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大学数学基礎解説
文献あり

二項係数付きMZVをAMZVに分解する連結和

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はじめに

この記事の目標は、以下の級数
H(k;l)0=n0<<nr<m1<<msCm1nrnkml
や、さらに拡張された級数を級数変形で交代多重ゼータ値のQ-線形結合に分解することです。ここで
Cn:=(1)n(12n)=(2nn)22n
です。

表記

kでインデックスkの各成分に符号をつけて得られる2dep(k)個のAMZVのインデックス全体の集合を表す.
AMZVのインデックスk=(k1,,kr)に対してk=(k1,,kr1,kr)とし,=とする.

本題

まず今回重要となるコネクターと連結和を導入します。

C(m,n):=m!(1+n)m=m!n!(m+n)!
インデックスk,l,h(lは空でない)に対して
H(k;l|h):=0=n0<<nr+s0=m0<<mt1n1k1nrkrCnr+1nrnr+1l1nr+slsC(nr+s,mt)mh
さらにlをAMZVのインデックスとして
ZC(k|l):=0=n0<<nr0=m0<<ms1nkC(nr,ms2)1ml

コネクター自体は双対性のコネクターですが、整数でない値も入れるところが通常とは異なります。
次に輸送関係式を作ります。

0<n1n+aC(m,n+a)=1mC(m,a)0<n(1)nn+a(12n)C(m,n+a)=0<n(1)n1m+n2C(m+n2,a)

これの級数証明は Wataru氏 に教えて貰いました。

証明(開く)


まず一つ目は望遠鏡和で示します.
0<n1n+aC(m,n+a)=0<n1m(C(m,n+a1)C(m,n+a))=1mC(m,a)
二つ目は超幾何定理を使います.
0n1n+a(x)nn!C(b,n+a)=0n,m(x)nn!C(m+b+1,n+a)m+b+1=0m,n(x)n(a+1)nn!(m+b+a+2)n,a!(m+b)!(m+b+a+1)!=0m2F1[x,a+1m+b+a+2;1]a!(m+b)!(m+b+a+1)!=0m(m+b+a+1)!(m+bx)!(m+b)!(m+b+a+1x)!a!(m+b)!(m+b+a+1)!=0m1m+b+1xa!(m+b+1x)!(a+m+b+1x)!=0mC(a,m+b+1x)m+b+1x0<n1n+a(x)nn!C(b,n+a)=0mC(a,m+b+1x)m+b+1xC(b,a)a=0mC(a,m+b+1x)m+b+1x0<mC(a,m+b)m+b
なので,x=1/2として定理の主張を得ます.

aが整数のとき
a<n1nC(m,n)=1mC(m,a)a<n(1)nan(12na)C(m,n)=0<n(1)n1m+n2C(m+n2,a)
となります。
H(k;l|h)の輸送関係式は以下の通りです。

Hの輸送関係式

(i)H(k;l|h)=H(k;l|h)(ii)H(k;l|h)=H(k;l|h)(iii)H(k;(1)|h)=2wt(h)dep(h)+1lhZC(k|(l,1))

証明(開く)


(i)の証明:
H(k;l|h)=0=n0<<nr+s+10=m0<<mtCnr+1nrn(k,l)C(nr+s+1,mt)nr+s+11mh=0=n0<<nr+s0=m0<<mtCnr+1nrn(k,l)C(nr+s,mt)mt1mh=H(k;l|h)
(ii)の証明:
H(k;l|h)=0=n0<<nr+s0=m0<<mtCnr+1nrn(k,l)C(nr+s,mt)nr+s1mh=0=n0<<nr+s0=m0<<mt+1Cnr+1nrn(k,l)C(nr+s,mt+1)mt+11mh=H(k;l|h)
(iii)の証明:
H(k;(1)|h)=0=n0<<nr+10=m0<<mtCnr+1nrnkC(nr+1,mt)nr+11mh=0=n0<<nr0=m0<<mt0<m1nkC(nr,mt+m2)(1)m1mt+m21mh=2wt(h)dep(h)+10=n0<<nr0=m0<<mt0<m1nkC(nr,2mt+m2)(1)m2mt+m0<jt2(2mj)hj=2wt(h)dep(h)+10=n0<<nr0=m0<<mt0<m1nkC(nr,mt+m2)(1)mmt+m0<jt1+(1)mjmjhj=2wt(h)dep(h)+10=n0<<nr0=m0<<mt+11nkC(nr,mt+12)(1)mt+1mtmt+10<jt1+(1)mjmjhj=2wt(h)dep(h)+10=n0<<nr0=m0<<mt+11nkC(nr,mt+12)(1)mt+1mt+10<jt1+(1)mjmjhj=2wt(h)dep(h)+1lhZC(k|(l,1))

