後に書いた
記事
が完全に上位互換になっています.そっちを読んだ方がいいかもしれません
前回
イデアルにおけるLTEの補題
では,LTEの補題を環に一般化しました.実際はやはり代数体に応用したいことが多いのでそこら辺を書いていきます.応用としてはフィボナッチ数列が何回素数で割り切れるかの決定に利用できます.(行列にも応用できます.)
以下を代数体,をその整数環,を極大イデアル,,を分岐指数,相似指数,を進(指数)付値とする.(は適宜省略する)
代数体のLTEの補題
前回は付値の一般化となるものについてLTEの補題を示したが,は付値なので明らかに前回の定義の条件を満たす.従って以下の定理が成立する.
が以上の全ての整数に対してを満たすなら任意の正整数に対してが成立する.
この定理を代数体の性質を使って加工する.まず条件を見てみる.だが整数の世界なので有理数に拡張して割り算をすることが出来る.
よって
さらに(等号はのとき)(最後の不等号はを微分するとでのときなら負でなら分子を微分するとで分子にを代入するとであることから従う)となるので条件はと同値である.
次に()とおくと定理の条件は,定理はとなる.
最後にを整数に拡張する.これはのとき両辺ともにになる事から従い,のときはであることから従う.よって以下の定理を得る.
代数体におけるLTEの補題
がを満たすとき,を任意の整数とすると,が成立する.
これで良く見慣れた形のLTEの補題を得ることが出来た!注目すべき点は代数体に拡張したことででなくてもLTEの補題が成立しないことがあり得るということです.
同様な考察で以下の定理も得る.
がを満たすとき,をで割り切れない任意の整数とすると,が成立する.
フィボナッチ数列
とし,とすると,分子にLTEの補題を適用できそうである.を例にとるとなのではで回割り切れるはずである.実際なので定理が正しいことがわかる.
さらなるLTE
を満たさないときはどうなるだろうか.ののような公式はあるだろうか?答えはあるである.その定理を示したいと思う.
のときはとすると
のとき
のとき
特にが整数でないなら
が成り立つ.ただしは中の数字以下の最大の整数,つまりガウス記号である.
まず補題を一つ示す.(ノイキルヒ『代数的整数論』1.10節にも似た補題がありました)
を素数とし,とする.をを含む代数体,をを含む素イデアル,をと互いに素な正整数とすると,となる.
に注意しておく.
である.
ここでとおくとを満たす正整数に対してとなるので.は単数である.従ってとなる.よって示された.
定理4
いつものようにのときを示せば良い.つまりとするとき
のとき
のとき
特にが整数でないならを示す.
(はで割り切れない)とすると定理3からとなるためのときのみ示せば良い.
さらにでの上の素イデアルをとし,でのの分岐指数をとすると示すべき式の両辺にを掛けることを考えると,もともとはを含むとしてよい.
Case1:のとき.つまりのとき
を帰納的に示す.のときである.
のときとし,であると仮定すると,なので補題5からならとなる.よって
となるのででも成立する.
よって数学的帰納法からのときであることがわかった.
Case2:のとき.つまりのとき
である.
が整数でないとき,よりCase1からなので定理2からとなる.
が整数の時,よりCase1から.
補題5よりとするとならなのでCase1と同様に
となるので定理2からがわかる.
この定理はのLTEの補題のにあたる.これで代数体にLTEの補題を完全に拡張できた!上の定理をまとめると以下のようになる.
がを満たすとき,を任意の整数とすると,以下が成立する.
のとき
のときはとすると
のとき
のとき
特にが整数でないなら
これを使って行列式に関する少し面白い定理を示したいがそれは次回にしたい.