走る結合定数の計算(3/5): 摂動計算に関する数学公式集

1. 構造定数$f_{abc}$は、ゲージ群の生成子$T^a$を用いて
   \begin{align} [T^a,T^b]=if_{abc}T^c \end{align}
   で定義される。$f_{abc}$は添字の入れ替えに関し完全反対称。

2. $T^a_{bc}:=-if_{abc}$はSU(N)の生成子である。すなわちこの$T$に対して
   \begin{align} [T^a,T^b]=if_{abc}T^c \end{align}
   が成立する。この表現をadjoint表現と呼ぶ。

3. ゲージ群の生成子に関する公式：
   \begin{align} {\rm tr}\left(T^aT^b\right)&=\frac{\delta_{ab}}{2},\\ T^a_{ij}T^a_{kl}&=\frac{1}{2}\left( \delta_{il}\delta_{jk}-\frac{1}{N}\delta_{ij}\delta_{kl} \right),\\ (T^aT^b)_{ij}&=C_F\delta_{ij}, \ \ C_F=\frac{N^2-1}{2N} \end{align}

4. 構造定数に関する公式：
   \begin{align} f^{acd}f^{bcd}&=\delta_{ab}N,\\ f^{ade}f^{bef}f^{cfd}&=\frac{N}{2}f^{abc} \end{align}

5. 生成子に対するJacobi恒等式から導かれる等式：
   \begin{align} f_{bcd}f_{ade}+f_{cad}f_{bde}+f_{abd}f_{cde}=0 \end{align}

以下のように、propagatorのpoleを実軸から微小にずらす（$\epsilon$は微小な複素数）:
$$ \frac{1}{q^2-m^2}\rightarrow\frac{1}{q^2-m^2+i\epsilon} $$
このようにずらしたpropagatorのフーリエ変換は以下のようになる:
\begin{align} D_F(x-y)&:=\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4} \frac{i}{q^2-m^2+i\epsilon}e^{-iq\cdot(x-y)}\\ &= \begin{cases} D(x-y) & \text{ for } x^0>y^0\\ D(y-x) & \text{ for } x^0< y^0 \end{cases} \\ &=\theta(x^0-y^0) \langle 0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle 0|\hat\phi(y)\hat\phi(x)|0\rangle \tag{2-1} \end{align}
ここで
\begin{align} D(x-y):=\left.\int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_q}e^{-iq\cdot(x-y)}\right|_{q^0=E_q} =\langle 0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle, \ \ \ E_q:=\sqrt{\vec q^2+m^2} \tag{2-2} \end{align}
である。
演算子$T$を
\begin{align} T\hat\phi(x)\hat\phi(y)= \begin{cases} \hat\phi(x)\hat\phi(y) & x_0>y_0\\ \hat\phi(y)\hat\phi(x) & y_0>x_0 \end{cases} \end{align}
（このような積をtime ordered productと呼ぶ）
で定義すれば
\begin{align} D_F(x-y)=\langle 0|T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle \end{align}
となる。$D_F(x-y)$はFeynman propagatorと呼ばれる。

\begin{align} 4\text{ dim. }\rightarrow D:= 4-2\epsilon \end{align}
ここで$\epsilon$は一般に複素数であり、微小なパラメータとして取り扱う。$\epsilon\rightarrow 0$が$D=4$の極限。これによりループ積分は
$$ \int\frac{d^4q}{(2\pi)^4i}\rightarrow \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} $$
となる。

1. 被積分関数の分母をまとめる：
   \begin{align} \frac{1}{A_1A_2}&=\int_0^1\frac{dx}{(xA_1+(1-x)A_2)^2},\\ \frac{1}{A_1A_2A_3}&=2\int_0^1 dx \int_0^{1-x}dy\frac{1}{(xA_1+yA_2+(1-x-y)A_3)^3} \end{align}
   下は
   \begin{align} \frac{1}{A_1A_2A_3}&=2\int_0^1 dx \int_0^1 dy\frac{y}{((A_1-A_2)xy+(A_2-A_3)y+A_3)^3} \end{align}
   とも書ける。積分範囲の違いに注意。

