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代数体におけるLTEの補題

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$$\newcommand{dps}[0]{\displaystyle} $$

後に書いた 記事 が完全に上位互換になっています.そっちを読んだ方がいいかもしれません

前回 イデアルにおけるLTEの補題 では,LTEの補題を環に一般化しました.実際はやはり代数体に応用したいことが多いのでそこら辺を書いていきます.応用としてはフィボナッチ数列が何回素数で割り切れるかの決定に利用できます.(行列にも応用できます.)
以下$K$を代数体,$\mathcal O$をその整数環,$\mathfrak p$を極大イデアル,$p=\mathrm{ch}(\mathcal O/\mathfrak p)$,$e,f$を分岐指数,相似指数,$v_{\mathfrak p}$$\mathfrak p$進(指数)付値とする.($\mathfrak p$は適宜省略する)

代数体のLTEの補題

前回は付値の一般化となるものについてLTEの補題を示したが,$v_{\mathfrak p}$は付値なので明らかに前回の定義の条件を満たす.従って以下の定理が成立する.

$x\in K$$2$以上の全ての整数$k$に対して$(k-1)v(x-1) > v(k)$を満たすなら任意の正整数$n$に対して$$v(x^n-1)=v(x-1)+v(n) $$が成立する.

この定理を代数体の性質を使って加工する.まず条件を見てみる.$(k-1)v(x-1) > v(k)...(A)$だが整数の世界なので有理数に拡張して割り算をすることが出来る.
よって$(A)\Longleftrightarrow v(x-1) > \displaystyle{\frac{v(k)}{k-1}}$
さらに$\displaystyle{\frac{v(k)}{k-1}}\geq \displaystyle{\frac{v(k)}{p^{v(k)/e}-1}}\geq \displaystyle{\frac{e}{p-1}}$(等号は$k=p$のとき)(最後の不等号は$\displaystyle{\frac{x}{p^x-1}}$を微分すると$\displaystyle{\frac{p^x-1-xp^{x}\log p}{(p^x-1)^2}}$$x>1$のとき$p>2$なら負で$p=2$なら分子を微分すると$-xp^x\log^2 p<0$で分子に$x=1$を代入すると$2-1-2\log 2=1-\log4 < 0$であることから従う)となるので条件は$v(x-1) > \displaystyle{\frac{e}{p-1}}$と同値である.
次に$x=\dps{\frac{a}{b}}$($v(a)=v(b)=0$)とおくと定理の条件は$v(a-b)>\dps{\frac e{p-1}}$,定理は$v(a^n-b^n)=v(a-b)+v(n)$となる.
最後に$n$を整数に拡張する.これは$n=0$のとき両辺ともに$\infty$になる事から従い,$n < 0$のときは$v(a^{-n}-b^{-n})=v(a^n-b^n)$であることから従う.よって以下の定理を得る.

代数体におけるLTEの補題

$x,y\in K$$v(x)=v(y)=0,v(x-y) > \dps{\frac{e}{p-1}}$を満たすとき,$n$を任意の整数とすると,$$v(x^n-y^n)=v(x-y)+v(n)$$が成立する.

これで良く見慣れた形のLTEの補題を得ることが出来た!注目すべき点は代数体に拡張したことで$p=2$でなくてもLTEの補題が成立しないことがあり得るということです.
同様な考察で以下の定理も得る.

$x,y\in K$$v(x)=v(y)=0,v(x-y) >0 $を満たすとき,$n$$p$で割り切れない任意の整数とすると,$$v(x^n-y^n)=v(x-y)$$が成立する.

フィボナッチ数列

$\phi=\dps{\frac{1+\sqrt5}{2}}$とし,$F_n=\dps{\frac{\phi^n-\phi^{-n}}{\sqrt5}}$とすると,分子にLTEの補題を適用できそうである.$p=3$を例にとると$F_4=3$なので$F_{12}$$3$$2$回割り切れるはずである.実際$F_{12}=144$なので定理が正しいことがわかる.

