連続型確率分布の両側端点の取り扱いについて(´・ω・`)
Def.
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とし、$X:\Omega\to\mathbb R$ を実数値確率変数とする。
$X$ の分布関数、または累積分布関数とは、関数 $F_X:\mathbb R\to[0,1]$ を
$$
F_X(x):=\mathbb P(X\le x)
$$
で定めたものである。
ここで、
$$
\{X\le x\}:=\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\le x\}
$$
である。
$X$ は実数値確率変数であるから、任意の $x\in\mathbb R$ に対して、
$$
\{X\le x\}\in\mathcal F
$$
である。したがって、
$$
\mathbb P(X\le x)
$$
が定まる。
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とする。
事象列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$、すなわち任意の $n\in\mathbb N$ に対して $A_n\in\mathcal F$ を満たす列が増大列であるとは、任意の $n\in\mathbb N$ に対して
$$
A_n\subseteq A_{n+1}
$$
が成り立つことをいう。
増大列では、各段階で集合が真に大きくなる必要はない。
例えば、ある $n\in\mathbb N$ に対して
$$
A_n=A_{n+1}
$$
となってもよい。
そのため、増大列の定義では
$$
A_n\subseteq A_{n+1}
$$
を用いるのが自然である。
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とする。
事象列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$、すなわち任意の $n\in\mathbb N$ に対して $A_n\in\mathcal F$ を満たす列が減少列であるとは、任意の $n\in\mathbb N$ に対して
$$
A_{n+1}\subseteq A_n
$$
が成り立つことをいう。
減少列では、各段階で集合が真に小さくなる必要はない。
例えば、ある $n\in\mathbb N$ に対して
$$
A_{n+1}=A_n
$$
となってもよい。
そのため、減少列の定義では
$$
A_{n+1}\subseteq A_n
$$
を用いるのが自然である。
Prop&Proof.
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とする。事象列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ が増大列であるとする。
すなわち、任意の $n\in\mathbb N$ に対して、
$$
A_n\subseteq A_{n+1}
$$
が成り立つとする。さらに、
$$
A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n
$$
とおく。このとき、
$$
\mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)
$$
が成り立つ。
- 次の事象列 $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ を定める。
$$ B_1:=A_1 $$
また、$n\ge2$ に対して、
$$ B_n:=A_n\setminus A_{n-1}\ (=A_n\cap A_{n-1}^{c}) $$
と定める。
各 $A_n$ は $\mathcal F$ の元であり、$\mathcal F$ は $\sigma$ 代数であるから、任意の $n\in\mathbb N$ に対して、
$$ B_n\in\mathcal F $$
である。
$ $ - まず、$B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素であることを示す。
$m< n$ とする。このとき、
$$ B_m\subseteq A_m\subseteq A_{n-1} $$
である。一方、
$$ B_n=A_n\setminus A_{n-1} $$
であるから、
$$ B_n\cap A_{n-1}=\varnothing $$
である。したがって、
$$ B_m\cap B_n=\varnothing $$
である。よって、$B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素である。
$ $ - 次に、任意の $N\in\mathbb N$ に対して、
$$ A_N=\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
が成り立つことを示す。
i) $\bigcup_{n=1}^{N}B_n\subseteq A_N$ を示す。
任意に
$$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
をとる。このとき、集合族の和集合の定義より、ある $n\in\{1,2,\ldots,N\}$ が存在して、
$$ x\in B_n $$
である。$B_n\subseteq A_n$ であり、増大列の仮定より $A_n\subseteq A_N$ であるから、
$$ x\in A_N $$
である。よって、
$$ \bigcup_{n=1}^{N}B_n\subseteq A_N $$
である。
$ $
ii) $A_N\subseteq\bigcup_{n=1}^{N}B_n$ を示す。
任意に $x\in A_N$ をとる。
■ $x\in A_1$ の場合
このとき、$B_1=A_1$ より、
$$ x\in B_1\subseteq\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