2. $1/(A^\alpha B^\beta)$の分母をまとめる：
   $$ \frac{1}{A^\alpha B^\beta}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^1 dx dy \frac{x^{\alpha-1}y^{\beta-1}}{(xA+yB)^{\alpha+\beta}} \delta(1-x-y) $$

3. 一般に以下が成立する：
   $$ \frac{1}{A_1\cdots A_N} =\Gamma[N] \int_0^1 dx_1 \cdots dx_N\delta\left(1-\sum_{j=1}^N x_j\right) \frac{1}{[A_1x_1+\cdots+A_Nx_N]^N} $$
   これはまた以下のようにも書ける：
   $$ \frac{1}{A_1\cdots A_N} \\ =\Gamma[N]\int_0^1 dx_1\cdots dx_{N-1} \frac{x_2 x_3^2\cdots x_{N-1}^{N-2}} {[(A_1-A_2)x_1\cdots x_{N-1}+(A_2-A_3)x_2\cdots x_{N-1} +\cdots +(A_{N-1}-A_N)x_{N-1}+A_N]^N} $$

以下が成立する：

1. $\displaystyle \int d^Dq \ {q}_\mu \ f({q}^2)=0$
2. $\displaystyle \int d^Dq \ {q}_\mu {q}_\nu \ f({q}^2)=\frac{1}{D}g_{\mu\nu}\int d^D{q} \ q^2 \ f({q}^2)$
3. $\displaystyle \int d^Dq \ {q}_\mu {q}_\nu {q}_\rho \ f({q}^2)=0$
4. $\displaystyle \int d^Dq \ {q}_\mu {q}_\nu {q}_\rho q_\sigma \ f({q}^2)=\frac{1}{D(D+2)}g_{(\mu\nu}g_{\rho\sigma)}\int d^D q \ (q^2)^2f({q}^2)\\ g_{(\mu\nu}g_{\rho\sigma)}:=g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma}+g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}+g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho} $

1. $\displaystyle \int \frac{d^D q}{(2\pi)^D i}\frac{1}{(-q^2)^\alpha}=0 \ \ \ (\alpha>0)\ $（次元正則化で成立する式）
2. $\displaystyle \int \frac{d^D q}{(2\pi)^D i}\frac{q_\mu}{(q^2)^\alpha}=0$ （$\because$ 回転対称性による）
3. $\displaystyle \int \frac{d^D q}{(2\pi)^D i} \frac{q_\mu q_\nu}{(q^2)^\alpha}=0 \ \ \ (\alpha>1)$ （$\because$ 積分は$g_{\mu\nu}$に比例するしかないが、そうすると1.から0になる）

以下の変数変換: $q\to q_E$（Euclid化やWick rotationと呼ぶ）を行い、積分を極座標にする:
\begin{align} q_0 &=i {q_{E}}_0 \ ({q_E}_0: \text{real}), \ \ {\vec q}={\vec q}_E\\ d^Dq &= id^D q_E, \ {q}^2=-q_E^2, \ q_E^2={q_E}_0^2+{\vec q}_E^2\\ \ \ d^Dq_E &=q_E^{D-1}dq_Ed\Omega_D \end{align}
$d\Omega_D$は$D$次元における極座標の角度方向の積分測度。
この操作は、被積分関数のpoleが第1・第3象限になければ正当化される。

• $x\in \mathbb{R}^D$のとき,極座標への変数変換は以下:
  \begin{align} \begin{cases} x_1&=r\cos\theta,\\ x_2&=r\sin\theta\cos\varphi_1,\\ x_3&=r\sin\theta\sin\varphi_1\cos\varphi_2,\\ &\vdots\\ x_{D-1}&=r\sin\theta\sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{D-3}\sin\varphi_{D-2},\\ x_{D}&=r\sin\theta\sin\varphi_1\cdots\sin\varphi_{D-3}\cos\varphi_{D-2} \end{cases} \end{align}
  各変数の変化域は以下:
  \begin{align} 0\le r\le +\infty, \ \ 0\le \theta,\varphi_1,\cdots,\varphi_{D-3}\le\pi, \ \ 0\le\varphi_{D-2}\le 2\pi \end{align}

