二項係数付きMZVをAMZVに分解する連結和
はじめに
この記事の目標は、以下の級数
$$
\begin {aligned}
H(\bm k;\bm l)\sum _{0=n_0<\cdots < n_r< m_1<\cdots < m_s}\frac {C_{m_{1}-n_{r}}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}}
\end {aligned}
$$
や、さらに拡張された級数を級数変形で交代多重ゼータ値の$\Q$-線形結合に分解することです。ここで
$$
\begin {aligned}
C_n:=(-1)^{n}\binom {-\frac {1}2}n=\frac {\binom {2n}n}{2^{2n}}
\end {aligned}
$$
です。
$\overline{\bm k}$でインデックス$\bm k$の各成分に符号をつけて得られる$2^{\dep (\bm k)}$個のAMZVのインデックス全体の集合を表す.
AMZVのインデックス$\bm k=(k_1,\ldots,k_r)$に対して$\bm k_-=(k_1,\ldots,k_{r-1},\overline{k_r})$とし,$\varnothing _-=\varnothing$とする.
本題
まず今回重要となるコネクターと連結和を導入します。
$$
\begin {aligned}
C(m,n)&:=\frac {m!}{(1+n)_m}=\frac {m!n!}{(m+n)!}
\end {aligned}
$$
インデックス$\bm k,\bm l,\bm h$($\bm l$は空でない)に対して
$$
\begin {aligned}
H(\bm k;\bm l|\bm h)
&:=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}
\\0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{n_{r+1}^{l_1}\cdots n_{r+s}^{l_s}}\frac {C(n_{r+s},m_t)}{\bm m^{\bm h}}
\end{aligned}
$$
さらに$\bm l$をAMZVのインデックスとして
$$
\begin{aligned}
Z^C(\bm k|\bm l)&:=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_s}2\right )\frac {1}{\bm m^{\bm l}}
\end {aligned}
$$
コネクター自体は双対性のコネクターですが、整数でない値も入れるところが通常とは異なります。
次に輸送関係式を作ります。
$$\begin {aligned} \sum _{0< n}\frac {1}{n+a}C(m,n+a)&=\frac {1}mC(m,a) \\ \sum _{0< n}\frac {(-1)^{n}}{n+a}\binom {-\frac {1}2}{n}C(m,n+a)&=\sum _{0< n}\frac {(-1)^{n-1}}{m+\frac {n}2}C\left (m+\frac {n}2,a\right ) \end{aligned} $$
これの級数証明は
Wataru氏
に教えて貰いました。
証明(開く)
まず一つ目は望遠鏡和で示します.
$$
\begin {aligned}
\sum _{0< n}\frac {1}{n+a}C(m,n+a)
&=\sum _{0< n}\frac {1}m\left (C(m,n+a-1)-C(m,n+a)\right )\\
&=\frac {1}mC(m,a)
\end {aligned}
$$
二つ目は超幾何定理を使います.
$$
\begin {aligned}
\sum _{0\leq n}\frac {1}{n+a}\frac {(x)_n}{n!}C(b,n+a)
&=\sum _{0\leq n,m}\frac {(x)_n}{n!}\frac {C(m+b+1,n+a)}{m+b+1}\\
&=\sum _{0\leq m,n}\frac {(x)_n(a+1)_n}{n!(m+b+a+2)_n,}\frac {a!(m+b)!}{(m+b+a+1)!}\\
&=\sum _{0\leq m}\F21{x,a+1\\m+b+a+2}{1}\frac {a!(m+b)!}{(m+b+a+1)!}\\
&=\sum _{0\leq m}\frac {(m+b+a+1)!(m+b-x)!}{(m+b)!(m+b+a+1-x)!}\frac {a!(m+b)!}{(m+b+a+1)!}\\
&=\sum _{0\leq m}\frac {1}{m+b+1-x}\frac {a!(m+b+1-x)!}{(a+m+b+1-x)!}\\
&=\sum _{0\leq m}\frac {C(a,m+b+1-x)}{m+b+1-x}\\
\sum _{0< n}\frac {1}{n+a}\frac {(x)_n}{n!}C(b,n+a)&=\sum _{0\leq m}\frac {C(a,m+b+1-x)}{m+b+1-x}-\frac {C(b,a)}{a}\\
&=\sum _{0\leq m}\frac {C(a,m+b+1-x)}{m+b+1-x}-\sum _{0< m}\frac {C(a,m+b)}{m+b}
\end {aligned}
$$
なので,$x=1/2$として定理の主張を得ます.