である。
■ $x\notin A_1$ の場合
仮定より $x\in A_N$ であるから、
$$ \{k\in\{1,2,\ldots,N\}\mid x\in A_k\} $$
は空でない有限集合である。したがって、その最小元を $m$ とおくことができる。
このとき、$x\notin A_1$ であるから、
$$ m\ge2 $$
である。また、$m$ の最小性より、
$$ x\notin A_{m-1} $$
である。一方、
$$ x\in A_m $$
である。したがって、
$$ x\in A_m\setminus A_{m-1}=B_m $$
である。よって、
$$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
である。
以上より、いずれの場合も、
$$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
である。したがって、
$$ A_N\subseteq\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
である。
i) と ii) より、
$$ A_N=\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
である。
$ $ - さらに、
$$ A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。実際、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n $$
は $B_n\subseteq A_n$ より従う。
逆に、任意に $x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ をとる。このとき、集合族の和集合の定義より、
ある $N\in\mathbb N$ が存在して $x\in A_N$ である。すでに示した等式より、
$$ A_N=\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
であるから、
$$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。
したがって、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。よって、
$$ A= \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。
$ $ - $B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素であるから、確率測度の可算加法性より、
$$ \mathbb P(A) = \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(B_n) $$
である。
一方、任意の $N\in\mathbb N$ に対して、
$$ \mathbb P(A_N) = \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{N}B_n\right) = \sum_{n=1}^{N}\mathbb P(B_n) $$
である。
したがって、
$$ \lim_{N\to\infty}\mathbb P(A_N) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\mathbb P(B_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(B_n) = \mathbb P(A) $$
である。
-以上より、
$$
\mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
増大列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ は、一般には互いに素ではない。
そのため、そのまま
$$
\mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)
=
\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(A_n)
$$
とはできない。そこで、
$$
B_1=A_1,\quad B_n=A_n\setminus A_{n-1}
$$
とおき、増大していくときに新しく追加された部分だけを取り出す。
このとき、$B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素になるため、可算加法性を使うことができる。
$A_n\uparrow A$ とは、事象列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ が包含関係について増大し、
その極限にあたる事象が $A$ であることを表す記法として用いられる事がある。
具体的には、
$$
A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\cdots
$$
であり、
$$
A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n
$$
である。このとき、各 $A_n$ は $A$ の一部分であり、
$$
A_n\subseteq A
$$
が成り立つ。
したがって、$A_n$ は $A$ より小さい側から、包含関係の意味でだんだん $A$ に近づいていく。
このため、$A_n$ が $A$ に下から近づく、と表現する。
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とする。事象列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ が減少列であるとする。
すなわち、任意の $n\in\mathbb N$ に対して、
$$
A_{n+1}\subseteq A_n
$$
が成り立つとする。さらに、