さらなるLTE

$v(x-y) > \dps{\frac{e}{p-1}}$を満たさないときはどうなるだろうか.$p=2$$(3)$のような公式はあるだろうか?答えはあるである.その定理を示したいと思う.

$0< v(x-y)\leq\dps\frac{e}{p-1},v(x)=v(y)=0$のときは$L=\log_p\left(\dps\frac{pe}{(p-1)v(x-y)}\right)$とすると
$(1)$$v(n)\leq L$のとき$v(x^n-y^n)=p^{v(n)}v(x-y)$
$(2)$$v(n)>L$のとき$v(x^n-y^n)=v(x^{p^{[L]}}-y^{p^{[L]}})+v(n)-e[L]$
特に$L$が整数でないなら$v(x^n-y^n)=p^{[L]}v(x-y)+v(n)-e[L]$
が成り立つ.ただし$[\ ]$は中の数字以下の最大の整数,つまりガウス記号である.

まず補題を一つ示す.(ノイキルヒ『代数的整数論』1.10節にも似た補題がありました)

$p$を素数とし,$\zeta_p=e^{\frac{2\pi i}{p}}$とする.$K$$\zeta_p$を含む代数体,$\mathfrak p$$p$を含む素イデアル,$n$$p$と互いに素な正整数とすると,$$v_{\mathfrak p}(1-\zeta_p^n)=\frac{e}{p-1}$$となる.

$\zeta_p\in\mathcal O_K$に注意しておく.
$\dps\prod_{k=1}^{p-1}(1-\zeta_p^k)=1^{p-1}+1^{p-2}+...+1=p$である.
ここで$\varepsilon_k=\dps\frac{1-\zeta_p^k}{1-\zeta_p}=1+\zeta_p+...+\zeta_p^{k-1}\in \mathcal O_K$とおくと$kk'\equiv1\ (\mathrm{mod}\ p)$を満たす正整数$k'$に対して$\varepsilon_k^{-1}=\dps\frac{1-\zeta_p^{kk'}}{1-\zeta_p^{k}}=1+\zeta_p^k+...+\zeta_p^{kk'-k}\in \mathcal O_K$となるので.$\varepsilon_k$は単数である.従って$v(1-\zeta_p^k)=v(1-\zeta_p)\therefore(p-1)v(1-\zeta_p)=\sum_{k=1}^{p-1}v(1-\zeta_p^k)=v(p)=e$となる.よって示された.

定理4

いつものように$y=1,n > 0$のときを示せば良い.つまり$L=\log_p\left(\dps\frac{pe}{(p-1)v(x-1)}\right)$とするとき
$(1)$$v(n)\leq L$のとき$v(x^n-1)=p^{v(n)}v(x-1)$
$(2)$$v(n)>L$のとき$v(x^n-1)=v(x^{p^{[L]}}-1)+v(n)-e[L]$
特に$L$が整数でないなら$v(x^n-1)=p^{[L]}v(x-1)+v(n)-e[L]$を示す.
$n=mp^k$($m$$p$で割り切れない)とすると定理3から$v(x^n-y^n)=v((x^{p^k})^m)-(y^{p^k})^m)=v(x^{p^k}-y^{p^k})$となるため$n=p^k$のときのみ示せば良い.
さらに$K[\zeta_p]$での$\mathfrak p$上の素イデアルを$\mathfrak P$とし,$K[\zeta_p]/\mathbb Q$での$\mathfrak P$の分岐指数を$e'$とすると示すべき式の両辺に$\dps\frac{e'}e$を掛けることを考えると,もともと$K$$\zeta_p$を含むとしてよい.