$a$が整数のとき
$$
\begin {aligned}
\sum _{a< n}\frac {1}{n}C(m,n)&=\frac {1}mC(m,a)
\\
\sum _{a< n}\frac {(-1)^{n-a}}{n}\binom {-\frac {1}2}{n-a}C(m,n)&=\sum _{0< n}\frac {(-1)^{n-1}}{m+\frac {n}2}C\left (m+\frac {n}2,a\right )
\end{aligned}
$$
となります。
$H(\bm k;\bm l|\bm h)$の輸送関係式は以下の通りです。
$$ \begin {aligned} &(\mathrm{i})&H(\bm k;\bm l_{\rightarrow}|\bm h)&=H(\bm k;\bm l|\bm h_{\uparrow})\\ &(\mathrm{ii})&H(\bm k;\bm l_\uparrow |\bm h)&=H(\bm k;\bm l|\bm h_\rightarrow)\\ &(\mathrm{iii})&H(\bm k;(1)|\bm h)&=-2^{\wt( \bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\bm l\in \overline{\bm h}}Z^C(\bm k|(\bm l,\overline 1)) \end {aligned} $$
証明(開く)
$(\mathrm{i})$の証明:
$$
\begin {aligned}
H(\bm k;\bm l_\rightarrow|\bm h)&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s+1}\\
0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s+1},m_t)}{n_{r+s+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}\\
0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s},m_t)}{m_t}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\
&=H(\bm k;\bm l|\bm h_\uparrow)
\end {aligned}
$$
$(\mathrm{ii})$の証明:
$$
\begin {aligned}
H(\bm k;\bm l_\uparrow|\bm h)&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}\\
0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s},m_t)}{n_{r+s}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}\\
0=m_0<\cdots < m_{t+1}}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s},m_{t+1})}{m_{t+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\
&=H(\bm k;\bm l|\bm h_\rightarrow)
\end {aligned}
$$
$(\mathrm{iii})$の証明:
$$
\begin {aligned}
H(\bm k;(1)|\bm h)&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+1}\\
0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{\bm k}}\frac {C(n_{r+1},m_t)}{n_{r+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_t\\
0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,m_t+\frac {m}2\right )\frac {(-1)^{m-1}}{m_t+\frac {m}2}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\
&=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_t\\
0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {2m_t+m}2\right )\frac {(-1)^m}{2m_t+m}\prod _{0< j\leq t}\frac {2}{(2m_j)^{h_j}}\\
&=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_t\\
0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_t+m}2\right )\frac {(-1)^m}{m_t+m}\prod _{0< j\leq t}\frac {1+(-1)^{m_j}}{m_j^{h_j}}\\
&=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_{t+1}}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_{t+1}}2\right )\frac {(-1)^{m_{t+1}-m_t}}{m_{t+1}}\prod _{0< j\leq t}\frac {1+(-1)^{m_j}}{m_j^{h_j}}\\
&=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_{t+1}}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_{t+1}}2\right )\frac {(-1)^{m_{t+1}}}{m_{t+1}}\prod _{0< j\leq t}\frac {1+(-1)^{m_j}}{m_j^{h_j}}\\
&=-2^{\wt(\bm h)-\dep(\bm h)+1}\sum _{\bm l\in \overline{\bm h}}Z^C(\bm k|(\bm l,\overline 1))
\end {aligned}
$$
これにより$H$の値は全て$Z^C$で書くことができるので、今度は$Z^C$の輸送を考えます。
$$ \begin {aligned} &(\mathrm{i})&Z^C(\bm k_\rightarrow|\bm l) &=2Z^C(\bm k|\bm l_\uparrow) \\ &(\mathrm{ii})&Z^C(\bm k_\uparrow|\bm l) &=Z^C\left (\bm k|\bm l_\rightarrow \right )+Z^C(\bm k|(\bm l_-,\overline 1)) \\ &(\mathrm{iii})&Z^C(\varnothing | \bm l) &=\zeta (\bm l) \end {aligned} $$
証明(開く)
$(\mathrm{i})$の証明:
$$
\begin {aligned}
Z^C(\bm k_\rightarrow|\bm l)
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+1}\\
0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r+1},\frac {m_s}2\right )}{n_{r+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_r,\frac {m_s}2\right )}{\frac {m_s}2}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\
&=2Z^C(\bm k|\bm l_\uparrow)
\end {aligned}
$$
$(\mathrm{ii})$の証明:
$$
\begin {aligned}
Z^C(\bm k_\uparrow|\bm l)
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_r,\frac {m_s}2\right )}{n_r}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_s\\
0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},m+\frac {m_{s}}2\right )}{m+\frac {m_s}2}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_s\\
0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},\frac {2m+m_{s}}2\right )}{2m+m_s}\frac {2}{\bm m^{\bm l}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_s\\
0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},\frac {m+m_{s}}2\right )}{m+m_s}\frac {1+(-1)^m}{\bm m^{\bm l}}\\
&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\
0=m_0<\cdots < m_{s+1}}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},\frac {m_{s+1}}2\right )}{m_{s+1}}\frac {1+(-1)^{m_{s+1}-m_s}}{\bm m^{\bm l}}\\
&=Z^C\left (\bm k|\bm l_\rightarrow \right )+Z^C(\bm k|(\bm l_-,\overline 1))
\end {aligned}
$$
$(\mathrm{iii})$は明か.
