アーベルの総和公式のとある一般化

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はじめに

　この記事では数論とかでよくみる便利なテクニックを紹介します。
　アーベルの総和公式とは次のような公式のことを言うのでした。

アーベルの総和公式

　 $f$ を $C^{1}$ 級関数としたとき、 $A (x) = \sum_{0 \leq n \leq x} a_{n}$ とおくと、
$\sum_{0 \leq n \leq x} a_{n} f (n) = A (x) f (x) - \int_{0}^{x} A (t) f^{'} (t) d t$
が成り立つ。

　これを一般化したものとして以下の主張が成り立ちます。

一般化アーベルの総和公式

　 $A \subset R_{\geq 0}$ を任意の切片が有限となる集合、 $g$ を $C^{1}$ 級関数としたとき、 $F (x) = \sum_{\begin{matrix} a \in A \\ a \leq x \end{matrix}} f (a)$ とおくと、
$\sum_{\begin{matrix} a \in A \\ a \leq x \end{matrix}} f (a) g (a) = F (x) g (x) - \int_{0}^{x} F (t) g^{'} (t) d t$
が成り立つ。

$\begin{array}{rcl} \sum_{\begin{array}{c} a \in A \\ a \leq x \end{array}} f (a) g (a) & = & \sum_{\begin{array}{c} a \in A \\ a \leq x \end{array}} f (a) (g (x) - \int_{a}^{x} g^{'} (t) d t) \\ = & \sum_{\begin{array}{c} a \in A \\ a \leq x \end{array}} f (a) g (x) - \int_{0}^{x} \sum_{\begin{array}{c} a \in A \\ a \leq t \end{array}} f (a) g (t) d t \\ = & F (x) g (x) - \int_{0}^{x} F (t) g^{'} (t) d t \end{array}$

応用例

その1

　例えば $A$ を素数全体を $P$ とし $f (p) = 1, g (x) = \log x$ とおくと、素数計数関数とチェビシェフ関数
$π (x) = \sum_{p \leq x} 1, ϑ (x) = \sum_{p \leq x} \log p$
との関係を示す式
$ϑ (x) = π (x) \log x - \int_{2}^{x} \frac{π (x)}{x} d x$
が得られる。
　同様の例はこの記事にてまとめられている。

その2

　同様に
$A = {p^{n} ∣ p \in P, n = 1, 2, 3, \dots}$
とし $f (p^{n}) = \log p, g (x) = x^{- s}$ とおくとゼータ関数とチェビシェフ関数
$- \frac{ζ^{'} (s)}{ζ (s)} = \sum_{p} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\log p}{p^{n s}}, ψ (x) = \sum_{p^{n} \leq x} \log p$
との関係を示す式
$- \frac{ζ^{'} (s)}{ζ (s)} = s \int_{1}^{\infty} ψ (x) x^{- s - 1} d x$
が得られる。
　これは素数公式を導出するのに重要な式となっている。

その3

　少し変則的だが $A$ をリーマンゼータ関数の非自明な零点のうち虚部が正のもの全体
$A = {ρ \in C ∣ ζ (ρ) = 0, Im (ρ) > 0}$
とし
$N (T) = \sum_{0 < Im (ρ) \leq T} 1$
とおくと
$\sum_{Im (ρ) > 0} \frac{4}{4 Im (ρ)^{2} + 1} = \int_{0}^{\infty} N (t) \frac{32 t}{(4 t^{2} + 1)^{2}} d t$
といった等式が得られる。
　これはリーマン予想と同値な Volchkovの等式を導出するのに重要な式となっている。