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大学数学基礎解説
文献あり

二項係数付きMZVをAMZVに分解する連結和

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$$\newcommand{abs}[1]{\left |#1\right |} \newcommand{bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{dep}[0]{\operatorname{dep}} \newcommand{F}[4]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{array}{c}#3\end{array};#4\right]} \newcommand{Fourier}[2]{\mathcal{F}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hartley}[2]{\mathcal{H}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hilbert}[2]{\mathcal{Hil}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{inttrans}[3]{\mathcal{#1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{invtrans}[3]{\mathcal{#1}^{-1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{Laplace}[2]{\mathcal{L}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{Mellin}[2]{\mathcal{M}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{Res}[1]{\underset{#1}{\operatorname{Res}}} \newcommand{tLaplace}[2]{\mathcal{B}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Weierstrass}[2]{\mathcal{W}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{wt}[0]{\operatorname{wt}} $$

はじめに

この記事の目標は、以下の級数
$$ \begin {aligned} H(\bm k;\bm l)\sum _{0=n_0<\cdots < n_r< m_1<\cdots < m_s}\frac {C_{m_{1}-n_{r}}}{\bm n^{\bm k}\bm m^{\bm l}} \end {aligned} $$
や、さらに拡張された級数を級数変形で交代多重ゼータ値の$\Q$-線形結合に分解することです。ここで
$$ \begin {aligned} C_n:=(-1)^{n}\binom {-\frac {1}2}n=\frac {\binom {2n}n}{2^{2n}} \end {aligned} $$
です。

表記

$\overline{\bm k}$でインデックス$\bm k$の各成分に符号をつけて得られる$2^{\dep (\bm k)}$個のAMZVのインデックス全体の集合を表す.
AMZVのインデックス$\bm k=(k_1,\ldots,k_r)$に対して$\bm k_-=(k_1,\ldots,k_{r-1},\overline{k_r})$とし,$\varnothing _-=\varnothing$とする.

本題

まず今回重要となるコネクターと連結和を導入します。

$$ \begin {aligned} C(m,n)&:=\frac {m!}{(1+n)_m}=\frac {m!n!}{(m+n)!} \end {aligned} $$
インデックス$\bm k,\bm l,\bm h$($\bm l$は空でない)に対して
$$ \begin {aligned} H(\bm k;\bm l|\bm h) &:=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s} \\0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{n_{r+1}^{l_1}\cdots n_{r+s}^{l_s}}\frac {C(n_{r+s},m_t)}{\bm m^{\bm h}} \end{aligned} $$
さらに$\bm l$をAMZVのインデックスとして
$$ \begin{aligned} Z^C(\bm k|\bm l)&:=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_s}2\right )\frac {1}{\bm m^{\bm l}} \end {aligned} $$

コネクター自体は双対性のコネクターですが、整数でない値も入れるところが通常とは異なります。
次に輸送関係式を作ります。

$$\begin {aligned} \sum _{0< n}\frac {1}{n+a}C(m,n+a)&=\frac {1}mC(m,a) \\ \sum _{0< n}\frac {(-1)^{n}}{n+a}\binom {-\frac {1}2}{n}C(m,n+a)&=\sum _{0< n}\frac {(-1)^{n-1}}{m+\frac {n}2}C\left (m+\frac {n}2,a\right ) \end{aligned} $$

これの級数証明は Wataru氏 に教えて貰いました。

証明(開く)


まず一つ目は望遠鏡和で示します.
$$ \begin {aligned} \sum _{0< n}\frac {1}{n+a}C(m,n+a) &=\sum _{0< n}\frac {1}m\left (C(m,n+a-1)-C(m,n+a)\right )\\ &=\frac {1}mC(m,a) \end {aligned} $$
二つ目は超幾何定理を使います.
$$ \begin {aligned} \sum _{0\leq n}\frac {1}{n+a}\frac {(x)_n}{n!}C(b,n+a) &=\sum _{0\leq n,m}\frac {(x)_n}{n!}\frac {C(m+b+1,n+a)}{m+b+1}\\ &=\sum _{0\leq m,n}\frac {(x)_n(a+1)_n}{n!(m+b+a+2)_n,}\frac {a!(m+b)!}{(m+b+a+1)!}\\ &=\sum _{0\leq m}\F21{x,a+1\\m+b+a+2}{1}\frac {a!(m+b)!}{(m+b+a+1)!}\\ &=\sum _{0\leq m}\frac {(m+b+a+1)!(m+b-x)!}{(m+b)!(m+b+a+1-x)!}\frac {a!(m+b)!}{(m+b+a+1)!}\\ &=\sum _{0\leq m}\frac {1}{m+b+1-x}\frac {a!(m+b+1-x)!}{(a+m+b+1-x)!}\\ &=\sum _{0\leq m}\frac {C(a,m+b+1-x)}{m+b+1-x}\\ \sum _{0< n}\frac {1}{n+a}\frac {(x)_n}{n!}C(b,n+a)&=\sum _{0\leq m}\frac {C(a,m+b+1-x)}{m+b+1-x}-\frac {C(b,a)}{a}\\ &=\sum _{0\leq m}\frac {C(a,m+b+1-x)}{m+b+1-x}-\sum _{0< m}\frac {C(a,m+b)}{m+b} \end {aligned} $$
なので,$x=1/2$として定理の主張を得ます.

