p進数の一般論：完備離散付値体のお話

　$v(x)< v(y)$であるとすると
$v(x)=v(x+y-y)\geq\min\{v(x+y),v(-y)\}=\min\{v(x+y),v(y)\}$
つまり
$v(x)\geq v(y)$または$v(x)\geq v(x+y)$
となるが、仮定より前者は偽なので
$v(x)\geq v(x+y)\geq\min\{v(x),v(y)\}=v(x)$
すなわち
$v(x+y)=v(x)=\min\{v(x),v(y)\}$
を得る。

　$\bs a$を$A$の$0$でないイデアルとし
$\dis n=\min\{v(x)\mid x\in\bs a\}$
とおくと、
$\bs a=\{x\in K\mid v(x)\geq n\}$
が成り立つ。実際任意に$v(x)=n,v(y)\geq n$なる元$x\in\a,y\in K$をとると
$v(yx^{-1})=v(y)-v(x)\geq n-n=0$
なので$yx^{-1}\in A$、つまり$y\in xA\subset\bs a$となって
$\{x\in K\mid v(x)\geq n\}\subset xA\subset\bs a\quad\cdots(*)$
がわかる。また$n$の取り方から
$\bs a\subset\{x\in K\mid v(x)\geq n\}$
なので
$\bs a=\{x\in K\mid v(x)\geq n\}$
を得る。
　また$v(\a^n)=n\cdot v(\a)=n$より包含関係$(*)$において$x=\a^n$とおくことで
$\bs a=\a^nA=(\a^n)$
を得る。

　$A,A_v$の唯一の素イデアルを$\p,\pp$とおくと
$A/\bs{p}^n\simeq A_v/\pp^n$つまり$\dis\varprojlim_n A/\p^n\simeq\varprojlim_n A_v/\pp^n$
が成り立つこと、および
$\dis\varprojlim_n A_v/\pp^n\simeq A_v$
が成り立つことを示す。
　命題2に注意すると
$\pp^n\cap A=\p^n$
が成り立つので単射環準同型
$\begin{array}{rcl} f:A/\p^n&\to&\wh A/\pp^n \\x+\p^n&\mapsto&x+\pp^n \end{array}$
が考えられる。また$A_v$の取り方より任意の$x\in A_v$に対して$A$内の列$x_k\to x$があって$v(x-x_k)\to\infty$よりある$k$に$v(x-x_k)\geq n$つまり
$x+\pp^n=x_k+\pp^n=f(x_k+\p^n)$
となって全射性もわかり
$A/\bs{p}^n\simeq A_v/\wh{\p}^n$
を得る。
　また任意の$(x_n+\pp^n)_n\in\varprojlim_n A_v/\pp^n$に対して$n>m$なら
$x_n+\pp^m=x_m+\pp^m$
つまり
$v(x_n-x_m)\geq m\to\infty\quad(m,n\to\infty)$
と代表元の列$x_n$はCauchy列となるので環準同型
$\begin{array}{rcl} g:\varprojlim_n A_v/\pp^n&\to&A_v \\(x_n+\pp^n)_n&\mapsto&\dis\lim_{n\to\infty}x_n \end{array}$
が考えられる。また$g((x_n+\pp^n)_n)=0$とすると$v(x_n)\to\infty$よりある$n_k$に$n\geq n_k$で$v(x_n)\geq k$つまり$n\leq\max\{n_k,k\}$で
$x_n+\pp^n=0+\pp^n$
となって単射性
$\Ker g=\{(0+\pp^n)_n\}$
がわかる。そして任意の$x\in A_v$に対して全射性
$g((x+\pp^n))=x$
もわかるので
$\dis\varprojlim_n A_v/\wh{\p}^n\simeq A_v$
を得る。

　(前者)$\Rightarrow$(後者)は級数のコーシー性よりわかる。
　逆に
$\dis\lim_{n\to\infty}a_n=0$
であるとき、任意の$\e$にある$N$があって$n>N$で$|a_n|_v<\e$すなわち$n>m>N$で
$\dis\l|\sum^n_{k=m}a_k\r|_v\leq\max_{m\leq k\leq n}|a_k|_v<\e$
と級数のコーシー性がわかる。($K$は完備なのでコーシー列は収束する)

　$x\neq0$を$x\pi^{-v(x)}$と置き換えることで$x\in A$としてよい。このとき
$x+(\pi)=a_0+(\pi)$
$(x-(a_0+a_1\pi+\cdots a_{n-1}\pi^{n-1}))\pi^{-n}+(\pi)=a_n+(\pi)$
となるような列$a_n\in\G$が一意に取れて、
$\dis x-\sum^n_{k=0}a_k\pi^k\in(\pi^{n+1})$
つまり
$\dis v\l(x-\sum^n_{k=0}a_k\pi^k\r)\geq n+1\to\infty\quad(n\to\infty)$
より
$\dis x=\sum^\infty_{n=0}a_n\pi^n\quad(a_n\in\G)$
という表示が得られる。
　また
$\dis x=\sum^\infty_{n=0}a_n\pi^n=\sum^\infty_{n=0}b_n\pi^n\quad(a_n,b_n\in\G)$
という異なる表示があったとき、$\dis N=\min_{a_n\neq b_n}n$とおくと$v(a_n-b_n)=0$なので
$\dis v\l(\sum^\infty_{n=N+1}(a_n-b_n)\pi^n\r)\geq N+1>N=v((a_n-b_n)\pi^N)$
となって命題1より
$\dis v\l(\sum^\infty_{n=0}(a_n-b_n)\pi^n\r)=v\l(\sum^\infty_{n=N}(a_n-b_n)\pi^n\r)=\min\l\{v\l(\sum^\infty_{n=N+1}(a_n-b_n)\pi^n\r),v((a_n-b_n)\pi^N)\r\}=N$
がわかるが、これは
$\dis \sum^\infty_{n=0}(a_n-b_n)\pi^n=0$
であることに反する。よってこの表示は一意的である。

