文献あり

ベクトル、ノルム、内積空間と中線定理

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はじめに

こんにちは、AGAです。
本記事は Mathlogアドベントカレンダー2021 の12/4の記事として書かれています。Googleアカウントを急いで作ったのでアドベントカレンダーはA AGとなってます。
12/3は龍孫江さんのイデアルの密着閉包と計算例でした。

群の定義は知っているものとします

やりたいこと

$(V, ‖ \cdot ‖)$ がノルム空間であり中線定理を満たす。
$⟺ (V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ が内積空間かつ、
任意の $x \in V$ について ${‖ x ‖}^{2} = ⟨ x, x ⟩$

これを導きます

ベクトル空間

$(V, +, e)$ が体 $(F, +, 0, \times, 1)$ 上のベクトル空間とは以下の公理を満たすものである。
任意の $a, b \in F, x, y \in V$ について

$a x \in V$
$(V, +, e)$ は可換軍群である
$(a + b) x = a x + b x$
$a (x + y) = a x + a y$
$a (b x) = (a b) x$
$1 x = x$

ベクトル空間のことを線形空間ともいいます

以下特に断りのない限り、本記事では
$V$ を実数体 $R$ (普通の実数とその四則演算)上のベクトル空間とします。
また、 $(V, +, e)$ を単に $V$ と書くことが多くことが多いので本記事でもそうします。

ノルム空間、内積空間

ノルム空間

$(V, ‖ \cdot ‖)$ がノルム空間であるとは、
以下の公理をみたすものである。
任意の $a \in R, x, y \in V$ について

$‖ x ‖ \in R$
$‖ x ‖ \geq 0, ‖ x ‖ = 0 \Rightarrow x = e$
$‖ a x ‖ = | a | ‖ x ‖$
$‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$

ノルム空間はノルム線型空間、ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間ともいいます。

内積空間

$(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ が内積空間であるとは、
以下の公理をみたすものである。
任意の $a \in R, x, y, z \in V$ について

$⟨ x, y ⟩ \in R$
$⟨ x, x ⟩ \geq 0, ⟨ x, x ⟩ = 0 \Rightarrow x = e$
$⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$
$⟨ a x + y, z ⟩ = a ⟨ x, z ⟩ + ⟨ y, z ⟩$

内積空間は計量ベクトル空間ともいいます。

中線定理

内積空間 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ に対して
$‖ x ‖ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ と定義したとき
${‖ x + y ‖}^{2} + {‖ x - y ‖}^{2} = 2 ({‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2})$

${‖ x + y ‖}^{2} + {‖ x - y ‖}^{2}$
$= ⟨ x + y, x + y ⟩ + ⟨ x - y, x - y ⟩$
$= ⟨ x, x ⟩ + 2 ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, y ⟩ + ⟨ x, x ⟩ - 2 ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, y ⟩$
$= 2 (⟨ x, x ⟩ + ⟨ y, y ⟩)$
$= 2 ({‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2})$

本題の証明

定理１の言いかえ

$(V, ‖ \cdot ‖)$ がノルム空間であり
${‖ x + y ‖}^{2} + {‖ x - y ‖}^{2} = 2 ({‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2})$ を満たす。
$⟺ (V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ が内積空間
(ただし、任意の $x \in V$ について $‖ x ‖ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ とする)

$\Leftarrow$ について
式自体は証明したのでこれがノルム空間になることを示す
1.2.自明
3. $‖ a x ‖ = \sqrt{⟨ a x, a x ⟩} = \sqrt{a^{2} ⟨ x, x ⟩} = | a | \sqrt{⟨ x, x ⟩} = | a | ‖ x ‖$
4. $‖ x + y ‖ = \sqrt{⟨ x + y, x + y ⟩} = \sqrt{⟨ x, x ⟩ + 2 ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, y ⟩} \leq \sqrt{⟨ x, x ⟩ + 2 \sqrt{⟨ x, x ⟩ ⟨ y, y ⟩} + ⟨ y, y ⟩} = \sqrt{⟨ x, x ⟩} + \sqrt{⟨ y, y ⟩} = ‖ x ‖ + ‖ y ‖$

ただし、コーシー＝シュワルツの不等式を途中で用いた

$\Rightarrow$ について
$⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} ({‖ x + y ‖}^{2} - {‖ x - y ‖}^{2})$
とするとき

自明
$⟨ x, x ⟩ = \frac{1}{4} ({‖ x + x ‖}^{2} - {‖ x - x ‖}^{2}) = {‖ x ‖}^{2} \geq 0$
$⟨ x, x ⟩ = 0$ のとき、 $\frac{1}{4} ({‖ x + x ‖}^{2} - {‖ x - x ‖}^{2}) = 0$
${‖ x ‖}^{2} = 0$
$‖ x ‖ = 0$
$x = e$
$‖ x - y ‖ = | - 1 | ‖ y - x ‖ = ‖ y - x ‖$ から明らか
中線定理から
$\frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2})$
上とノルムの公理から $⟨ α x, y ⟩ - α ⟨ x, y ⟩ \leq 0$ が導ける
これの $x, y$ を $x, - y$ にし、 $⟨ - x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ - x + y ∥^{2} - ∥ - x - y ∥^{2}) = \frac{1}{4} (∥ x - y ∥^{2} - ∥ x + y ∥^{2}) = - ⟨ x, y ⟩$ を用いると $⟨ α x, y ⟩ - α ⟨ x, y ⟩ \geq 0$ が導ける。
つまり $⟨ α x, y ⟩ - α ⟨ x, y ⟩ = 0$
$⟨ α x, y ⟩ = α ⟨ x, y ⟩$