フィボナッチ数列の逆数和の連分数展開
ランベルト級数の連分数展開 の結果を用いて、 フィボナッチ数列の逆数和$\psi$ を連分数展開する。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{r^{n}-a q^{n}}=
\kfrac_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{r^{n}-a q^{n}} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}
u_{1} &=&z \\
u_{2 n} &=&-(q r)^{n-1}\left(r^{n}-a q^{n}\right)^{2} z \\
u_{2 n + 1} &=&-a(q r)^{n}\left(r^{n}-q^{n}\right)^{2} z
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \text{(左辺)} &=& \frac{z}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\frac {\left(\frac{z}{r}\right)^{n}} {1-\frac{aq}{r}\left(\frac{q}{r}\right)^{n}} \\&=& \cfrac{\frac{z}{r}} {1-\frac{aq}{r}-\cfrac{(1-\frac{aq}{r})^2\frac{z}{r}} {1-\frac{aq^2}{r^2}-\cfrac{\frac{aq}{r}(1-\frac{q}{r})^2\frac{z}{r}} {1-\frac{aq^3}{r^3}-\ddots}}} \\&=& \cfrac{z} {r-aq-\cfrac{(r-a q)^{2} z} {r^2-aq^2-\cfrac{a q r(r-q)^{2} z} {r^3-aq^3-\ddots}}} \\&=& \text{(右辺)} \end{eqnarray}
$F_n$:n番目のフィボナッチ数
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{F_n} &=&
\large\frac{z}{F_1+\kfrac_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^\floor{\frac{n+1}{2}}F_\floor{\frac{n}{2}}^2z}{F_n}} \\&=&
\cfrac{z}
{1-\cfrac{1^2z}
{1+\cfrac{1^2z}
{2+\cfrac{1^2z}
{3-\cfrac{1^2z}
{5-\cfrac{2^2z}
{8+\cfrac{2^2z}
{13+\ddots}}}}}}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\phi_{\pm} &:=&\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \\
\phi_+\phi_-&=& -1 \\
F_n &=& \frac{\phi_+^n-\phi_-^n}{\sqrt{5}} \\
\text{(左辺)} &=&
\sqrt{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{\phi_+^n-\phi_-^n} \\&=&
\kfrac_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{\phi_+^n-\phi_-^n} \because \text{定理1}\\&=&
\kfrac_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{\sqrt{5}F_n} \\&=&
\text{(右辺)}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}
u_{1} &=&\sqrt{5}z \\
u_{2 n} &=&-(\phi_+\phi_-)^{n-1}\left(\phi_+^n-\phi_-^n\right)^{2} z
&=&5(-1)^n F_n^2 z \\
u_{2 n + 1} &=&-(\phi_+\phi_-)^{n}\left(\phi_+^n-\phi_-^n\right)^{2} z
&=&5(-1)^{n+1} F_n^2 z
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
$z=1$を代入すれば、$\psi$を連分数展開できる。
定理1を使えば、
リュカ数列
や双曲線関数の逆数和 に一般化できる。