$$
A:=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n
$$
とおく。このとき、
$$
\mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)
$$
が成り立つ。
$\mathcal F$ は $\sigma$ 代数であり、各 $A_n$ は $\mathcal F$ の元であるから、
$$
A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F
$$
である。
- 次の事象列 $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ を定める。
$$ B_n:=A_1\setminus A_n \ (= A_1\cap A_n^c) $$
と定める。
各 $A_n$ は $\mathcal F$ の元であり、$\mathcal F$ は補集合と有限交叉で閉じているから、任意の $n\in\mathbb N$ に対して、
$$ B_n\in\mathcal F $$
である。
$ $ - $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列であることを示す。
任意の $n\in\mathbb N$ をとる。減少列の仮定より、
$$ A_{n+1}\subseteq A_n $$
である。したがって、補集合を考えると、
$$ A_n^c\subseteq A_{n+1}^c $$
である。よって、
$$ A_1\cap A_n^c \subseteq A_1\cap A_{n+1}^c $$
である。すなわち、
$$ B_n\subseteq B_{n+1} $$
である。したがって、$(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列である。
$ $ - 次に、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = A_1\setminus A $$
を示す。
i) $\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\subseteq A_1\setminus A$ を示す。
任意に
$$ x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
をとる。このとき、集合族の和集合の定義より、ある $n\in\mathbb N$ が存在して、
$$ x\in B_n $$
である。したがって、
$$ x\in A_1\setminus A_n $$
である。よって、$x\in A_1$ かつ $x\notin A_n$ である。
ここで、集合族の共通部分の定義より、
$$ x\in\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k \Longleftrightarrow \forall k\in\mathbb N,\ x\in A_k $$
したがって、
$$ \exists n\in\mathbb N,\ x\notin A_n \Longrightarrow \neg\left(\forall k\in\mathbb N,\ x\in A_k\right) \Longleftrightarrow x\notin\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k $$
ゆえに、
$$ x\notin\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k=A $$
である。よって、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \subseteq A_1\setminus A $$
である。
$ $
ii) $A_1\setminus A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$ を示す。
任意に $x\in A_1\setminus A$ をとる。
このとき、$x\in A_1$ かつ $x\notin A$ である。また、
$$ A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n $$
であるから、集合族の共通部分の定義より、ある $n\in\mathbb N$ が存在して、
$$ x\notin A_n $$
である。したがって、
$$ x\in A_1\setminus A_n=B_n $$
である。よって、
$$ x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。したがって、
$$ A_1\setminus A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。
i) と ii) より、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = A_1\setminus A $$
である。
$ $ - 確率測度の下からの連続性を用いる。
$(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列であるから、確率測度の下からの連続性より、
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) $$
である(直前に示した命題)。すでに
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = A_1\setminus A $$
を示したので、
$$ \mathbb P(A_1\setminus A) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) $$
である。
$ $ - $\mathbb P(B_n)$ を $\mathbb P(A_n)$ で表す。