これによりHの値は全てZCで書くことができるので、今度はZCの輸送を考えます。

ZCの輸送関係式

(i)ZC(k|l)=2ZC(k|l)(ii)ZC(k|l)=ZC(k|l)+ZC(k|(l,1))(iii)ZC(|l)=ζ(l)

証明(開く)


(i)の証明:
ZC(k|l)=0=n0<<nr+10=m0<<ms1nkC(nr+1,ms2)nr+11ml=0=n0<<nr0=m0<<ms1nkC(nr,ms2)ms21ml=2ZC(k|l)
(ii)の証明:
ZC(k|l)=0=n0<<nr0=m0<<ms1nkC(nr,ms2)nr1ml=0=n0<<nr0=m0<<ms0<m1nkC(nr,m+ms2)m+ms21ml=0=n0<<nr0=m0<<ms0<m1nkC(nr,2m+ms2)2m+ms2ml=0=n0<<nr0=m0<<ms0<m1nkC(nr,m+ms2)m+ms1+(1)mml=0=n0<<nr0=m0<<ms+11nkC(nr,ms+12)ms+11+(1)ms+1msml=ZC(k|l)+ZC(k|(l,1))
(iii)は明か.

計算例

0<m<n(2mm)22mmn2=H(;(1,2)|)=H(;(1,1)|(1))=H(;(1)|(2))=4(ZC(;(2,1))+ZC(;(2,1)))=4(ζ(2,1)+ζ(2,1))=4(112π2ln214ζ(3)16π2ln2+58ζ(3))=13π2ln232ζ(3)
0<n(2nn)22nnk=H(;(k)|)=H(;(1)|({1}k1))=2k({1}k1)ZC(;(k,1))=2k({1}k1)ζ(k,1)

以上よりH(k;l|h)はAMZVのQ-線形結合で書けることがわかりました。
特にH(k;l)=H(k;l|)もAMZVに分解できます。
ところでこの記事を書き始めた当初の目標は、 iida_256氏の記事 にあるような
H(k):=0<n1nrCnrnk
という形をした級数を級数によってAMZVに分解する方法を与えることでした。H(k)の積分表示(これは山本積分表示すると分かりやすいです)において、積分変数の大小関係によって積分を分解すると(poset分解)、Hの和に分解されますが、その分解を級数変形よって行うアルゴリズムを思い付くことができませんでした。
特殊な場合については分かりました:
1n1nrCnrn1nr=1n2nr0<m1(1m11m1+n2)Cnrn2nr=1n2nr0<m11m1(m1+n2)Cnrn3nr=1n3nr0<m1,m21m1(1m1+m21m1+m2+n3)Cnrn3nr=1n3nr0<m1<m21m1(1m21m2+n3)Cnrn3nr=1nr0<m1<<mr11m1mr1Cnrmr1+nr=0<m1<<mrCmrmr1m1mr=H(({1}r1);(1)|)=2ZC({1}r1|(1))=2rZC(|(r))=2rζ(r)
積分表示を考えるとHは二項係数が複数ついていてもAMZVに分解されることが分かります。この一般的な場合について示すためにZCの定義を以下の通り拡張します。コネクターのつかないHも拡張します。

dep(k(i))=ri(0iN)なるインデックスk(0),,k(N)(ただしk(1),,k(N))とdepth sのAMZVのインデックスlに対して
ZC(k(0);;k(N)|l):=0=n0(0)<n1(0)<<nr0(0)<n1(1)<<nrN(N)0=m0<<ms1(n(0))k(0)(i=1NCn1(i)nri1(i1)(n(i))k(i))C(nrN(N),ms2)1mlH(k(0);;k(N)):=ZC(k(0);;k(N)|)

輸送関係式は以下のようになります。

ZCの輸送関係式

(i)ZC(k(0);;k(N)|l)=ZC(k(0);;k(N)|l)+ZC(k(0);;k(N)|(l,1))(ii)ZC(k(0);;k(N)|l)=2ZC(k(0);;k(N)|l)(N=0k)(iii)ZC(k(0);;k(N);(1)|l)=2ZC(k(0);;k(N)|(l,1))

証明(開く)


(i),(ii)は拡張前のZCの輸送と同様.
(iii)の証明:
a<nCnanC(n,b2)=0<mC(a,m+b2)(1)m1m+b2=2b<mC(a,m2)(1)mbm
より従う.

0<m<nCmCnmmn=ZC(;(1);(1)|)=2ZC(;(1)|(1))=4ZC(|(1,1))=4ζ(1,1)=2ln22

実はこの拡張したZCを用いるとHの連結和を考える必要がなくなっていますね。そして境界条件ZC(|k)=ζ(k)より拡張されたZCHの値がAMZVに分解できることが示されました。
以上です。

参考文献

投稿日:20221116
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