Generalized Hankel Transform 続編

前回の記事ではGHTのLie群構造と積分表示と微分演算子による表示を見てきた。今回は GHT(これの続き) のさらなる性質や公式を見ていくことにする。

Hankel変換の図形的イメージについて

標語的に言えばHankel変換とは球対称関数の多次元Fourier変換の動径方向である。$X=(x_1,\dots ,x_n),\mathrm{\nabla }=({\partial }_1,\dots ,{\partial }_n),{\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$とする。
${\mathcal{T}}_{ϵ}$は LCT である。
$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{T}}_{ϵ}(M){\displaystyle \cdot f(x)}\\ =& ϵ\sqrt{\frac{1}{2\pi i{M}_{21}}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{x}^2-2xt+M_{22}{t}^2]dt\\ =& ϵ\frac{\sqrt{-M_{11}}}{i}f(M_{11}x)\exp \left(\frac{i}{2}{M}_{11}{M}_{12}{x}^2\right)(\mathrm{iff}{M}_{21}=0)\\ & M=\left(\begin{array}{cc}{M}_{11}& M_{12}\\ M_{21}& M_{22}\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R}),ϵ\in \{-1,1\}\end{array}$$

$$E_{+}=\frac{i}{2}{x}^2,E_{-}=\frac{i}{2}{\partial }^2,H=x\partial +\frac{1}{2}$$
$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{T}}_{ϵ}(M)\\ =& ϵ\exp \left(\frac{M_{11}-1}{M_{21}}{E}_{+}\right)\exp \left(M_{21}{E}_{-}\right)\exp \left(\frac{M_{22}-1}{M_{21}}{E}_{+}\right)\\ =& ϵ\exp \left(M_{11}{M}_{12}{E}_{+}\right)M_{22}^{-H}(\mathrm{iff}{M}_{21}=0)\end{array}$$
$f$をn変数関数に拡張して多重LCTを計算する。
$$E_{+}=\frac{i}{2}{X}^2,E_{-}=\frac{i}{2}{\mathrm{\nabla }}^2,H=X\cdot \mathrm{\nabla }+\frac{n}{2}$$
と改めて置き直すと

$$\begin{array}{rl}& {ϵ}^n\exp \left(\frac{M_{11}-1}{M_{21}}{E}_{+}\right)\exp \left(M_{21}{E}_{-}\right)\exp \left(\frac{M_{22}-1}{M_{21}}{E}_{+}\right)\cdot f(X)\\ =& {ϵ}^n\exp \left(M_{11}{M}_{12}{E}_{+}\right)M_{22}^{-H}\cdot f(X)(\mathrm{iff}{M}_{21}=0)\\ =& {ϵ}^n{\left(\frac{1}{2\pi i{M}_{21}}\right)}^{n/2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(Y)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{X}^2-2X\cdot Y+M_{22}{Y}^2]d^{n}Y\\ =& {ϵ}^n{M}_{22}^{-n/2}f(M_{11}X)\exp \left(\frac{i}{2}{M}_{11}{M}_{12}{X}^2\right)(\mathrm{iff}{M}_{21}=0)\end{array}$$
となる。極座標は次のように定義される。
$$\begin{array}{rl}{x}_1& =r\cos {\theta }_1\\ x_2& =r\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2\\ ⋮\\ x_{n-1}& =r\cos {\theta }_1\cdots \cos {\theta }_{n-2}\cos {\theta }_{n-1}\\ x_n& =r\cos {\theta }_1\cdots \cos {\theta }_{n-2}\sin {\theta }_{n-1}\end{array}$$
作用させる関数空間を球対称なものに制限する、つまり$fがr$のみの関数であるとする。このときfに作用させたときに生じる演算子の同値類について$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}\equiv 0$が成立して、
$$\begin{array}{rl}H& \equiv \frac{n}{2}+\sum _{l=1}^n{x}_l\frac{\partial r}{\partial x_l}\frac{\partial }{\partial r}=\frac{n}{2}+r{\partial }_r\\ E_{+}& =\frac{i}{2}{r}^2\\ E_{-}& \equiv \frac{i}{2}\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_r\frac{\sqrt{g}}{g_{rr}}{\partial }_r=\frac{i}{2}{r}^{1-n}{\partial }_r{r}^{n-1}{\partial }_r\end{array}$$
を得る。$E_{-}$ではn次元の極座標が直交曲線座標であるから計量テンソル$g$を使った簡便なLaplacianの計算公式を使った。イメージからも明らかなように$\sqrt{g}\propto r^{n-1}$(比例定数はrに無関係)で、$g_{rr}=1$なので不必要な部分に立ち入らずサクッと計算した。
$$E_{-}\equiv \frac{i}{2}{r}^{1-n}{\partial }_r{r}^{n-1}{\partial }_r=\frac{i}{2}({\partial }_r^2+\frac{n-1}{r}{\partial }_r)$$
と変形できる。次は積分表示の計算についてみていく。
${\mathbb{R}}^n$内の単位球の体積は
$$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{2})}$$
なので( 参考 )、$n-1$次元球面(半径r)の面積は
$${\partial }_r\cdot (r^n{V}_n)=n{V}_n{r}^{n-1}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{r}^{n-1}$$である。ベクトル$X,Y\in {\mathbb{R}}^n$の成す角度を$\varphi$とすると$X\cdot Y=|X||Y|\cos \varphi$であり、Xを固定したとき$R=|Y|,\varphi$を変えない$Y$全体は$n-2$次元球面${\mathbb{S}}^{n-2}$となる。