• Jacobianは以下のように書ける:
  \begin{align} r^{D-1}\sin^{D-2}\theta\sin^{D-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{D-3}. \end{align}
  よって
  \begin{align} \prod_i dx_i=r^{D-1}\sin^{D-2}\theta\sin^{D-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{D-3} drd\theta d\varphi_1\cdots d\varphi_{D-2} \end{align}
  ゆえに$d\Omega_D$は
  \begin{align} d\Omega_D=\sin^{D-2}\theta\sin^{D-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{D-3} d\theta d\varphi_1\cdots d\varphi_{D-3}d\varphi_{D-2} \end{align}

• $d\Omega_D$の角度積分(=$D$次元の半径1の超球の表面積):
  \begin{align} \int d\Omega_D&= \int_0^\pi d\theta \int_0^\pi d\varphi_1\cdots\int_0^\pi d\varphi_{D-3}\int_0^{2\pi} d\varphi_{D-2} \sin^{D-2}\theta\sin^{D-3}\varphi_1\cdots\sin\varphi_{D-3} d\theta d\varphi_1\cdots d\varphi_{D-3}d\varphi_{D-2}\\ &=\frac{2\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)} \end{align}

1. $B$関数の性質：
   \begin{align}\displaystyle B(p,q) &:= \int^1_0 dx \ x^{p-1}(1-x)^{q-1}\\ \displaystyle &=\int_0^\infty \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\end{align}

2. $\displaystyle \int\frac{d^D q_E}{(2\pi)^D}\frac{1}{(q_E^2+\Delta)^a}=\frac{\Gamma(a-D/2)}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)}\Delta^{D/2-a}$

3. $\displaystyle \int\frac{d^D q_E}{(2\pi)^D}\frac{q_E^2}{(q_E^2+\Delta)^a} =\frac{D}{2}\frac{\Gamma(a-D/2-1)}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \Delta^{D/2-a+1}$

4. $\displaystyle \int\frac{d^D q_E}{(2\pi)^D} \frac{(q_E^2)^2}{(q_E^2+\Delta)^a} = \frac{1}{4}D(D+2) \frac{\Gamma(a-D/2-2)}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \Delta^{D/2-a+2} $

次元正則化において、YM理論の$g$は質量次元$\epsilon$をもつ：$[g]=M^\epsilon$
（$[A]$は$A$の質量次元を表す。$A$の質量次元が$\alpha$であることを$[A]=M^\alpha$で表す）

1. 分子が1:
   \begin{align} &\int \frac{d^D q}{(2\pi)^Di}\frac{1}{(-q^2)^\alpha (-(q+k)^2)^\beta}\\ & \hspace{1cm} =(4\pi)^{-D/2}(-k^2)^{D/2-\alpha-\beta} \frac{\Gamma(\alpha+\beta-D/2)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} B\left( \frac{D}{2}-\alpha,\frac{D}{2}-\beta \right)\\ & \hspace{1cm} =(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{(2-\epsilon)-\alpha-\beta} \frac{\Gamma(\alpha+\beta-(2-\epsilon))}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} B\left( (2-\epsilon)-\alpha,(2-\epsilon)-\beta \right) \\ \end{align}

2. 分子が$q_\mu$:
   \begin{align} &\int \frac{d^D q}{(2\pi)^Di}\frac{q_\mu}{(-q^2)^\alpha (-(q+k)^2)^\beta} \\ & \hspace{1cm} =-(4\pi)^{-D/2}k_\mu (-k^2)^{D/2-\alpha-\beta} \frac{\Gamma(\alpha+\beta-D/2)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} B\left( \frac{D}{2}-\alpha+1,\frac{D}{2}-\beta \right)\\ & \hspace{1cm} =-(4\pi)^{-(2-\epsilon)}k_\mu (-k^2)^{(2-\epsilon)-\alpha-\beta} \frac{\Gamma(\alpha+\beta-(2-\epsilon))}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} B\left( (2-\epsilon)-\alpha+1,(2-\epsilon)-\beta \right) \end{align}

