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代数体におけるLTEの補題

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後に書いた 記事 が完全に上位互換になっています.そっちを読んだ方がいいかもしれません

前回 イデアルにおけるLTEの補題 では,LTEの補題を環に一般化しました.実際はやはり代数体に応用したいことが多いのでそこら辺を書いていきます.応用としてはフィボナッチ数列が何回素数で割り切れるかの決定に利用できます.(行列にも応用できます.)
以下Kを代数体,Oをその整数環,pを極大イデアル,p=ch(O/p),e,fを分岐指数,相似指数,vpp進(指数)付値とする.(pは適宜省略する)

代数体のLTEの補題

前回は付値の一般化となるものについてLTEの補題を示したが,vpは付値なので明らかに前回の定義の条件を満たす.従って以下の定理が成立する.

xK2以上の全ての整数kに対して(k1)v(x1)>v(k)を満たすなら任意の正整数nに対してv(xn1)=v(x1)+v(n)が成立する.

この定理を代数体の性質を使って加工する.まず条件を見てみる.(k1)v(x1)>v(k)...(A)だが整数の世界なので有理数に拡張して割り算をすることが出来る.
よって(A)v(x1)>v(k)k1
さらにv(k)k1v(k)pv(k)/e1ep1(等号はk=pのとき)(最後の不等号はxpx1を微分するとpx1xpxlogp(px1)2x>1のときp>2なら負でp=2なら分子を微分するとxpxlog2p<0で分子にx=1を代入すると212log2=1log4<0であることから従う)となるので条件はv(x1)>ep1と同値である.
次にx=ab(v(a)=v(b)=0)とおくと定理の条件はv(ab)>ep1,定理はv(anbn)=v(ab)+v(n)となる.
最後にnを整数に拡張する.これはn=0のとき両辺ともにになる事から従い,n<0のときはv(anbn)=v(anbn)であることから従う.よって以下の定理を得る.

代数体におけるLTEの補題

x,yKv(x)=v(y)=0,v(xy)>ep1を満たすとき,nを任意の整数とすると,v(xnyn)=v(xy)+v(n)が成立する.

これで良く見慣れた形のLTEの補題を得ることが出来た!注目すべき点は代数体に拡張したことでp=2でなくてもLTEの補題が成立しないことがあり得るということです.
同様な考察で以下の定理も得る.

x,yKv(x)=v(y)=0,v(xy)>0を満たすとき,npで割り切れない任意の整数とすると,v(xnyn)=v(xy)が成立する.

フィボナッチ数列

ϕ=1+52とし,Fn=ϕnϕn5とすると,分子にLTEの補題を適用できそうである.p=3を例にとるとF4=3なのでF1232回割り切れるはずである.実際F12=144なので定理が正しいことがわかる.

さらなるLTE

v(xy)>ep1を満たさないときはどうなるだろうか.p=2(3)のような公式はあるだろうか?答えはあるである.その定理を示したいと思う.

0<v(xy)ep1,v(x)=v(y)=0のときはL=logp(pe(p1)v(xy))とすると
(1)v(n)Lのときv(xnyn)=pv(n)v(xy)
(2)v(n)>Lのときv(xnyn)=v(xp[L]yp[L])+v(n)e[L]
特にLが整数でないならv(xnyn)=p[L]v(xy)+v(n)e[L]
が成り立つ.ただし[ ]は中の数字以下の最大の整数,つまりガウス記号である.

まず補題を一つ示す.(ノイキルヒ『代数的整数論』1.10節にも似た補題がありました)

pを素数とし,ζp=e2πipとする.Kζpを含む代数体,ppを含む素イデアル,npと互いに素な正整数とすると,vp(1ζpn)=ep1となる.

ζpOKに注意しておく.
k=1p1(1ζpk)=1p1+1p2+...+1=pである.
ここでεk=1ζpk1ζp=1+ζp+...+ζpk1OKとおくとkk1 (mod p)を満たす正整数kに対してεk1=1ζpkk1ζpk=1+ζpk+...+ζpkkkOKとなるので.εkは単数である.従ってv(1ζpk)=v(1ζp)(p1)v(1ζp)=k=1p1v(1ζpk)=v(p)=eとなる.よって示された.

定理4

いつものようにy=1,n>0のときを示せば良い.つまりL=logp(pe(p1)v(x1))とするとき
(1)v(n)Lのときv(xn1)=pv(n)v(x1)
(2)v(n)>Lのときv(xn1)=v(xp[L]1)+v(n)e[L]
特にLが整数でないならv(xn1)=p[L]v(x1)+v(n)e[L]を示す.
n=mpk(mpで割り切れない)とすると定理3からv(xnyn)=v((xpk)m)(ypk)m)=v(xpkypk)となるためn=pkのときのみ示せば良い.
さらにK[ζp]でのp上の素イデアルをPとし,K[ζp]/QでのPの分岐指数をeとすると示すべき式の両辺にeeを掛けることを考えると,もともとKζpを含むとしてよい.

Case1:pkv(x1)<pep1のとき.つまりk<Lのとき
v(xpk1)=pkv(x1)を帰納的に示す.k=0のときv(xp01)=p0v(x1)である.
k=lのときv(xpl1)=plv(x1)とし,pl+1v(x1)<pep1であると仮定すると,v(xpl1)=plv(x1)<ep1なので補題5から1mp1ならv(xpl1+1ζpm)=v(xplζpm)=min(v(xpl1),ep1)=v(xpl1)となる.よって
v(xpl+11)=v((xpl)p1)=v(xpl1)+m=1p1v(xplζpm)=pl+1v(x1)となるのでk=l+1でも成立する.
よって数学的帰納法からpkv(x1)<pep1のときv(xpk1)=pkv(x1)であることがわかった.

Case2:pkv(x1)pep1のとき.つまりkLのとき
p[L]v(x1)pLv(x1)=pep1である.
(1) Lが整数でないとき,p[L]v(x1)<pep1よりCase1からv(xp[L]1)=p[L]v(x1)>pL1v(x1)=pep1なので定理2からv(xpk1)=v((xp[L])pk[L]1)=v(xp[L]1)+eke[L]=p[l]v(x1)+eke[L]となる.
(2) Lが整数の時,p[L]1v(x1)=ep1よりCase1からv(xp[L]11)=ep1.
補題5よりl=L1とすると1m<pならv(xplζpm)min(v(xpl1),ep1)=ep1なのでCase1と同様に
v(xpL1)pep1>ep1となるので定理2からv(xpk1)=v((xpL)pkL1)=v(xpL1)+ekeLがわかる.

この定理はp=2のLTEの補題の(3)にあたる.これで代数体にLTEの補題を完全に拡張できた!上の定理をまとめると以下のようになる.

x,yKv(x)=v(y)=0,v(xy)>0を満たすとき,nを任意の整数とすると,以下が成立する.

(1)v(xy)>ep1のときv(xnyn)=v(xy)+v(n)
0<v(xy)ep1のときはL=logp(pe(p1)v(xy))とすると
(2)v(n)Lのときv(xnyn)=pv(n)v(xy)
(3)v(n)>Lのときv(xnyn)=v(xp[L]yp[L])+v(n)e[L]
特にLが整数でないならv(xnyn)=p[L]v(xy)+v(n)e[L]

これを使って行列式に関する少し面白い定理を示したいがそれは次回にしたい.

投稿日:20201123
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