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アーベルの総和公式のとある一般化

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{ndiv}[0]{\nmid} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times} $$

 この記事では数論とかでよくみる便利なテクニックを紹介します。
 アーベルの総和公式とは次のような公式のことを言うのでした。

アーベルの総和公式

$f$$C^1$級関数としたとき、$A(x)=\sum_{0\leq k\leq x}a_k$とおくと、
$\dis \sum^n_{k=0}a_kf(k)=A(n)f(n)-\int^n_0A(x)f'(x)dx$
が成り立つ。

 これを一般化したものとして以下の主張が成り立ちます。

一般化アーベルの総和公式

$A$を任意の切片が有限な正の実数から成る集合、$g$$C^1$級関数としたとき、$F(x)=\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)$とおくと、
$\dis\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)g(a)=F(x)g(x)-\int^x_0 F(t)g'(t)dt$
が成り立つ。

\begin{eqnarray} \sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)g(a) &=&\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)\l(g(x)-\int^x_a g'(t)dt\r) \\&=&\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)g(x)-\int^x_0\sum_{\substack{a\in A\\a\leq t}}f(a)g(t)dt \\&=&F(x)g(x)-\int^x_0 F(t)g'(t)dt \end{eqnarray}

 以上です。

投稿日:20211110

投稿者

主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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