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アーベルの総和公式のとある一般化

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はじめに

 この記事では数論とかでよくみる便利なテクニックを紹介します。
 アーベルの総和公式とは次のような公式のことを言うのでした。

アーベルの総和公式

 fC1級関数としたとき、A(x)=0nxanとおくと、
0nxanf(n)=A(x)f(x)0xA(t)f(t)dt
が成り立つ。

 これを一般化したものとして以下の主張が成り立ちます。

一般化アーベルの総和公式

 AR0を任意の切片が有限となる集合、gC1級関数としたとき、F(x)=aAaxf(a)とおくと、
aAaxf(a)g(a)=F(x)g(x)0xF(t)g(t)dt
が成り立つ。

aAaxf(a)g(a)=aAaxf(a)(g(x)axg(t)dt)=aAaxf(a)g(x)0xaAatf(a)g(t)dt=F(x)g(x)0xF(t)g(t)dt

応用例

その1

 例えばAを素数全体をPとしf(p)=1,g(x)=logxとおくと、素数計数関数とチェビシェフ関数
π(x)=px1,ϑ(x)=pxlogp
との関係を示す式
ϑ(x)=π(x)logx2xπ(x)xdx
が得られる。
 同様の例は この記事 にてまとめられている。

その2

 同様に
A={pnpP,n=1,2,3,}
としf(pn)=logp,g(x)=xsとおくとゼータ関数とチェビシェフ関数
ζ(s)ζ(s)=pn=1logppns,ψ(x)=pnxlogp
との関係を示す式
ζ(s)ζ(s)=s1ψ(x)xs1dx
が得られる。
 これは 素数公式 を導出するのに重要な式となっている。

その3

 少し変則的だがAをリーマンゼータ関数の非自明な零点のうち虚部が正のもの全体
A={ρCζ(ρ)=0,Im(ρ)>0}
とし
N(T)=0<Im(ρ)T1
とおくと
Im(ρ)>044Im(ρ)2+1=0N(t)32t(4t2+1)2dt
といった等式が得られる。
 これはリーマン予想と同値な Volchkovの等式 を導出するのに重要な式となっている。

投稿日:20211110
更新日:2024125
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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