$$
\begin {aligned}
\sum _{0< m< n}\frac {\binom {2m}m}{2^{2m}mn^2}
&=H(\varnothing ;(1,2)|\varnothing )\\
&=H(\varnothing;(1,1)|(1))\\
&=H(\varnothing ;(1)|(2))\\
&=-4\left (Z^C(\varnothing ;(2,\overline 1))+Z^C(\varnothing ;(\overline 2,\overline 1))\right )\\
&=-4\left (\zeta(2,\overline 1)+\zeta (\overline{2},\overline 1)\right )\\
&=-4\left (\frac {1}{12}\pi ^{2}\ln 2-\frac {1}4\zeta (3)-\frac {1}6\pi ^{2}\ln 2+\frac {5}8\zeta (3)\right )\\
&=\frac {1}3\pi ^{2}\ln 2-\frac {3}2\zeta (3)
\end {aligned}
$$
$$
\begin {aligned}
\sum _{0< n}\frac {\binom {2n}n}{2^{2n}n^k}
&=H(\varnothing ;(k)|\varnothing )\\
&=H(\varnothing ;(1)|(\{1\}^{k-1}))\\
&=-2\sum _{\bm k\in \overline{(\{1\}^{k-1})}}Z^C(\varnothing ;(\bm k,\overline 1))\\
&=-2\sum _{\bm k\in \overline{(\{1\}^{k-1})}}\zeta (\bm k,\overline 1)
\end {aligned}
$$
以上より$H(\bm k;\bm l|\bm h)$はAMZVの$\Q$-線形結合で書けることがわかりました。
特に$H(\bm k;\bm l)=H(\bm k;\bm l|\varnothing)$もAMZVに分解できます。
ところでこの記事を書き始めた当初の目標は、
iida_256氏の記事
にあるような
$$
\begin {aligned}
\mathcal H(\bm k):=\sum _{0< n_1\leq \cdots \leq n_r}\frac {C_{n_r}}{\bm n^{\bm k}}
\end {aligned}
$$
という形をした級数を級数によってAMZVに分解する方法を与えることでした。$\mathcal H(\bm k)$の積分表示(これは山本積分表示すると分かりやすいです)において、積分変数の大小関係によって積分を分解すると(poset分解)、$H$の和に分解されますが、その分解を級数変形よって行うアルゴリズムを思い付くことができませんでした。
特殊な場合については分かりました:
$$
\begin {aligned}
\sum _{1\leq n_1\leq \cdots \leq n_r}\frac {C_{n_r}}{n_1\cdots n_r}
&=\sum _{\substack{1\leq n_2\leq \cdots \leq n_r\\
0< m_1}}\left (\frac {1}{m_1}-\frac {1}{m_1+n_2}\right )\frac {C_{n_r}}{n_2\cdots n_r}\\
&=\sum _{\substack{1\leq n_2\leq \cdots \leq n_r\\
0< m_1}}\frac {1}{m_1(m_1+n_2)}\frac {C_{n_r}}{n_3\cdots n_r}\\
&=\sum _{\substack{1\leq n_3\leq \cdots \leq n_r\\
0< m_1,m_2}}\frac {1}{m_{1}}\left (\frac {1}{m_1+m_2}-\frac {1}{m_1+m_2+n_3}\right )\frac {C_{n_r}}{n_3\cdots n_r}\\
&=\sum _{\substack{1\leq n_3\leq \cdots \leq n_r\\
0< m_1< m_2}}\frac {1}{m_{1}}\left (\frac {1}{m_2}-\frac {1}{m_2+n_3}\right )\frac {C_{n_r}}{n_3\cdots n_r}\\
&=\sum _{\substack{1\leq n_r\\
0< m_1<\cdots < m_{r-1}}}\frac {1}{m_1\cdots m_{r-1}}\frac {C_{n_r}}{m_{r-1}+n_r}\\
&=\sum _{0< m_1<\cdots < m_r}\frac {C_{m_r-m_{r-1}}}{m_1\cdots m_r}\\
&=H((\{1\}^{r-1});(1)|\varnothing )\\
&=-2Z^C(\{1\}^{r-1}|(\overline 1))\\
&=-2^{r}Z^C(\varnothing |(\overline r))\\