証明略( DLMF )

補題から多重LCTは次のように計算できる。

$$\begin{array}{rl}& {ϵ}^n{\left(\frac{1}{2\pi i{M}_{21}}\right)}^{n/2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(Y)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{X}^2-2X\cdot Y+M_{22}{Y}^2]d^{n}Y\\ =& {ϵ}^n{\left(\frac{1}{2\pi i{M}_{21}}\right)}^{n/2}{\int }_{R=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\varphi =0}^{\pi }{\int }_{{\mathbb{S}}^{n-2}}f(R)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{r}^2-2rR\cos \varphi +M_{22}{R}^2]dRRd\varphi d^{n-2}Y\\ =& {ϵ}^n{\left(\frac{1}{2\pi i{M}_{21}}\right)}^{n/2}\frac{2{\pi }^{(n-1)/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n-1}{2})}{\int }_{R=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{\varphi =0}^{\pi }f(R)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{r}^2-2rR\cos \varphi +M_{22}{R}^2](R\sin \varphi {)}^{n-2}RdRd\varphi \\ =& {ϵ}^n{\left(\frac{1}{2\pi i{M}_{21}}\right)}^{n/2}\frac{2{\pi }^{(n-1)/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n-1}{2})}{\int }_{R=0}^{\mathrm{\infty }}f(R)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{r}^2+M_{22}{R}^2]R^{n-1}{\int }_{\varphi =0}^{\pi }(\sin \varphi {)}^{n-2}\cos (\frac{rR}{M_{21}}\cos \varphi )dRd\varphi \\ =& {ϵ}^n\frac{e^{\frac{\pi i}{4}\mathrm{sgn}\left(M_{21}\right)}}{\left|M_{21}\right|}{\int }_{R=0}^{\mathrm{\infty }}f(R)\exp \frac{i}{2M_{21}}[M_{11}{r}^2+M_{22}{R}^2]J_{\nu }\left(\frac{rR}{|M_{21}|}\right){\left(\frac{R}{r}\right)}^{\nu }RdR\end{array}$$

これはまさにGHTの次元パラメータを$\nu =\frac{n-2}{2}$とした場合に等しい。この変換の生成子も
$$E_{+}=\frac{i}{2}{r}^2,E_{-}\equiv \frac{i}{2}({\partial }_r^2+\frac{2\nu +1}{r}{\partial }_r),H\equiv r{\partial }_r+\nu +1$$
となって一致する。

Abel変換について

次はAbel変換に関する数式を考察する。異なる次元パラメータ$\mu \ne \nu$に対してどういう数式が出せるか気になる。

証明略(わからない....)

これを使って計算する。

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{H}}_{\mu }\left(\begin{array}{cc}0& -a\\ 1/a& 0\end{array}\right){\mathcal{H}}_{\nu }\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 1/b& 0\end{array}\right)\cdot g(x^2)\\ =& \frac{a}{i^{\mu +1}}{\int }_{y=0}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\mu }\left(axy\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^{\mu }ydy\\ & \times \frac{b}{i^{\nu +1}}{\int }_{z=0}^{\mathrm{\infty }}g\left(z^2\right)J_{\nu }\left(bxy\right){\left(\frac{z}{y}\right)}^{\mu }zdz\\ =& \frac{a}{i^{\mu +1}}\frac{b}{i^{\nu +1}}{\int }_{z=0}^{\mathrm{\infty }}g\left(z^2\right)\frac{z^{\nu }}{x^{\mu }}zdz\\ & \times {\int }_{y=0}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\mu }\left(axy\right)J_{\nu }\left(byz\right)y^{\mu -\nu +1}dy\\ =& \frac{ab}{i^{\mu +\nu +2}}{\int }_{z=\frac{a}{b}x}^{\mathrm{\infty }}g\left(z^2\right)\frac{2^{\mu -\nu +1}{\left(ax\right)}^{\mu }}{{\left(bz\right)}^{\nu }\mathrm{\Gamma }(\nu -\mu )}\frac{z^{\nu }}{x^{\mu }}{(b^2{z}^2-a^2{x}^2)}^{\nu -\mu -1}zdz\\ =& \frac{a^{\mu +1}{b}^{1-\nu }}{i^{\mu +\nu +2}\mathrm{\Gamma }(\nu -\mu )}{\int }_{\frac{a}{b}x}^{\mathrm{\infty }}g\left(z^2\right){(b^2{z}^2-a^2{x}^2)}^{\nu -\mu -1}zdz\end{array}$$

