GasperによるRogers多項式の直交性の一般化
Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(\cos\theta;a|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
と定義され, その母関数は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n(\cos\theta;a|q)t^n&=\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
で与えられる. 今回はその一般化として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)t^n&:=\frac{(ate^{-i\theta},bte^{i\theta};q)_{\infty}}{(te^{-i\theta},te^{i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
によって定義される関数$C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)$の直交性を考える. 両辺の$t^n$の係数を比較して,
\begin{align}
C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)&=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(b;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}\\
&=\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}e^{in\theta}\Q21{q^{-n},a}{q^{1-n}/b}{\frac{e^{-2i\theta}q}b}
\end{align}
と表される. これは一般に$e^{i\theta},e^{-i\theta}$に関する対称式ではないので, Rogers多項式のように$\cos\theta$の多項式にはならない.
直交性
重み関数を
\begin{align}
w^{(a,b)}(\theta|q):=\frac{(e^{-2i\theta},e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta},be^{2i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
とする.
Rogers多項式の直交性
は以下のように$C^{(a,b)}_n(e^{i\theta}|q)$に拡張される.
非負整数$m,n$に対し,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(a,b;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(ab;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac 1{1-aq^n}+\frac 1{1-bq^n}\right)\delta_{m,n}
\end{align}
が成り立つ.
$q$二項定理より
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}e^{in\theta}w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\sum_{0\leq k,l}\frac{(1/a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(1/b;q)_l}{(q;q)_l}a^kb^l\int_0^{2\pi}e^{i(n-2k+2l)\theta}\,d\theta
\end{align}
これは$n$が奇数のとき$0$であり, $n$が偶数のとき, $n=2m$として,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,l}\frac{(1/a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(1/b;q)_l}{(q;q)_l}a^kb^l\int_0^{2\pi}e^{i(2m-2k+2l)\theta}\,d\theta\\
&=2\pi\sum_{0\leq l}\frac{(1/a;q)_{m+l}}{(q;q)_{m+l}}\frac{(1/b;q)_l}{(q;q)_l}a^{m+l}b^l\\
&=2\pi a^m\frac{(1/a;q)_m}{(q;q)_m}\Q21{q^{m}/a,1/b}{q^{m+1}}{ab}
\end{align}
ここで,
Heineの変換公式
より
\begin{align}
\Q21{q^{m}/a,1/b}{q^{m+1}}{ab}&=\frac{(bq^{m+1},a;q)_{\infty}}{(q^{m+1},ab;q)_{\infty}}\Q21{q^{-1},1/b}{a}{bq^{m+1}}\\
&=\frac{(bq,a;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(q;q)_m}{(bq;q)_m}\left(1+\frac{1-b}{1-a}q^m\right)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}e^{in\theta}w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(a,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(1/a;q)_m}{(bq;q)_m} a^m\left(1+\frac{1-b}{1-a}q^m\right)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\int_0^{2\pi}e^{in\theta}C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta
\end{align}
は$m-n$が奇数のときは$0$であり, $m-n=2k$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}e^{in\theta}C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\sum_{j=0}^m\frac{(a;q)_j(b;q)_{m-j}}{(q;q)_j(q;q)_{m-j}}\int_0^{2\pi}e^{i(2m-2k-2j)\theta}w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(a,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\sum_{j=0}^m\frac{(a;q)_j(b;q)_{m-j}}{(q;q)_j(q;q)_{m-j}}\frac{(1/a;q)_{m-k-j}}{(bq;q)_{m-k-j}} a^{m-k-j}\left(1+\frac{1-b}{1-a}q^{m-k-j}\right)\\
&=\frac{2\pi(aq,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(b;q)_m(1/a;q)_{m-k}}{(q;q)_m(bq;q)_{m-k}}(aq)^{m-k}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a,q^{-m},q^{k-m}/b;q)_j}{(q,q^{1-m}/b,aq^{1+k-m};q)_j}q^j((1-a)q^{j+k-m}+1-b)