3. 分子が$q_\mu q_\nu$:
   \begin{align} &\int \frac{d^D q}{(2\pi)^Di}\frac{q_\mu q_\nu}{(-q^2)^\alpha (-(q+k)^2)^\beta}\\ & \hspace{1cm} =(4\pi)^{-D/2}(-k^2)^{D/2-\alpha-\beta} \frac{\Gamma(\alpha+\beta-D/2)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \left[ k^2g_{\mu\nu} \frac{B(D/2-\alpha+1,D/2-\beta+1)}{2(\alpha+\beta-1-D/2)}\right.\\ & \hspace{10cm} \left.+k_\mu k_\nu B\left( \frac{D}{2}-\alpha+2,\frac{D}{2}-\beta \right) \right]\\ & \hspace{1cm} =(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{(2-\epsilon)-\alpha-\beta} \frac{\Gamma(\alpha+\beta-(2-\epsilon))}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Bigg[ k^2g_{\mu\nu} \frac{B((2-\epsilon)-\alpha+1,(2-\epsilon)-\beta+1)}{2(\alpha+\beta-1-(2-\epsilon))}\\ & \hspace{10cm} +k_\mu k_\nu B\left( (2-\epsilon)-\alpha+2,(2-\epsilon)-\beta\right) \Bigg] \end{align}

1. 分子が$1$：
   \begin{align} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{1}{(m^2+2q\cdot p-q^2)^a} = \frac{\Gamma(a-D/2)}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \frac{1}{(m^2+p^2)^{a-D/2}} \\ \end{align}

2. 分子が$q$1つ：
   \begin{align} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu}{(m^2+2q\cdot p-q^2)^a} = \frac{\Gamma(a-D/2)}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \frac{p_\mu}{(m^2+p^2)^{a-D/2}} \\ \end{align}

3. 分子が$q$2つ:
   \begin{align} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} &\frac{q_\mu q_\nu}{(m^2+2q\cdot p-q^2)^a}\nonumber\\ &= \frac{1}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \left[ \Gamma(a-D/2)\frac{p_\mu p_\nu}{(m^2+p^2)^{a-D/2}} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\Gamma(a-1-D/2) \frac{1}{(m^2+p^2)^{a-1-D/2}} \right] \end{align}

4. 分子が$q$3つ:
   \begin{align} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} &\frac{q_\mu q_\nu q_\rho}{(m^2+2q\cdot p-q^2)^a}\nonumber\\ &= \frac{1}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \left[ \Gamma(a-D/2)\frac{p_\mu p_\nu p_\rho}{(m^2+p^2)^{a-D/2}} -\frac{1}{2}g_{(\mu\nu}p_{\rho)}\Gamma(a-1-D/2) \frac{1}{(m^2+p^2)^{a-1-D/2}} \right] \end{align}

5. 分子が$q$4つ:
   \begin{align} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} &\frac{q_\mu q_\nu q_\rho q_\sigma}{(m^2+2q\cdot p-q^2)^a}\nonumber\\ &= \frac{1}{(4\pi)^{D/2}\Gamma(a)} \bigg[ \Gamma(a-D/2)\frac{p_\mu p_\nu p_\rho p_\sigma}{(m^2+p^2)^{a-D/2}} -\frac{1}{2}g_{(\mu\nu}p_{\rho}p_{\sigma)}\Gamma(a-1-D/2) \frac{1}{(m^2+p^2)^{a-1-D/2}}\\ &\hspace{3.5cm} +\frac{1}{4}g_{(\mu\nu}g_{\rho\sigma)}\Gamma(a-2-D/2)\frac{1}{(m^2+p^2)^{a-2-D/2}} \bigg] \end{align}