次元パラメータが本質的に影響を及ぼすのはLie代数生成子$E_{-}$なのでそれ以外の$E_{+},H$の分の一般化をしてもあまり意味がない。
僕が一般化したAbel変換を導入する。
$$\begin{array}{r}J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\end{array}$$
として

$$\begin{array}{rl}& A_{\mu ,\nu }\cdot g\left(x^2\right)\\ =& {\mathcal{H}}_{\mu }(J){\mathcal{H}}_{\nu }(J{)}^{-1}\cdot g(x^2)\\ =& e^{i\pi (\nu +1)}{\mathcal{H}}_{\mu }(J){\mathcal{H}}_{\nu }(J)\cdot g(x^2)\\ =& \frac{i^{\nu -\mu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu -\mu )}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}g(z^2)(z^2-x^2{)}^{\nu -\mu -1}zdz\\ =& \exp \frac{\pi i}{4}[{\partial }^2+\frac{2\mu +1}{x}\partial -x^2]\exp \frac{-\pi i}{4}[{\partial }^2+\frac{2\nu +1}{x}\partial -x^2]\cdot g(x^2)\end{array}$$

積分表示をよく見ると$\nu -\mu$にしか依存していないのである!
高校2年生ぼくは地理の授業中、この計算のために興奮気味で筆を走らせていた。

とノートに書き留めたとき地理教師(あだ名"デーモン")の怒りはついに頂点に達した。地理教師はノートを取り上げて声を荒らげた。座席を周回パトロールするデーモンを前に、数学内職隠蔽工作はあっさりと破られてしまった。
「ノートは一生返さないかもな。(ノートに目を落とし)謎の指数法則...。指数法則、懐かしいな」
そう言いながらノートを持ち去った。私は美しい数式を発見し、(デーモンにこの公式の真価などわかるまい...)と、巨人の肩,象牙の塔の頂にすっくと立つかのような尊大な自尊心と、クラスの皆共から向けられた目線による心疾しき羞恥心の間に揺れていたのであった。。。

後日談。
授業直後、謝罪に向かったがノートは捨てると言われ、友達に冷やかされながら青ざめた顔で次の授業へと向かった。ノートは２日後担任を通して返却された。めでたしめでたし。

こうして$A_{\mu ,\nu }=A_{\nu -\mu }$と書けると分かったが、普通のAbel変換は$\mu =-\frac{1}{2},\nu =0$とした場合である。

畳み込み積の一般化

Fourier変換によって積は畳み込み積にうつされるのであった。
$$\hat{f}\left(x\right):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(y\right)e^{-ixy}dy$$
$$\begin{array}{r}(f\ast g)\left(x\right):={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x-t)g\left(t\right)dt\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\widehat{fg}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(f\ast g)\left(x\right)\end{array}$$
これをHankel変換に一般化してみる。

Hankel変換したものを乗算して逆変換すると

$$\begin{array}{rl}& H_{\alpha }{\left(J\right)}^{-1}\cdot \left((H_{\alpha }\left(J\right)\cdot f)(H_{\alpha }\left(J\right)\cdot g)\right)\\ =& e^{i\pi (\alpha +1)}{H}_{\alpha }\left(J\right)\cdot \left(i^{-2\alpha -2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(u\right)J_{\alpha }\left(xu\right){\left(\frac{u}{x}\right)}^{\alpha }udu{\int }_0^{\mathrm{\infty }}g\left(v\right)J_{\alpha }\left(xv\right){\left(\frac{v}{x}\right)}^{\alpha }vdv\right)\\ =& i^{-\alpha -1}{x}^{-\alpha }{\int }_{t=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(u\right)g\left(v\right){\left(uv\right)}^{\alpha +1}{J}_{\alpha }\left(xt\right)J_{\alpha }\left(ut\right)J_{\alpha }\left(vt\right)t^{-\alpha +1}dudvdt\\ =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(u\right)g\left(v\right)\frac{2^{\alpha -1}{i}^{-\alpha -1}{x}^{-2\alpha }S(x,u,v{)}^{2\alpha -1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}uvdudv\end{array}$$

となる。畳み込み積をHankel変換として一般化すると三角形の面積が核に現れる二重積分の積であるとわかる。