文献あり

ベクトル、ノルム、内積空間と中線定理

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はじめに

こんにちは、AGAです。
本記事は Mathlogアドベントカレンダー2021 の12/4の記事として書かれています。Googleアカウントを急いで作ったのでアドベントカレンダーはA AGとなってます。
12/3は龍孫江さんのイデアルの密着閉包と計算例でした。

群の定義は知っているものとします

やりたいこと

$(V,\left\| \cdot \right\|)$がノルム空間であり中線定理を満たす。
$\iff(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$が内積空間かつ、
任意の$x\in V$について$\left\| x \right\|^2=\langle x,x \rangle$

これを導きます

ベクトル空間

$(V,+,e)$が体$(F,+,0,\times,1)$上のベクトル空間とは以下の公理を満たすものである。
任意の$a,b\in F,x,y\in V$について

$ax\in V$
$(V,+,e)$は可換軍群である
$(a+b)x=ax+bx$
$a(x+y)=ax+ay$
$a(bx)=(ab)x$
$1x=x$

ベクトル空間のことを線形空間ともいいます

以下特に断りのない限り、本記事では
$V$を実数体$\mathbb{R}$(普通の実数とその四則演算)上のベクトル空間とします。
また、$(V,+,e)$を単に$V$と書くことが多くことが多いので本記事でもそうします。

ノルム空間、内積空間

ノルム空間

$(V,\left\| \cdot \right\|)$がノルム空間であるとは、
以下の公理をみたすものである。
任意の$a\in \mathbb{R},x,y\in V$について

$\left\| x \right\|\in \mathbb{R}$
$\left\| x \right\|\geq0,\hspace{ 1pt }\left\| x \right\|=0\Rightarrow x=e$
$\left\| ax \right\|=|a|\left\| x \right\|$
$\left\| x+y \right\|\leq\left\| x \right\|+\left\| y \right\|$

ノルム空間はノルム線型空間、ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間ともいいます。

内積空間

$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$が内積空間であるとは、
以下の公理をみたすものである。
任意の$a\in \mathbb{R},x,y,z\in V$について

$\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$
$\langle x,x \rangle\geq0,\hspace{ 1pt }\langle x,x \rangle=0\Rightarrow x=e$
$\langle x,y \rangle=\langle y,x \rangle$
$\langle ax+y,z \rangle=a\langle x,z \rangle+\langle y,z \rangle$

内積空間は計量ベクトル空間ともいいます。

中線定理

内積空間$(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$に対して
$\left\| x \right\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$と定義したとき
$$\left\| x+y \right\|^2+\left\| x-y \right\|^2=2\left(\left\| x \right\|^2+\left\| y \right\|^2\right)$$

本題の証明

定理１の言いかえ

$(V,\left\| \cdot \right\|)$がノルム空間であり
$\left\| x+y \right\|^2+\left\| x-y \right\|^2=2\left(\left\| x \right\|^2+\left\| y \right\|^2\right)$を満たす。
$\iff(V,\langle \cdot,\cdot \rangle)$が内積空間
(ただし、任意の$x\in V$について$\left\| x \right\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$とする)

$\Leftarrow$について
式自体は証明したのでこれがノルム空間になることを示す
1.2.自明
3.$\left\| ax \right\|=\sqrt{\langle ax,ax \rangle}=\sqrt{a^2\langle x,x \rangle}=|a|\sqrt{\langle x,x \rangle}=|a|\left\| x \right\|$
4.$\left\| x+y \right\|=\sqrt{\langle x+y,x+y \rangle}=\sqrt{\langle x,x \rangle+2\langle x,y \rangle+\langle y,y \rangle}\leq\sqrt{\langle x,x \rangle+2\sqrt{\langle x,x \rangle\langle y,y \rangle}+\langle y,y \rangle}=\sqrt{\langle x,x \rangle}+\sqrt{\langle y,y \rangle}=\left\| x \right\|+\left\| y \right\|$

ただし、コーシー＝シュワルツの不等式を途中で用いた

$\Rightarrow$について
$$\langle x,y \rangle=\frac{1}{4}\left(\left\| x+y \right\|^2-\left\| x-y \right\|^2\right)$$
とするとき

自明
$\langle x,x \rangle=\frac{1}{4}\left(\left\| x+x \right\|^2-\left\| x-x \right\|^2\right)=\left\| x \right\|^2\geq0$
$\langle x,x \rangle=0$のとき、$\frac{1}{4}\left(\left\| x+x \right\|^2-\left\| x-x \right\|^2\right)=0$
$\left\| x \right\|^2=0$
$\left\| x \right\|=0$
$x=e$
$\left\| x-y \right\|=|-1|\left\| y-x \right\|=\left\| y-x \right\|$から明らか
中線定理から
$$\frac {1}{4}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$$
上とノルムの公理から$\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \leq 0$が導ける
これの$x,y$を$x,-y$にし、$\langle -x,y\rangle =\frac {1}{4}\left(\|-x+y\|^{2}-\|-x-y\|^{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(\|x-y\|^{2}-\|x+y\|^{2}\right)=-\langle x,y\rangle $を用いると$\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle \geq 0$が導ける。
つまり$\langle \alpha x,y\rangle -\alpha \langle x,y\rangle = 0$
$\langle \alpha x,y\rangle = \alpha \langle x,y\rangle$