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解説高校数学
アーベルの総和公式のとある一般化
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$$\newcommand{a}[0]{\alpha}
\newcommand{b}[0]{\beta}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{d}[0]{\delta}
\newcommand{dis}[0]{\displaystyle}
\newcommand{e}[0]{\varepsilon}
\newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}}
\newcommand{G}[0]{\Gamma}
\newcommand{g}[0]{\gamma}
\newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}}
\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}}
\newcommand{Im}[0]{\mathrm{Im}}
\newcommand{Ker}[0]{\mathrm{Ker}}
\newcommand{l}[0]{\left}
\newcommand{ndiv}[0]{\nmid}
\newcommand{ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{r}[0]{\right}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{Re}[0]{\mathrm{Re}}
\newcommand{s}[0]{\sigma}
\newcommand{ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{z}[0]{\zeta}
\newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z}}
\newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/{#1}\mathbb{Z})^\times}
$$
この記事では数論とかでよくみる便利なテクニックを紹介します。
アーベルの総和公式とは次のような公式のことを言うのでした。
アーベルの総和公式
$f$を$C^1$級関数としたとき、$A(x)=\sum_{0\leq k\leq x}a_k$とおくと、
$\dis \sum^n_{k=0}a_kf(k)=A(n)f(n)-\int^n_0A(x)f'(x)dx$
が成り立つ。
これを一般化したものとして以下の主張が成り立ちます。
一般化アーベルの総和公式
$A$を任意の切片が有限な正の実数から成る集合、$g$を$C^1$級関数としたとき、$F(x)=\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)$とおくと、
$\dis\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)g(a)=F(x)g(x)-\int^x_0 F(t)g'(t)dt$
が成り立つ。
\begin{eqnarray} \sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)g(a) &=&\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)\l(g(x)-\int^x_a g'(t)dt\r) \\&=&\sum_{\substack{a\in A\\a\leq x}}f(a)g(x)-\int^x_0\sum_{\substack{a\in A\\a\leq t}}f(a)g(t)dt \\&=&F(x)g(x)-\int^x_0 F(t)g'(t)dt \end{eqnarray}
以上です。
投稿日：2021年11月10日
投稿者
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。
私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。
同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。
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