Case1:$p^kv(x-1)<\dps\frac{pe}{p-1}$のとき.つまり$k< L$のとき
$v(x^{p^k}-1)=p^kv(x-1)$を帰納的に示す.$k=0$のとき$v(x^{p^0}-1)=p^0v(x-1)$である.
$k=l$のとき$v(x^{p^l}-1)=p^lv(x-1)$とし,$p^{l+1}v(x-1) < \dps\frac{pe}{p-1}$であると仮定すると,$v(x^{p^l}-1)=p^{l}v(x-1)<\dps\frac e{p-1}$なので補題5から$1\leq m \leq p-1$なら$$v(x^{p^l}-1+1-\zeta_p^m)=v(x^{p^l}-\zeta_p^m)=\min(v(x^{p^l}-1),\dps\frac e{p-1})=v(x^{p^l}-1)$$となる.よって
$v(x^{p^{l+1}}-1)=v((x^{p^l})^p-1)=v(x^{p^l}-1)+\dps\sum_{m=1}^{p-1}v(x^{p^l}-\zeta_p^m)=p^{l+1}v(x-1)$となるので$k=l+1$でも成立する.
よって数学的帰納法から$p^kv(x-1)<\dps\frac{pe}{p-1}$のとき$v(x^{p^k}-1)=p^kv(x-1)$であることがわかった.

Case2:$p^kv(x-1)\geq\dps\frac{pe}{p-1}$のとき.つまり$k\geq L$のとき
$p^{[L]}v(x-1)\leq p^Lv(x-1)=\frac{pe}{p-1}$である.
$(1)$ $L$が整数でないとき,$p^{[L]}v(x-1) < \dps\frac {pe}{p-1}$よりCase1から$v(x^{p^{[L]}}-1)=p^{[L]}v(x-1)>p^{L-1}v(x-1)=\dps\frac{pe}{p-1}$なので定理2から$$\begin{align}v(x^{p^k}-1)=&v((x^{p^{[L]}})^{p^{k-[L]}}-1)\\=&v(x^{p^{[L]}}-1)+ek-e[L]\\=&p^{[l]}v(x-1)+ek-e[L]\end{align} $$となる.
$(2)$ $L$が整数の時,$p^{[L]-1}v(x-1)=\dps\frac e{p-1}$よりCase1から$v(x^{p^{[L]-1}}-1)=\dps\frac e{p-1}$.
補題5より$l=L-1$とすると$1\leq m< p$なら$v(x^{p^l}-\zeta_p^m)\geq \min(v(x^{p^l}-1),\dps\frac e{p-1})=\frac{e}{p-1}$なのでCase1と同様に
$v(x^{p^L}-1)\geq \dps\frac {pe}{p-1} > \dps\frac e{p-1}$となるので定理2から$v(x^{p^k}-1)=v((x^{p^L})^{p^{k-L}}-1)=v(x^{p^{L}}-1)+ek-eL$がわかる.

この定理は$p=2$のLTEの補題の$(3)$にあたる.これで代数体にLTEの補題を完全に拡張できた!上の定理をまとめると以下のようになる.

$x,y\in K$$v(x)=v(y)=0,v(x-y) > 0$を満たすとき,$n$を任意の整数とすると,以下が成立する.

$(1)$$v(x-y) > \dps{\frac{e}{p-1}}$のとき$v(x^n-y^n)=v(x-y)+v(n)$
$0< v(x-y)\leq\dps\frac{e}{p-1}$のときは$L=\log_p\left(\dps\frac{pe}{(p-1)v(x-y)}\right)$とすると
$(2)$$v(n)\leq L$のとき$v(x^n-y^n)=p^{v(n)}v(x-y)$
$(3)$$v(n)>L$のとき$v(x^n-y^n)=v(x^{p^{[L]}}-y^{p^{[L]}})+v(n)-e[L]$
特に$L$が整数でないなら$v(x^n-y^n)=p^{[L]}v(x-y)+v(n)-e[L]$

これを使って行列式に関する少し面白い定理を示したいがそれは次回にしたい.

投稿日:20201123

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