ただし
\begin{align} g_{(\mu\nu}p_{\rho)}&:=g_{\mu\nu}p_\rho+g_{\nu\rho}p_\mu+g_{\rho\mu}p_\nu,\\ g_{(\mu\nu}p_\rho p_{\sigma)} &:=g_{\mu\nu}p_\rho p_\sigma +g_{\mu\rho}p_\nu p_\sigma +g_{\mu\sigma}p_\nu p_\rho +g_{\nu\rho}p_\mu p_\sigma +g_{\nu\sigma}p_\mu p_\rho +g_{\rho\sigma}p_\mu p_\nu,\\ g_{(\mu\nu}g_{\rho\sigma)} &:=g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} +g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} +g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho} \end{align}

• $\displaystyle B(p,q) := \int^1_0 dx \ x^{p-1}(1-x)^{q-1}\\ \displaystyle \hspace{1.5cm} =\int_0^\infty \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $
• $B(x,y)=B(y,x)$
• $xB(x,y+1)=yB(x+1,y)$
• $(x+y)B(x,y+1)=yB(x,y), \ \ \ (x+y)B(x+1,y)=xB(x,y)$
• $\displaystyle B(x,y+1)=\frac{y}{x+y}B(x,y), \ \ \ B(x+1,y)=\frac{x}{x+y}B(x,y)$

• $\displaystyle B(1-\epsilon,1-\epsilon)=\frac{2(3-2\epsilon)}{1-\epsilon}B(2-\epsilon,2-\epsilon)$
• $\displaystyle B(3-\epsilon,1-\epsilon)=\frac{2-\epsilon}{1-\epsilon}B(2-\epsilon,2-\epsilon)$
• $\displaystyle B(2-\epsilon,1-\epsilon)=\frac{3-2\epsilon}{1-\epsilon}B(2-\epsilon,2-\epsilon)$
• $\displaystyle B(-\epsilon,1-\epsilon)=-\frac{2(3-2\epsilon)(1-2\epsilon)}{\epsilon(1-\epsilon)}B(2-\epsilon,2-\epsilon)$
• $\displaystyle B(3-\epsilon,-\epsilon)=-\frac{(3-2\epsilon)(2-\epsilon)}{\epsilon(1-\epsilon)}B(2-\epsilon,2-\epsilon)$
• $\displaystyle B(2-\epsilon,-\epsilon)=-\frac{2(1-\epsilon)(3-2\epsilon)}{\epsilon(1-\epsilon)} B(2-\epsilon,2-\epsilon)$

