優しい解説を心掛けるリーマン幾何学～1. ベクトルとテンソル　1.2 双対ベクトル空間(2)～

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　前の記事では双対ベクトル空間を定義しました。この記事では双対ベクトル空間のいくつかの性質を説明します。

　定義より $V$ と $V^{*}$ の元から実数を作ることができます。これが双対積です。

双対積

双対積 $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V \times V^{*} \to R$
を $v \in V$ と $f \in V^{*}$ に対して、
$⟨ v, f ⟩ = ⟨ f, v ⟩ = f (v)$
と定義する。

　このことから $V$ を $V^{*}$ の双対空間と見なすことができます。つまり $(V^{*})^{*} ≅ V$ が成り立ちます。次に $V$ の基底の変換に対して、 $V^{*}$ の双対基底はどのように変換されるかを見ます。

双対基底の変換

$V$ の基底を ${e_{i}}$ とし、 ${e_{i}}$ に関する $V^{*}$ の双対基底を ${f^{i}}$ とする。このとき、 $V$ の基底の変換
$e_{j}^{'} = \sum_{i} e_{i} a_{j}^{i}$
に対して、 ${e_{i}^{'}}$ に関する $V^{*}$ の双対基底 ${f^{' i}}$ は
$f^{' i} = \sum_{j} (a^{- 1})_{j}^{i} f^{j}$
で与えられる。

$f^{' i} = \sum_{j} b_{j}^{i} f^{j}$
とすると、
$δ_{j}^{i} = f^{' i} (e_{j}^{'}) = \sum_{k, l} b_{k}^{i} f^{k} (e_{l} a_{j}^{l}) = \sum_{k, l} b_{k}^{i} a_{j}^{l} f^{k} (e_{l}) = \sum_{k, l} b_{k}^{i} a_{j}^{l} δ_{l}^{k} = \sum_{k} b_{k}^{i} a_{j}^{k}$
となることから従う。

　 $u \in V^{*}$ は
$u = \sum_{i} u_{i} f^{i}$
と表されます。このとき、 $u_{i}$ 達を $u$ の成分と呼びます。 $V$ の基底の変換とそれに伴う成分の変換の関係を $V^{*}$ に適用すればただちに次の命題を得ます。

双対空間の元の成分の変換

　ベクトル空間 $V$ の双対空間を $V^{*}$ とする。 ${e_{i}}, {e_{i}^{'}}$ を $V$ の基底とし、 ${f^{i}}, {f^{' i}}$ を対応する双対基底とする。 $u = \sum_{i} u_{i} f^{i} \in V^{*}$ の成分 ${u_{i}}$ は $V$ の基底変換 $e_{i}^{'} = \sum_{j} e_{j} a_{i}^{j}$ に対して、
$u_{i}^{'} = \sum a_{i}^{j} u_{j}$
と変換される。