ランベルト級数の連分数展開
q-ガウスの連分数
で
$a\rightarrow1,b\rightarrow a,c\rightarrow b$
とすると、次のようになる。
\begin{eqnarray}
\frac1{1-b}\hygeo\phi{2}{1}{a,q}{bq}{q,z} &=&
\kfrac_{n=0}^\infty\frac{t_n}{1-bq^n} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
t_0 &=& 1 \\
t_{2n-1}&=& 𝑞^{n-1}(bq^{n-1}-1)(1-aq^{n-1})z \\
t_{2n} &=& 𝑞^{n-1}(bq^{n}-a)(1-q^{n})z
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$\hygeo\phi{2}{1}{a,1}{b}{q,z} = 1 \qquad \text{なので、}$
\begin{eqnarray}
\text{(左辺)} &=&
\frac
{\hygeo\phi{2}{1}{a,q}{bq}{q,z}}
{(1-b)\hygeo\phi{2}{1}{a,1}{b}{q,z}} \\&=&
\text{(右辺)}
\end{eqnarray}
$b = a$のとき、
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{1-aq^n} &=&
\kfrac_{n=0}^\infty\frac{t_n}{1-aq^n} \\&=&
\cfrac{1}
{1-a-\cfrac{(1-a)^2z}
{1-aq-\cfrac{a(1-q)^2z}
{1-aq^2-\cfrac{q(1-aq)^2z}
{1-aq^3-\cfrac{aq(1-q^2)^2z}
{1-aq^4-\ddots}}}}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
t_0 &=& 1 \\
t_{2n-1}&=& -𝑞^{n-1}(1-aq^{n-1})^2z \\
t_{2n} &=& -a𝑞^{n-1}(1-q^{n})^2z
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}