$f(x_1)\equiv0\pmod{\pi^{e_1+1}}\quad\cdots(*_1)$
かつ
$x_1\equiv x_0\pmod{\pi^{e_1-e_2}}\quad\cdots(*_2)$
を満たすような$x_1\in A$が存在して
$v(f(x_1))>2v(f'(x_1))\quad\cdots(*_3)$
が成り立つことを示す。
($x_1$は$x_0$と同様の仮定を満たすので同様にして$x_1$から$x_2$を、$x_2$から$x_3$を$\cdots$と目的の数列を構成できることになる。)

　$f(x),x_0$の取り方より$f(x_0),f'(x_0)\in A$であることに注意する。
$\dis x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\in A$
とおくと$v(x_1-x_0)=e_1-e_2$より
$x_1\equiv x_0\pmod{\pi^{e_1-e_2}}\quad\cdots(*_2)$
であり、
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+g(x)(x-x_0)^2\quad(\exists g(x)\in A[x])$
とおくと
$v((x_1-x_0)^2)=2(e_1-e_2)=e_1+(e_1-2e_2)\geq e_1+1$
より
$f(x_1)\equiv f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)=0\pmod{\pi^{e_1+1}}\quad\cdots(*_1)$
がわかる。
　また$v(x_1-x_0)=e_1-e_2\geq e_2+1$より
$\dis x_1\equiv x_0\pmod{\pi^{e_2+1}}$
つまり
$f'(x_1)\equiv f'(x_0)\not\equiv0\pmod{\pi^{e_2+1}}$
$f'(x_1)\equiv f'(x_0)\equiv0\pmod{\pi^{e_2}}$
となるので$v(f'(x_1))=e_2$が成り立つ。したがって$x_1$も$x_0$とおなじ不等式
$v(f(x_1))\geq e_1+1>2e_2=2v(f'(x_1))\quad\cdots(*_3)$
を満たすことがわかる。

　補題6によって得られる数列$\{x_n\}^\infty_{n=0}$は$n>m$のとき
$x_n\equiv x_m\pmod{\pi^{e_1-e_2+m}}$
つまり
$v(x_n-x_m)\geq e_1-e_2+m\to\infty\quad(m,n\to\infty)$
とコーシー列であることがわかるのでその収束先$\a\in A$が存在して、
$f(x_n)\equiv0\pmod{\pi^{e_1+n}}$
つまり
$v(f(x_n))\geq e_1+n\to\infty\quad(n\to\infty)$
から
$\dis f(\a)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$
が成り立つ。
　また
$\dis v(\a-x_0)=\lim_{n\to\infty}v(x_n-x_0)\geq e_1-e_2$
より
$\a\equiv x_0\pmod{\pi^{e_1-e_2}}$
もわかる。

$\p=\{x\in R\mid v(x)\geq1\}$
と書けることに注意すると単射環準同型
$\begin{array}{rcl} f:R/\p&\to&A/\pp \\x+\p&\mapsto&x+\pp \end{array}$
が考えられる。また任意の$x\in A$に対して
$x=y/z\quad(y,z\in R,v(y)\geq0,v(z)=0)$
とおくと、一般にデデキント環の素イデアルは極大イデアルでもあること、つまり$R/\p$は体であることが知られているので、$z+\p\neq0+\p$の逆元$z^{-1}+\p$が考えられ、$v(1-zz^{-1})\geq1$より
$(x-yz^{-1})+\pp=y(1-zz^{-1})/z+\pp=0+\pp$
つまり全射性
$f(yz^{-1}+\p)=x+\pp$
もわかるので
$R/\p\simeq A/\pp$
を得る。

　命題3,定理4の証明から$\wh K$の付値環$\wh A$とその唯一の素イデアル$\wh\pp$に対して
$\begin{array}{rcl} f:R/\p&\to&\wh A/\wh\pp \\x+\p&\mapsto&x+\wh\pp \end{array}$
は同型となるので$R/\p$の代表元集合は$\wh A/\wh\pp$の代表元集合でもある。
　また$\pi\in\p\setminus\p^2$ならば$v(\pi)=1$であることから命題3系より主張を得る。

$\p^n=\{x\in R\mid v(x)\geq n\}$
と書けることに注意すると単射環準同型
$\begin{array}{rcl} f:R/\p^n&\to&A/\pp^n \\x+\p^n&\mapsto&x+\pp^n \end{array}$
が考えられる。また任意の$x\in A$に対して定理9のような表示
$\dis x=\sum^\infty_{k=0}a_k\pi^k\quad(a_k\in\G\subset R,\pi\in\p)$
を考え、
$\dis x_n=\sum^{n-1}_{k=0}a_k\pi^k$
とおくと$x_n\in R$かつ$v(x-x_n)\geq n$より全射性
$x+\pp^n=x_n+\pp^n=f(x_n+\p)$
がわかり、
$R/\p^n\simeq A/\pp^n$
を得る。また命題3の証明より
$A/\pp^n\simeq\wh A/\wh\pp^n$
でもあったので主張を得る。

　仮定より$v(f(x_0))\geq1,v(f'(x_0))=0$なので$v(f(x_0))>2v(f'(x_0))$が成り立つ。あとは定理7からわかる。