整数のマイナー知識達

$$v_p(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left[\frac{n}{p^k}\right]$$

$k$を$(a-b)_{(p)}+b_{(p)}$を計算したときに起こる繰り上がりの回数とするとき
$v_p({}_a\mathrm{C}_b)=k$

$a_{(p)}=a_ka_{k-1}...a_1a_0,\ b_{(p)}=b_{k}b_{k-1}...b_1b_0$とすると
$${}_{a}\mathrm{C}_b\equiv \prod_{i=0}^k{}_{a_i}\mathrm{C}_{b_i}\ (\bmod p)$$

$\displaystyle v_p(a-b)>\frac{1}{p-1},\ v_p(a)=0$のとき
$$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)$$

$K$を代数体,$v(p)=e$とする.
$x,y\in K$が$v(x)=v(y)=0,v(x-y) > 0$を満たすとき,$n$を任意の整数とすると,以下が成立する.

$(1)$$v(x-y) > \dps{\frac{e}{p-1}}$のとき$v(x^n-y^n)=v(x-y)+v(n)$
$0< v(x-y)\leq\dps\frac{e}{p-1}$のときは$L=\log_p\left(\dps\frac{pe}{(p-1)v(x-y)}\right)$とすると
$(2)$$v(n)\leq L$のとき$v(x^n-y^n)=p^{v(n)}v(x-y)$
$(3)$$v(n)>L$のとき$v(x^n-y^n)=v(x^{p^{[L]}}-y^{p^{[L]}})+v(n)-e[L]$
特に$L$が整数でないなら$v(x^n-y^n)=p^{[L]}v(x-y)+v(n)-e[L]$

$x,y\ (x>y>0)$を互いに素な整数とする.$a_n=x^n-y^n$は以下の例外を除いて原始的素因数を持つ.

• $n=1,\ x-y=1$のとき($a_1=1$)
• $n=2$かつ$x+y=2^k$のとき($a_2=2^ka_1$)
• $n=6,\ x=2,\ y=1$のとき($a_6=63=a_2^2a_3$)

また$a_n=x^n+y^n$とすると$n=3,\ x=2,\ y=1$のとき($a_3=9=a_2^2$)を除いて$a_n$は原始的素因数を持つ.

• $n>30$のとき任意のLucas数列,Lehmer数列は原始的素因数を持つ.
• 全ての$n$-defectiveなLucasペア$\displaystyle (\frac{a-\sqrt b}2,\frac{a+\sqrt b}2)$は表1で与えられる.
• $n\neq3,4,5,6,8,10,12$とするとき$n$-defectiveなLehmerペア$\displaystyle(\frac{\sqrt a-\sqrt b}2,\frac{\sqrt a+\sqrt b}2)$は表2で与えられる.
• $n=3,4,5,6,8,10,12$のとき$n$\defectiveなLehmerペア$\displaystyle(\frac{\sqrt a-\sqrt b}2,\frac{\sqrt a+\sqrt b}2)$は図1によって与えられる.

$p=n^2+m^2$と表される$\Leftrightarrow\ p\equiv1,2(\bmod4)$
左辺の分解の仕方は符号や$n,m$の置換を除き一意である.

$n$を正整数とする.このとき$x^2+y^2=n(x,y\in\mathbb Z)$の解の個数は
$$r_2(n)=4\sum_{2|\not \ d|n}(-1)^{\frac{d-1}2}$$

$(1)$全ての正整数$n$は$4$つの($0$を含む)平方数の和で表される.
$(2)\ x^2+y^2+z^2+w^2=n$の解の個数は
$$r_4(n)=8\sum_{4|\not \ d|n}d$$