• $M{\boldsymbol{(1,1;1)}}$の積分
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di}\frac{1}{q^2(q+k)^2} &=(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{-\epsilon} \Gamma(\epsilon) B\left( -\epsilon,1-\epsilon \right)\\ &=(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{-\epsilon} \frac{2(3-2\epsilon)}{1-\epsilon} \Gamma(\epsilon) B\left( 2-\epsilon,2-\epsilon \right)\\ &=2P(k^2,\epsilon), \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,2;1)}}$
  \begin{align*} \int \frac{d^D q}{(2\pi)^Di} \frac{1}{q^2((q+k)^2)^2} &=(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{-1-\epsilon} \Gamma(\epsilon) \frac{2(1-2\epsilon)(3-2\epsilon)}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &=2(1-2\epsilon) \frac{1}{-k^2} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(2,1;1)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{1}{(q^2)^2(q+k)^2} &=(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{-1-\epsilon} \Gamma(\epsilon) \frac{2(1-2\epsilon)(3-2\epsilon)}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &= 2(1-2\epsilon) \frac{1}{-k^2} P(k^2,\epsilon) \\ &\left( =\int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{1}{(q^2)((q+k)^2)^2} \right) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,1;q_\mu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu}{q^2(q+k)^2} &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)} k_\mu (-k^2)^{-\epsilon} \Gamma(\epsilon) B\left( 2-\epsilon,1-\epsilon \right)\\ &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)} k_\mu (-k^2)^{-\epsilon} \frac{3-2\epsilon}{1-\epsilon}\Gamma(\epsilon)B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &= -k_\mu P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,2;q_\mu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu}{q^2((q+k)^2)^2} &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)} k_\mu (-k^2)^{-1-\epsilon} \Gamma(\epsilon) \frac{2(3-2\epsilon)(1-\epsilon)}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &= 2(1-\epsilon) \frac{k_\mu}{k^2} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(2,1;q_\mu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu}{(q^2)^2(q+k)^2} &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)} k_\mu (-k^2)^{-1-\epsilon} \epsilon\Gamma(\epsilon) \frac{2(3-2\epsilon)}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &= -2\epsilon \frac{k_\mu}{k^2} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,1;q_\mu q_\nu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu q_\nu}{q^2(q+k)^2} &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)} (-k^2)^{-\epsilon} \Gamma(\epsilon) \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\mu\nu} -(2-\epsilon)k_\mu k_\nu \right\} \frac{1}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &= -\frac{1}{3-2\epsilon} \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\mu\nu} -(2-\epsilon)k_\mu k_\nu \right\} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,2;q_\mu q_\nu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu q_\nu}{q^2((q+k)^2)^2} &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)} (-k^2)^{-1-\epsilon} \Gamma(\epsilon) \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\mu\nu} -(2-\epsilon)k_\mu k_\nu \right\} \frac{3-2\epsilon}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &=\frac{1}{k^2} \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\mu\nu} -(2-\epsilon)k_\mu k_\nu \right\} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(2,1;q_\mu q_\nu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^Di} \frac{q_\mu q_\nu}{(q^2)^2(q+k)^2} &=-(4\pi)^{-(2-\epsilon)}(-k^2)^{-1-\epsilon} \Gamma(\epsilon) \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\mu\nu}+\epsilon k_\mu k_\nu \right\} \frac{3-2\epsilon}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &=\frac{1}{k^2} \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\mu\nu} +\epsilon k_\mu k_\nu \right\} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(2,2;q_\mu q_\nu)}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^D i} \frac{q_\mu q_\nu}{(q^2)^2((q+k)^2)^2} &=(4\pi)^{-(2-\epsilon)} (-k^2)^{(2-\epsilon)} \Gamma(\epsilon) \left\{ \epsilon k^2 g_{\mu\nu} -2k_\mu k_\nu(1-\epsilon)(1+\epsilon) \right\} \frac{3-2\epsilon}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &= \frac{1}{(k^2)^2} \left\{ \epsilon k^2 g_{\mu\nu} -2k_\mu k_\nu(1-\epsilon)(1+\epsilon) \right\} P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,1;L_{\mu\nu})}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^D i} \frac{q_\mu k_\nu + q_\nu k_\mu}{q^2(q+k)^2} &=-(k_\mu k_\nu + k_\nu k_\mu)P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(1,2;q_\rho L_{\mu\nu})}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^D i} \frac{q_\rho(q_\mu k_\nu + q_\nu k_\mu)}{q^2((q+k)^2)^2} &=\frac{1}{k^2} \left[ \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\rho\mu} -(2-\epsilon)k_\rho k_\mu \right\}k_\nu + \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\rho\nu} -(2-\epsilon)k_\rho k_\nu \right\}k_\mu \right]P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(2,1;q_\rho L_{\mu\nu})}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^D i} \frac{q_\rho(q_\mu k_\nu + q_\nu k_\mu)}{(q^2)^2(q+k)^2} &=\frac{1}{k^2} \left[ \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\rho\mu} +\epsilon k_\rho k_\mu \right\}k_\nu + \left\{ \frac{1}{2}k^2g_{\rho\nu} +\epsilon k_\rho k_\nu \right\}k_\mu \right]P(k^2,\epsilon) \end{align*}

