4
解説大学数学以上
文献あり

フィボナッチ数列の逆数和の連分数展開

126
4
通報
$$\newcommand{floor}[1]{{\lfloor{#1}\rfloor}} \newcommand{hygeo}[6]{ {}_{#2}\mathrm{#1}_{#3}\left[\begin{matrix}{#4}\\ {#5}\end{matrix}\ ;{#6}\right]} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\matrix{\huge\rm K}}} $$

ランベルト級数の連分数展開 の結果を用いて、 フィボナッチ数列の逆数和$\psi$ を連分数展開する。

\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{r^{n}-a q^{n}}= \kfrac_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{r^{n}-a q^{n}} \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} u_{1} &=&z \\ u_{2 n} &=&-(q r)^{n-1}\left(r^{n}-a q^{n}\right)^{2} z \\ u_{2 n + 1} &=&-a(q r)^{n}\left(r^{n}-q^{n}\right)^{2} z \end{array}\right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \text{(左辺)} &=& \frac{z}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\frac {\left(\frac{z}{r}\right)^{n}} {1-\frac{aq}{r}\left(\frac{q}{r}\right)^{n}} \\&=& \cfrac{\frac{z}{r}} {1-\frac{aq}{r}-\cfrac{(1-\frac{aq}{r})^2\frac{z}{r}} {1-\frac{aq^2}{r^2}-\cfrac{\frac{aq}{r}(1-\frac{q}{r})^2\frac{z}{r}} {1-\frac{aq^3}{r^3}-\ddots}}} \\&=& \cfrac{z} {r-aq-\cfrac{(r-a q)^{2} z} {r^2-aq^2-\cfrac{a q r(r-q)^{2} z} {r^3-aq^3-\ddots}}} \\&=& \text{(右辺)} \end{eqnarray}

$F_n$:n番目のフィボナッチ数
\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{F_n} &=& \large\frac{z}{F_1+\kfrac_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^\floor{\frac{n+1}{2}}F_\floor{\frac{n}{2}}^2z}{F_n}} \\&=& \cfrac{z} {1-\cfrac{1^2z} {1+\cfrac{1^2z} {2+\cfrac{1^2z} {3-\cfrac{1^2z} {5-\cfrac{2^2z} {8+\cfrac{2^2z} {13+\ddots}}}}}}} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \phi_{\pm} &:=&\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \\ \phi_+\phi_-&=& -1 \\ F_n &=& \frac{\phi_+^n-\phi_-^n}{\sqrt{5}} \\ \text{(左辺)} &=& \sqrt{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{\phi_+^n-\phi_-^n} \\&=& \kfrac_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{\phi_+^n-\phi_-^n} \because \text{定理1}\\&=& \kfrac_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{\sqrt{5}F_n} \\&=& \text{(右辺)} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} u_{1} &=&\sqrt{5}z \\ u_{2 n} &=&-(\phi_+\phi_-)^{n-1}\left(\phi_+^n-\phi_-^n\right)^{2} z &=&5(-1)^n F_n^2 z \\ u_{2 n + 1} &=&-(\phi_+\phi_-)^{n}\left(\phi_+^n-\phi_-^n\right)^{2} z &=&5(-1)^{n+1} F_n^2 z \end{array}\right. \end{eqnarray}

$z=1$を代入すれば、$\psi$を連分数展開できる。
定理1を使えば、 リュカ数列 や双曲線関数の逆数和 に一般化できる。

参考文献

投稿日:2022823
更新日:30日前

投稿者

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

コメント