編)

はじめに

どうもこんにちは、AGAです。
今回はコーシの関数方程式を二つ組み合わせたもののうち、
$f(x+y)=f(x)+f(y)$を含んでいないものについて書ていきます

関数方程式、コーシーの関数方程式について知らない方はこちら
https://mathlog.info/articles/2632

番号づけ

便宜上、式に番号をつけていきます
$f(x+y)=f(x)+f(y)$・・・(1)
$f(x+y)=f(x)f(y)$・・・(2)
$f(xy)=f(x)+f(y)$・・・(3)
$f(xy)=f(x)f(y)$・・・(4)

今回書くのは
(2)と(3)、(2)と(4)、(3)と(4)です。

(2)と(4)

※(2)と(3)は三つの中で唯一共通している部分がないので最後にしています。

(2)と(4)は右辺が等しいから、左辺も等しく
$f(x+y)=f(xy)$・・・[1]
また、(4)に$x,y=0$に代入して
$f(0)=f(0)^2$
$f(0)=0,1$
(2)に$y=0$を代入して
$f(x)=f(x)f(0)$
$f(0)=1$のときは何も得られないが
$f(0)=0$のときは$f(x)=0$となる。

以下$f(0)=1$とする
[1]から
$f(x+0)=f(x \times 0)$
$f(x)=f(0)=1$
すなわち、$f(x)=1$となる。

実際に$f(x)=0,1$を(2),(4)に代入すると等号が成り立つので
$f(x)=0,1$が解となる

なお、(2)の式に$y=-x$を代入すると
$f(0)=f(x)f(-x)$と$f(0)$が定義できるので、$\log |x|$のような場合を排除できる。

(3)と(4)

(3)と(4)は左辺が等しいから、右辺も等しく
$f(x)+f(y)=f(x)f(y)$・・・[2]
これに$y=x$を代入し、
$2f(x)=f(x)^2$
$f(x)=0,2$
$f(x)=2を$(3)に代入すると
$2=2 \times 2$となり等号が成り立たない
$f(x)=0$のときは等号が成り立つ

よって、解は$f(x)=0$のみとなる

(2)と(3)

まず、(3)に$x,y=0$を代入し、
$f(0)=f(0)+f(0)$
$f(0)=0$
(2)に$y=0$を代入して
$f(x+0)=f(x)f(0)$
$f(x)=0$
これを(2),(4)に代入すると等号が成り立つので
$f(x)=0$が解となる

次回予告

今回は(1)を含まない3つですが、
次回は(1)を含む三つについて書いていきます。
今回は定数関数しか解になりませんでしたが、次回は定数関数以外も解に持つものもでてきます。ぜひ何のことか考えてみてください。