• $M{\boldsymbol{(2,2;q_\rho L_{\mu\nu})}}$
  \begin{align*} \int\frac{d^Dq}{(2\pi)^D i} \frac{q_\rho(q_\mu k_\nu + q_\nu k_\mu)}{(q^2)^2(q+k)^2} &=\frac{1}{(k^2)^2} \left[ \left\{ \epsilon k^2g_{\rho\mu} -2(1-\epsilon^2) k_\rho k_\mu \right\}k_\nu + \left\{ \epsilon k^2g_{\rho\nu} -2(1-\epsilon^2) k_\rho k_\nu \right\}k_\mu \right]P(k^2,\epsilon) \end{align*}

$\epsilon\ll 1$のとき

1. \begin{align} \Gamma(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}-\gamma+\frac{1}{2} \left(\gamma^2+\frac{\pi^2}{6}\right)\epsilon+{\cal O}(\epsilon^2) \end{align}

2. \begin{align} \Gamma(-1+\epsilon)=-\frac{1}{\epsilon} +(\gamma-1)-\frac{1}{2} \left( \gamma^2-2\gamma+\frac{\pi^2}{6}+2 \right)\epsilon+{\cal O}(\epsilon^2) \end{align}

3. \begin{align} \Gamma(-N+\epsilon)=\frac{(-1)^N}{N!}\left[\frac{1}{\epsilon} +\psi(N+1)+{\cal O}(\epsilon)\right]　\ \ \ (N: \text{positive integer}) \end{align}
   ここで
   \begin{align} \psi(x)&\equiv \Gamma'(x)/\Gamma(x),\\ \psi(1)&=-\gamma, \ \ \psi(N+1)=-\gamma+\sum_{k=1}^N\frac{1}{k},\\ \gamma&=-\Gamma'(1)=0.5772\cdots \end{align}

4. \begin{align} \Gamma(1+\epsilon)=1-\gamma\epsilon+\sum_{k=2}^\infty \frac{(-\epsilon)^k}{k!} \zeta(k) \end{align}

5. \begin{align} (1-\epsilon)B(1-\epsilon,1-\epsilon)=1+\gamma+O(\epsilon^2) \end{align}

6. $P(k^2,\epsilon)$のLaurent展開：
   \begin{align} P(k^2,\epsilon)&:=(4\pi)^{-(2-\epsilon)} (-k^2)^{-\epsilon}\Gamma(\epsilon) \frac{3-2\epsilon}{1-\epsilon} B(2-\epsilon,2-\epsilon)\\ &=\frac{1}{2(4\pi)^2} \left(\frac{1}{\epsilon} +\log\left(\frac{4\pi}{-k^2}\right) -\gamma +2 +{\cal O}(\epsilon)\right) \end{align}

任意の$D$次元における公式(Ref.[3]より):

• $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu}{\bf 1}$
• $g^\mu_\mu=D$
• $\gamma_\mu\gamma^\mu =D{\bf 1}$
• ${\rm tr}({\bf 1})=2^{D/2} \ \ {}^{(**)}$
• $\gamma^\mu\gamma_\alpha\gamma_\mu = (2-D)\gamma_\alpha$
• $\gamma^\mu\gamma_\alpha\gamma_\beta\gamma_\mu =(D-4)\gamma_\alpha\gamma_\beta+4g_{\alpha\beta}$
• $\gamma^\mu\gamma_\alpha\gamma_\beta\gamma_\delta\gamma_\mu=-2\gamma_\delta\gamma_\beta\gamma_\alpha-(D-4) \gamma_\alpha\gamma_\beta\gamma_\delta$
• $\gamma^\mu\sigma_{\alpha\beta}\gamma_\mu=(D-4)\sigma_{\alpha\beta}, \ \ \ \sigma^{\mu\nu}:=\frac{i}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$
• $\gamma^\mu\sigma_{\mu\alpha}=i(D-1)\gamma_\alpha$
• $\sigma_{\mu\alpha}\gamma^\mu=i(1-D)\gamma_\alpha$
• 奇数個の$\gamma$行列のtraceはゼロ
• ${\rm tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)=4g^{\mu\nu}$
• ${\rm tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta)=4(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}+g^{\mu\beta}g^{\nu\alpha})$
• 任意次元の$\gamma^5$に関する公式に関しては、例えばRef.[2]を参照のこと。