q-ガウスの連分数 でa→1,b→a,c→bとすると、次のようになる。
11−b2ϕ1[a,qbq ;q,z]=Kn=0∞tn1−bqn{t0=1t2n−1=𝑞n−1(bqn−1−1)(1−aqn−1)zt2n=𝑞n−1(bqn−a)(1−qn)z
なので、2ϕ1[a,1b ;q,z]=1なので、左辺右辺(左辺)=2ϕ1[a,qbq ;q,z](1−b)2ϕ1[a,1b ;q,z]=(右辺)
b=aのとき、
∑n=0∞zn1−aqn=Kn=0∞tn1−aqn=11−a−(1−a)2z1−aq−a(1−q)2z1−aq2−q(1−aq)2z1−aq3−aq(1−q2)2z1−aq4−⋱{t0=1t2n−1=−𝑞n−1(1−aqn−1)2zt2n=−a𝑞n−1(1−qn)2z
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