&=-2^r\zeta (\overline r)
\end {aligned}
$$
積分表示を考えると$H$は二項係数が複数ついていてもAMZVに分解されることが分かります。この一般的な場合について示すために$Z^C$の定義を以下の通り拡張します。コネクターのつかない$H$も拡張します。
$\dep(\bm k^{(i)})=r_i\,(0\leq i\leq N)$なるインデックス$\bm k^{(0)},\ldots,\bm k^{(N)}$(ただし$\bm k^{(1)},\ldots,\bm k^{(N)}\neq \varnothing$)とdepth sのAMZVのインデックス$\bm l$に対して
$$
\begin {aligned}
Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\bm l)
&:=\sum _{\substack{0=n^{(0)}_0< n^{(0)}_1<\cdots < n^{(0)}_{r_0}< n^{(1)}_1<\cdots < n^{(N)}_{r_N}\\
0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{(\bm n^{(0)})^{\bm k^{(0)}}}\left (\prod _{i=1}^N\frac {C_{n^{(i)}_1-n^{(i-1)}_{r_{i-1}}}}{(\bm n^{(i)})^{\bm k^{(i)}}}\right )C\left(n^{(N)}_{r_N},\frac{m_s}2\right)\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\
H(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)})&:=Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\varnothing )
\end {aligned}
$$
輸送関係式は以下のようになります。
$$ \begin{aligned} &(\mathrm{i})&Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}_\uparrow |\bm l) &=Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\bm l_\rightarrow)+Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|(\bm l_-,\overline 1)) \\ &(\mathrm{ii})&Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}_\rightarrow|\bm l) &=2Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\bm l_\uparrow )\quad (N=0 または \bm k \neq \varnothing) \\ &(\mathrm{iii})&Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)};(1)|\bm l)&=-2 Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|(\bm l_-,\overline 1)) \end{aligned} $$
証明(開く)
$(\mathrm{i}),(\mathrm{ii})$は拡張前の$Z^C$の輸送と同様.
$(\mathrm{iii})$の証明:
$$
\begin {aligned}
\sum _{a< n}\frac {C_{n-a}}{n}C\left (n,\frac {b}2\right )
&=\sum _{0< m}C\left (a,\frac {m+b}2\right )\frac {(-1)^{m-1}}{\frac {m+b}2}\\
&=-2\sum _{b< m}C\left (a,\frac {m}2\right )\frac {(-1)^{m-b}}{m}
\end {aligned}
$$
より従う.
$$ \begin {aligned} \sum _{0< m< n}\frac {C_mC_{n-m}}{mn}&=Z^C(\varnothing ;(1);(1)|\varnothing )\\ &=-2Z^C(\varnothing ;(1)|(\overline 1))\\ &=4Z^C(\varnothing |(1,\overline 1))\\ &=4\zeta (1,\overline 1)\\ &=2\ln ^{2}2 \end {aligned} $$
実はこの拡張した$Z^C$を用いると$H$の連結和を考える必要がなくなっていますね。そして境界条件$Z^C(\varnothing | \bm k)=\zeta(\bm k)$より拡張された$Z^C$や$H$の値がAMZVに分解できることが示されました。
以上です。