任意の $n\in\mathbb N$ に対して、減少列の仮定より、
$$ A_n\subseteq A_1 $$
である。したがって、
$$ A_1=A_n\cup(A_1\setminus A_n) $$
であり、この和は互いに素な和である。有限加法性より、
$$ \mathbb P(A_1) = \mathbb P(A_n)+\mathbb P(A_1\setminus A_n) $$
である。すなわち、
$$ \mathbb P(B_n) = \mathbb P(A_1\setminus A_n) = \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A_n) $$
である。また、$A\subseteq A_1$ であるから、同様に、
$$ \mathbb P(A_1\setminus A) = \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A) $$
である。したがって、
$$ \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A) = \lim_{n\to\infty}\{\mathbb P(A_1)-\mathbb P(A_n)\} $$
である。右辺を整理すると、
$$ \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A) = \mathbb P(A_1)-\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
である。
また、$A_{n+1}\subseteq A_n$ であるから、確率測度の単調性( 証明はコチラ )より
$$ \mathbb P(A_{n+1})\le \mathbb P(A_n) $$
である。
したがって、$(\mathbb P(A_n))_{n\in\mathbb N}$ は下に有界な広義単調減少列であるから、極限
$$ \lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
が存在する。
両辺から $\mathbb P(A_1)$ を引き、さらに両辺に $-1$ を掛けると、
$$ \mathbb P(A) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
を得る。
-以上より、
$$
\mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
減少列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ は、集合がだんだん小さくなる列である。
上からの連続性を直接示す代わりに、
$$
B_n:=A_1\setminus A_n
$$
とおくことで、$A_1$ から取り除かれた部分だけを取り出す。このとき、$(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列になる。
したがって、すでに証明した確率測度の下からの連続性を使うことができる。
$A_n\downarrow A$ とは、事象列 $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ が包含関係について減少し、
その極限にあたる事象が $A$ であることを表す記法として用いられる事がある。
具体的には、
$$
A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\cdots
$$
であり、
$$
A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n
$$
である。
このとき、$A$ は各 $A_n$ の一部分であり、
$$
A\subseteq A_n
$$
が成り立つ。
したがって、$A_n$ は $A$ より大きい側から、包含関係の意味でだんだん $A$ に近づいていく。
このため、$A_n$ が $A$ に上から近づく、と表現する。
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とし、$X:\Omega\to\mathbb R$ を実数値確率変数とする。
$X$ の分布関数 $F_X:\mathbb R\to[0,1]$ を
$$
F_X(x):=\mathbb P(X\le x)
$$
で定める。
このとき、任意の $c\in\mathbb R$ に対して、$F_X$ の点 $c$ における左極限が存在し、
$$
\lim_{x\uparrow c}F_X(x)=\mathbb P(X< c)
$$
が成り立つ。
- まず、分布関数 $F_X$ が広義単調増加であることを確認する。
任意に $u,v\in\mathbb R$ を取り、$u\le v$ とする。
このとき、
$$ \{X\le u\}\subseteq\{X\le v\} $$
である。
したがって、確率測度の単調性( 証明はコチラ )より、
$$ \mathbb P(X\le u)\le \mathbb P(X\le v) $$
である。
よって、分布関数の定義から、
$$ F_X(u)\le F_X(v) $$
である。
したがって、$F_X$ は広義単調増加である。
$ $ - 次に、$c$ に左から近づく数列を取る。
各 $n\in\mathbb N$ に対して、
$$ x_n:=c-\frac{1}{n} $$
と定める。このとき、$x_n\in\mathbb R$ であり、
$$ x_n< c,\quad x_n\uparrow c $$
である。$X$ は実数値確率変数であるから、任意の実数 $t\in\mathbb R$ に対して
$$ \{X\le t\}\in\mathcal F $$
である。
特に、$t=x_n$ とおくと、
$$ A_n:=\{X\le x_n\}\in\mathcal F $$
である。
したがって、$(A_n)_{n\in\mathbb N}$ は事象列である。
また、$x_n\le x_{n+1}$ であるから、
$$ A_n\subseteq A_{n+1} $$