\end{align}
ここで,
$q$-Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq j}\frac{(a,q^{-m},q^{k-m}/b;q)_j}{(q,q^{1-m}/b,aq^{1+k-m};q)_j}q^j((1-a)q^{j+k-m}+1-b)\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(a,q^{-m},q^{k-m}/b;q)_j}{(q,q^{1-m}/b,aq^{1+k-m};q)_j}q^j((1-aq^{j+k-m})-b(1-q^{j+k-m}/b))\\
&=(1-aq^{k-m})\Q32{a,q^{-m},q^{k-m}/b}{q^{1-m}/b,aq^{k-m}}{q}-(b-q^{k-m})\Q32{a,q^{-m},q^{1+k-m}/b}{q^{1-m}/b,aq^{1+k-m}}{q}\\
&=(1-aq^{k-m})\frac{(ab,q^{k-m};q)_m}{(aq^{k-m},b;q)_m}-(b-q^{k-m})\frac{(ab,q^{1+k-m};q)_m}{(aq^{1+k-m},b;q)_m}\\
&=(1-aq^k)\frac{(ab,q^{k-m};q)_m}{(aq^{1+k-m},b;q)_m}-(b-q^{k-m})\frac{(ab,q^{1+k-m};q)_m}{(aq^{1+k-m},b;q)_m}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}e^{in\theta}C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(aq,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(b;q)_m(1/a;q)_{m-k}}{(q;q)_m(bq;q)_{m-k}}(aq)^{m-k}\\
&\qquad\cdot\left((1-aq^k)\frac{(ab,q^{k-m};q)_m}{(aq^{1+k-m},b;q)_m}-(b-q^{k-m})\frac{(ab,q^{1+k-m};q)_m}{(aq^{1+k-m},b;q)_m}\right)
\end{align}
を得る. これは$0< k< m$のとき$0$であり, $k=0$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}e^{im\theta}C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(a,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(b,1/a;q)_m}{(q,bq;q)_m}(aq)^{m}\frac{(ab,q^{-m};q)_m}{(aq^{1-m},b;q)_m}\\
&=\frac{2\pi(a,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(ab;q)_m}{(bq;q)_m}
\end{align}
$k=m$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}e^{-im\theta}C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(aq,b;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(b;q)_m}{(q;q)_m}\frac{(ab,q;q)_m}{(aq,b;q)_m}\\
&=\frac{2\pi(aq,b;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(ab;q)_m}{(aq;q)_m}
\end{align}
となる. よって, $n< m$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)C_m^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta=0
\end{align}
であり(対称性から$n>m$のときも$0$である), $n=m$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{2\pi}C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)^2w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\int_0^{2\pi}\left(\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}e^{in\theta}+\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}e^{-in\theta}\right)C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)w^{(a,b)}(\theta|q)\,d\theta\\
&=\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}\frac{2\pi(a,bq;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(ab;q)_n}{(bq;q)_n}+\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\frac{2\pi(aq,b;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(ab;q)_n}{(aq;q)_n}\\
&=\frac{2\pi(a,b;q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\frac{(ab;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac 1{1-aq^n}+\frac 1{1-bq^n}\right)
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
このように, 綺麗な形でRogers多項式の直交性が拡張されたことはかなり興味深いと思う. この関数$C_n^{(a,b)}(e^{i\theta}|q)$の他の性質も気になるところである.
古典極限
$q\to 1$の極限を考えることによって,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n^{(a,b)}(e^{i\theta})t^n&:=(1-te^{-i\theta})^{-a}(1-te^{i\theta})^{-b}
\end{align}
によって定義すると, 以下が得られる.
非負整数$n,m$に対し,
\begin{align}
\int_0^{2\pi} C_n^{(a,b)}(e^{i\theta})C_m^{(a,b)}(e^{i\theta})w^{(a,b)}(\theta)\,d\theta=\frac{2\pi\Gamma(n+a+b)}{n!\Gamma(a)\Gamma(b)}\left(\frac 1{n+a}+\frac 1{n+b}\right)\delta_{n,m}
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
w^{(a,b)}(\theta):=(1-e^{-2i\theta})^a(1-e^{2i\theta})^b
\end{align}
である.
