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優しい解説を心掛けるリーマン幾何学~1. ベクトルとテンソル 1.2 双対ベクトル空間(1)~

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 この記事では双対ベクトル空間の定義について解説します。

 微分幾何では多様体と呼ばれる領域上の色々な“関数”を考えて、その振る舞いを調べることで多様体の性質を調べます。調べる対象となる“関数”の中には入力がベクトルで出力が実数というようなものがあります。お気持ちは次のような感じです。

$$ f(ベクトル)=実数 $$

 多様体上でこのような概念を考える前にまずはベクトル空間でこのような“関数”を考えてみると、双対ベクトル空間という考え方が出てきます。

 それでは双対ベクトル空間の具体的な説明に移ります。実ベクトル空間$V$上の関数でおそらく最も簡単な関数は定数関数でしょう。つまり全ての$v\in V$に対して、$f(v)=c(\in\mathbb{R})$と定義するわけです。でもこれはあまりに単純すぎます。

 次に単純なものは線形関数でしょう。つまり、$V$の基底を$\{e_1,\cdots,e_n\}$とするとき、

$$ \begin{align} f(v^1e_1+\cdots+v^ne_n)=a_1v^1+\cdots+a_nv^n,\\ a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R} \end{align} $$

と定義します。ただし、この表示は$V$の基底$\{e_1,\cdots,e_n\}$の取り方に依存しています。$V$上の1次関数が$V$の基底の取り方に依らずに定まることは後で確認しますので、今は一旦基底を固定して話を勧めます。

 このような$V$上の$\mathbb{R}$値の線形関数の全体を$V^\ast$と書くことにします。$V^\ast$は実ベクトル空間をなすことが次のように分かります。

 まず、和とスカラー倍については、$f,g\in V^\ast,v\in V,\alpha\in\mathbb{R}$に対して、

$$ \begin{align} (f+g)(v)&:=f(v)+g(v)\\ (\alpha f)(v)&:=\alpha f(v) \end{align} $$

と定義します。また$0$元は$V$の全ての元に対して$0$を対応させる写像とします。これらの定義により$V^\ast$が実ベクトル空間となることを簡単に確かめることができます。

双対空間

実ベクトル空間$V$上の$\mathbb{R}$値線形関数の全体は実ベクトル空間となり、$V$双対空間と呼ばれ、$V^\ast$と書く。

 上に例として出した$f$のように$n$個の実数$a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$を与えると$V^\ast$の元が一つ決まりそうなので、$V^\ast$$n$次元だと予想できます。${\rm dim}V^\ast=n$を示すために、$V^\ast$の基底を次のように作ります。

 $V$の基底$\{e_1,\cdots,e_n\}$に対して、$e_1$には$1$を、それ以外には$0$を対応させる写像を$f^1$とします。つまり
$$ f^1(e_1)=1\\ f^1(e_2)=0\\ \vdots\\ f^1(e_n)=0\\ $$
とします。このままだと基底$\{e_1,\cdots,e_n\}$に対してしか定義されていないので、$V$全体で定義するために、
$$ f^1(v^1e_1+\cdots+v^ne_n)=v^1f^1(e_1)+\cdots+v^nf^1(e_n)=v^1 $$
と定めます。このように定義することを、線形に拡張して$V$全体で定義する、と表現することが多いです。

 同様に、$e_i$に対して$1$、それ以外には$0$を対応させる写像を線形に拡張して$V$全体で$f^i$を定義します。つまり
$$ f^i(e_j):=\delta^i_j=\begin{cases}1\ (i=j) \\ 0\ (i\ne j)\end{cases} $$
と定義します。$\delta^i_j$はクロネッカーのデルタと呼ばれます。

 これらの$f^1,\cdots,f^n$$V^\ast$の基底になることを示します。

双対基底の存在

 ベクトル空間$V$の基底$\{e_1,\cdots,e_n\}$に対して、$f^1,\cdots,f^n\in V^\ast$
$$ f^i(e_j):=\delta^i_j $$
を満たす$V$上の線形写像とする。このとき、$f^1,\cdots,f^n$$V^\ast$の基底となる。

(線形独立性)
$\sum_ia_if^i=0$が成り立つとすると、$0=\sum_ia_if^i(e_j)=a_j$となる。

(完全性)
任意の$f^\ast\in V^\ast,\ v=\sum_iv^ie_i$に対して、
$$ f(v)=f(\sum_iv^ie_i)=\sum_iv^if(e_i)=\sum_if(e_i)f^i(v) $$
であるから、
$$ f=\sum_if(e_i)f^i $$
となる。

 これで双対基底を定義することができるようになりました。

双対基底

 ベクトル空間$V$の基底$\{e_1,\cdots,e_n\}$に対して、$f^1,\cdots,f^n\in V^\ast$
$$ f^i(e_j):=\delta^i_j $$
を満たす$V$上の線形写像とする。このとき、$f^1,\cdots,f^n$$V^\ast$の基底となり、双対基底と呼ばれる。

$n$次元実ベクトル空間$V$の双対空間$V^\ast$$n$次元ベクトル空間である。

 次回は双対ベクトル空間の変換性についてです。

投稿日:20221029

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投稿者

Submersion
Submersion
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20109
専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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