である。
したがって、$(A_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列である。
$ $ - 次に、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\{X< c\} $$
を示す。
i) $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\subseteq\{X< c\}$ を示す。
任意に
$$ \omega\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n $$
を取る。このとき、集合族の和集合の定義より、ある $n\in\mathbb N$ が存在して、
$$ \omega\in A_n $$
である。よって、
$$ X(\omega)\le x_n $$
である。また、$x_n< c$ であるから、
$$ X(\omega)< c $$
である。したがって、
$$ \omega\in\{X< c\} $$
である。ゆえに、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\subseteq\{X< c\} $$
である。
$ $
ii) $\{X< c\}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ を示す。
任意に
$$ \omega\in\{X< c\} $$
を取る。このとき、
$$ X(\omega)< c $$
である。よって、
$$ c-X(\omega)>0 $$
である。アルキメデス性より、ある $n\in\mathbb N$ が存在して、
$$ \frac{1}{n}\le c-X(\omega) $$
が成り立つ。したがって、
$$ c-\frac{1}{n}\ge X(\omega) $$
である。すなわち、
$$ X(\omega)\le x_n $$
である。よって、
$$ \omega\in A_n $$
である。したがって、
$$ \omega\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n $$
である。ゆえに、
$$ \{X< c\}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n $$
である。
以上より、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\{X< c\} $$
が成り立つ。
$ $ - 確率測度の下からの連続性を用いる。
$(A_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列であり、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\{X< c\} $$
である。したがって、確率測度の下からの連続性($2$つ上で示した命題)より、
$$ \mathbb P(X< c) = \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
である。
また、$A_n=\{X\le x_n\}$ であるから、分布関数の定義より、
$$ \mathbb P(A_n) = \mathbb P(X\le x_n) = F_X(x_n) $$
である。よって、
$$ \mathbb P(X< c)=\lim_{n\to\infty}F_X(x_n) $$
である。
$ $ - 最後に、この極限が左極限に一致することを示す。
$$ L:=\mathbb P(X< c) $$
とおく。$4.$ より、
$$ L=\lim_{n\to\infty}F_X(x_n) $$
である。
任意に $y< c$ を取る。このとき、$x_n\uparrow c$ であるから、十分大きい $n\in\mathbb N$ に対して、
$$ y\le x_n< c $$
が成り立つ。
$F_X$ は広義単調増加であるから、
$$ F_X(y)\le F_X(x_n) $$
である。
また、$x_n< c$ であるから、
$$ \{X\le x_n\}\subseteq\{X< c\} $$
である。
したがって、確率測度の単調性( 証明はコチラ )より、
$$ F_X(x_n) = \mathbb P(X\le x_n) \le \mathbb P(X< c) = L $$
である。ゆえに、
$$ F_X(y)\le F_X(x_n)\le L $$
である。
したがって、任意の $y< c$ に対して、
$$ F_X(y)\le L $$
である。よって、
$$ \sup_{y< c}F_X(y)\le L $$
である。
一方、各 $n\in\mathbb N$ に対して $x_n< c$ であるから、
$$ F_X(x_n)\le \sup_{y< c}F_X(y) $$
である。
$n\to\infty$ とすると、
$$ L\le \sup_{y< c}F_X(y) $$
である。
したがって、
$$ L=\sup_{y< c}F_X(y) $$
である。
$F_X$ は広義単調増加であるから、点 $c$ における左極限は
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=\sup_{y< c}F_X(y) $$
で与えられる。
ゆえに、
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=L $$
である(補足を参照)。
すなわち、
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=\mathbb P(X< c) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$
一般の関数では、$x_n\uparrow c$ を満たす $1$ つの数列に沿った極限だけから、点 $c$ における左極限全体を決めることはできない。
なぜなら、左極限
$$
\lim_{x\uparrow c}f(x)
