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ランベルト級数の連分数展開

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$$\newcommand{hygeo}[6]{ {}_{#2}\mathrm{#1}_{#3}\left[\begin{matrix}{#4}\\ {#5}\end{matrix}\ ;{#6}\right]} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\large\rm{K}}} $$

q-ガウスの連分数
$a\rightarrow1,b\rightarrow a,c\rightarrow b$
とすると、次のようになる。

\begin{eqnarray} \frac1{1-b}\hygeo\phi{2}{1}{a,q}{bq}{q,z} &=& \kfrac_{n=0}^\infty\frac{t_n}{1-bq^n} \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} t_0 &=& 1 \\ t_{2n-1}&=& 𝑞^{n-1}(bq^{n-1}-1)(1-aq^{n-1})z \\ t_{2n} &=& 𝑞^{n-1}(bq^{n}-a)(1-q^{n})z \end{array} \right. \end{eqnarray}

$\hygeo\phi{2}{1}{a,1}{b}{q,z} = 1 \qquad \text{なので、}$
\begin{eqnarray} \text{(左辺)} &=& \frac {\hygeo\phi{2}{1}{a,q}{bq}{q,z}} {(1-b)\hygeo\phi{2}{1}{a,1}{b}{q,z}} \\&=& \text{(右辺)} \end{eqnarray}

$b = a$のとき、

\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{1-aq^n} &=& \kfrac_{n=0}^\infty\frac{t_n}{1-aq^n} \\&=& \cfrac{1} {1-a-\cfrac{(1-a)^2z} {1-aq-\cfrac{a(1-q)^2z} {1-aq^2-\cfrac{q(1-aq)^2z} {1-aq^3-\cfrac{aq(1-q^2)^2z} {1-aq^4-\ddots}}}}} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} t_0 &=& 1 \\ t_{2n-1}&=& -𝑞^{n-1}(1-aq^{n-1})^2z \\ t_{2n} &=& -a𝑞^{n-1}(1-q^{n})^2z \end{array} \right. \end{eqnarray}

投稿日:2022811

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著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

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