$$
が存在するとは、$c$ より小さい実数 $x$ が任意の近づき方で $c$ に近づくとき、$f(x)$ が同じ値に近づくことを意味するからである。
したがって、$1$ つの数列 $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ に対して
$$
x_n< c,\quad x_n\uparrow c
$$
かつ
$$
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L
$$
が成り立っても、それだけでは
$$
\lim_{x\uparrow c}f(x)=L
$$
とは結論できない。
別の近づき方をする数列 $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ に対して、$f(y_n)$ が別の値に近づく可能性があるからである。
$ $
しかし、分布関数 $F_X$ については状況が異なる。
分布関数 $F_X$ は広義単調増加である。すなわち、任意の $u,v\in\mathbb R$ に対して、
$$
u\le v
\Rightarrow
F_X(u)\le F_X(v)
$$
が成り立つ。
この広義単調増加性により、点 $c$ の左側における値は、$c$ に近づくにつれて下がることはない。
したがって、点 $c$ における左極限は、左側の値全体の上限として記述できる。すなわち、
$$
L:=\sup\{F_X(y)\mid y< c\}
$$
とおくと、
$$
\lim_{x\uparrow c}F_X(x)=L
$$
が成り立つ。
ここで、$F_X(y)\in[0,1]$ であるから、集合
$$
\{F_X(y)\mid y< c\}
$$
は上に有界である。また、$c$ より小さい実数は存在するので、この集合は空でない。したがって、上限 $L$ は実数として存在する。
$ $
上の証明では、
$$
x_n:=c-\frac{1}{n}
$$
とおいた。このとき、
$$
x_n< c,\quad x_n\uparrow c
$$
である。この特別な数列に沿った極限が、左極限全体と一致することを確認する。
まず、各 $n\in\mathbb N$ について $x_n< c$ であるから、
$$
F_X(x_n)\le \sup\{F_X(y)\mid y< c\}=L
$$
が成り立つ。
次に、任意に $\varepsilon>0$ を取る。
$L$ は集合 $\{F_X(y)\mid y< c\}$ の上限であるから、上限の性質より、ある $y_\varepsilon< c$ が存在して、
$$
L-\varepsilon< F_X(y_\varepsilon)\le L
$$
が成り立つ。
一方、$x_n\uparrow c$ であるから、十分大きい $N\in\mathbb N$ が存在して、任意の $n\ge N$ に対して
$$
y_\varepsilon\le x_n< c
$$
が成り立つ。
したがって、$F_X$ の広義単調増加性より、任意の $n\ge N$ に対して
$$
F_X(y_\varepsilon)\le F_X(x_n)
$$
である。
よって、任意の $n\ge N$ に対して、
$$
L-\varepsilon
<
F_X(y_\varepsilon)
\le
F_X(x_n)
\le
L
$$
が成り立つ。したがって、
$$
|F_X(x_n)-L|<\varepsilon
$$
である。ゆえに、
$$
\lim_{n\to\infty}F_X(x_n)=L
$$
である。すなわち、
$$
\lim_{n\to\infty}F_X\left(c-\frac{1}{n}\right)
=
\sup\{F_X(y)\mid y< c\}
$$
が成り立つ。
$ $
一方、$F_X$ は広義単調増加関数であるから、点 $c$ における左極限は左側の値全体の上限で与えられる。すなわち、
$$
\lim_{x\uparrow c}F_X(x)
=
\sup\{F_X(y)\mid y< c\}
$$
である。以上より、
$$
\lim_{n\to\infty}F_X\left(c-\frac{1}{n}\right)
=
\lim_{x\uparrow c}F_X(x)
$$
と結論できる。
$ $
つまり、この場合に $x_n:=c-\frac{1}{n}$ という $1$ つの数列だけを使ってよい理由は、
単に数列が $c$ に左から近づくからではなく、$F_X$ が広義単調増加であり、
その数列が $c$ の左側全体の上限に近づく値を捕まえているからである。
一般の関数では、$x_n\uparrow c$ を満たす $1$ つの数列に沿った極限だけから、点 $c$ における左極限全体を決めることはできない。
具体例として、関数 $f:(-\infty,0)\to\mathbb R$ を
$$
f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)
$$
で定める。点 $c=0$ における左極限を考える。
- まず、数列 $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ を
$$ x_n:=-\frac{1}{2\pi n} $$
で定める。
このとき、$x_n<0$ であり、
$$ x_n\uparrow 0 $$
である。また、
$$ \frac{1}{x_n}=-2\pi n $$
であるから、
$$ f(x_n) = \sin(-2\pi n) = 0 $$
である。したがって、
$$ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=0 $$
である。この $1$ つの数列だけを見ると、左極限は $0$ であるように見える。
$ $ - しかし、別の数列 $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ を
$$ y_n:=-\frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}} $$
で定める。
このときも、$y_n<0$ であり、
$$ y_n\uparrow 0 $$
である。
一方、
$$ \frac{1}{y_n} = -\left(2\pi n+\frac{\pi}{2}\right) $$
であるから、
$$ f(y_n) = \sin\left(-2\pi n-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $$
である。したがって、
$$ \lim_{n\to\infty}f(y_n)=-1 $$
である。
-つまり、同じように $0$ に左から近づく数列であっても、
$$
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0
$$
となるものと、
$$
\lim_{n\to\infty}f(y_n)=-1
$$
となるものが存在する。したがって、
$$
\lim_{x\uparrow0}f(x)
$$
は存在しない。
この例から、$x_n\uparrow c$ を満たす $1$ つの数列に沿った極限だけでは、一般の関数の左極限全体を決めることはできないことが分かる。
$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ を確率空間とし、$X:\Omega\to\mathbb R$ を実数値確率変数とする。
また、$F_X:\mathbb R\to[0,1]$ を
$$
F_X(x):=\mathbb P(X\le x)
$$
で定める。実数 $a,b$ が $a< b$ を満たし、$F_X$ が点 $a$ および点 $b$ で連続であるとする。
このとき、
$$
\mathbb P(a< X< b)
=
\mathbb P(a\le X\le b)
=
\mathbb P(a< X\le b)
=
\mathbb P(a\le X< b)
$$
が成り立つ。
- 事象
$$ A_1:=\{a< X< b\},\quad A_2:=\{a\le X\le b\},\quad A_3:=\{a< X\le b\},\quad A_4:=\{a\le X< b\} $$
を考える。
このとき、集合の関係として
$$ A_2=A_1\cup\{X=a\}\cup\{X=b\} $$
が成り立ち、右辺の和集合は互いに素である。
また、
$$ A_3=A_1\cup\{X=b\},\quad A_4=A_1\cup\{X=a\} $$
が成り立ち、これらの和集合も互いに素である。
したがって、確率測度の有限加法性より、
$$ \mathbb P(A_2)=\mathbb P(A_1)+\mathbb P(X=a)+\mathbb P(X=b)\cdots① $$
$$ \mathbb P(A_3)=\mathbb P(A_1)+\mathbb P(X=b)\cdots② $$
$$ \mathbb P(A_4)=\mathbb P(A_1)+\mathbb P(X=a)\cdots③ $$
である。
$ $ - 次に、任意の $c\in\mathbb R$ に対して、
$$ \mathbb P(X=c)=F_X(c)-\lim_{x\uparrow c}F_X(x) $$
が成り立つことを示す。まず、
$$ \{X=c\}=\{X\le c\}\setminus\{X< c\} $$
であり、
$$ \{X< c\}\subset\{X\le c\} $$
であるから、
$$ \mathbb P(X=c)=\mathbb P(X\le c)-\mathbb P(X< c) $$
である( 差集合の公式 証明はコチラ )。
i) ここで、累積分布関数の定義より
$$ F_X(c)=\mathbb P(X\le c) $$
である。
$ $
ii) また、分布関数の基本性質より、
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=\mathbb P(X< c) $$
が成り立つ(直前に示した命題)。
したがって、
$$ \mathbb P(X=c)=F_X(c)-\lim_{x\uparrow c}F_X(x)\cdots④ $$
である。
$ $ - i) ここで、仮定より $F_X$ は点 $a$ で連続である。
したがって、点 $a$ における左極限も関数値 $F_X(a)$ に一致する。すなわち、
$$ \lim_{x\uparrow a}F_X(x)=F_X(a) $$
である。
よって、上の式④に $c=a$ を代入すると、
$$ \begin{aligned} \mathbb P(X=a) &= F_X(a)-\lim_{x\uparrow a}F_X(x)\\ &= F_X(a)-F_X(a)\\ &= 0 \end{aligned} $$
である。
$ $
ii) 同様に、仮定より $F_X$ は点 $b$ で連続である。
したがって、点 $b$ における左極限も関数値 $F_X(b)$ に一致する。すなわち、
$$ \lim_{x\uparrow b}F_X(x)=F_X(b) $$
である。
よって、上の公式に $c=b$ を代入すると、
$$ \begin{aligned} \mathbb P(X=b) &= F_X(b)-\lim_{x\uparrow b}F_X(x)\\ &= F_X(b)-F_X(b)\\ &= 0 \end{aligned} $$
である。
$ $
以上より、
$$ \mathbb P(X=a)=0,\quad \mathbb P(X=b)=0 $$
が成り立つ。
$ $ - これを先の等式(式①, 式②, 式③)に代入すると、
$$ \mathbb P(A_2)=\mathbb P(A_1),\quad \mathbb P(A_3)=\mathbb P(A_1),\quad \mathbb P(A_4)=\mathbb P(A_1) $$
を得る。
-したがって、
$$
\mathbb P(a< X< b)
=
\mathbb P(a\le X\le b)
=
\mathbb P(a< X\le b)
=
\mathbb P(a\le X< b)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