$a$が整数のとき
$$ \begin {aligned} \sum _{a< n}\frac {1}{n}C(m,n)&=\frac {1}mC(m,a) \\ \sum _{a< n}\frac {(-1)^{n-a}}{n}\binom {-\frac {1}2}{n-a}C(m,n)&=\sum _{0< n}\frac {(-1)^{n-1}}{m+\frac {n}2}C\left (m+\frac {n}2,a\right ) \end{aligned} $$
となります。
$H(\bm k;\bm l|\bm h)$の輸送関係式は以下の通りです。

Hの輸送関係式

$$ \begin {aligned} &(\mathrm{i})&H(\bm k;\bm l_{\rightarrow}|\bm h)&=H(\bm k;\bm l|\bm h_{\uparrow})\\ &(\mathrm{ii})&H(\bm k;\bm l_\uparrow |\bm h)&=H(\bm k;\bm l|\bm h_\rightarrow)\\ &(\mathrm{iii})&H(\bm k;(1)|\bm h)&=-2^{\wt( \bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\bm l\in \overline{\bm h}}Z^C(\bm k|(\bm l,\overline 1)) \end {aligned} $$

証明(開く)


$(\mathrm{i})$の証明:
$$ \begin {aligned} H(\bm k;\bm l_\rightarrow|\bm h)&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s+1}\\ 0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s+1},m_t)}{n_{r+s+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}\\ 0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s},m_t)}{m_t}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\ &=H(\bm k;\bm l|\bm h_\uparrow) \end {aligned} $$
$(\mathrm{ii})$の証明:
$$ \begin {aligned} H(\bm k;\bm l_\uparrow|\bm h)&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}\\ 0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s},m_t)}{n_{r+s}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+s}\\ 0=m_0<\cdots < m_{t+1}}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{(\bm k,\bm l)}}\frac {C(n_{r+s},m_{t+1})}{m_{t+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\ &=H(\bm k;\bm l|\bm h_\rightarrow) \end {aligned} $$
$(\mathrm{iii})$の証明:
$$ \begin {aligned} H(\bm k;(1)|\bm h)&=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+1}\\ 0=m_0<\cdots < m_t}}\frac {C_{n_{r+1}-n_r}}{\bm n^{\bm k}}\frac {C(n_{r+1},m_t)}{n_{r+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_t\\ 0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,m_t+\frac {m}2\right )\frac {(-1)^{m-1}}{m_t+\frac {m}2}\frac {1}{\bm m^{\bm h}}\\ &=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_t\\ 0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {2m_t+m}2\right )\frac {(-1)^m}{2m_t+m}\prod _{0< j\leq t}\frac {2}{(2m_j)^{h_j}}\\ &=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_t\\ 0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_t+m}2\right )\frac {(-1)^m}{m_t+m}\prod _{0< j\leq t}\frac {1+(-1)^{m_j}}{m_j^{h_j}}\\ &=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_{t+1}}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_{t+1}}2\right )\frac {(-1)^{m_{t+1}-m_t}}{m_{t+1}}\prod _{0< j\leq t}\frac {1+(-1)^{m_j}}{m_j^{h_j}}\\ &=-2^{\wt(\bm h)-\dep (\bm h)+1}\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_{t+1}}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}C\left (n_r,\frac {m_{t+1}}2\right )\frac {(-1)^{m_{t+1}}}{m_{t+1}}\prod _{0< j\leq t}\frac {1+(-1)^{m_j}}{m_j^{h_j}}\\ &=-2^{\wt(\bm h)-\dep(\bm h)+1}\sum _{\bm l\in \overline{\bm h}}Z^C(\bm k|(\bm l,\overline 1)) \end {aligned} $$

これにより$H$の値は全て$Z^C$で書くことができるので、今度は$Z^C$の輸送を考えます。

$Z^C$の輸送関係式

$$ \begin {aligned} &(\mathrm{i})&Z^C(\bm k_\rightarrow|\bm l) &=2Z^C(\bm k|\bm l_\uparrow) \\ &(\mathrm{ii})&Z^C(\bm k_\uparrow|\bm l) &=Z^C\left (\bm k|\bm l_\rightarrow \right )+Z^C(\bm k|(\bm l_-,\overline 1)) \\ &(\mathrm{iii})&Z^C(\varnothing | \bm l) &=\zeta (\bm l) \end {aligned} $$

証明(開く)


$(\mathrm{i})$の証明:
$$ \begin {aligned} Z^C(\bm k_\rightarrow|\bm l) &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_{r+1}\\ 0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r+1},\frac {m_s}2\right )}{n_{r+1}}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_r,\frac {m_s}2\right )}{\frac {m_s}2}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\ &=2Z^C(\bm k|\bm l_\uparrow) \end {aligned} $$
$(\mathrm{ii})$の証明:
$$ \begin {aligned} Z^C(\bm k_\uparrow|\bm l) &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_r,\frac {m_s}2\right )}{n_r}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_s\\ 0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},m+\frac {m_{s}}2\right )}{m+\frac {m_s}2}\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_s\\ 0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},\frac {2m+m_{s}}2\right )}{2m+m_s}\frac {2}{\bm m^{\bm l}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_s\\ 0< m}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},\frac {m+m_{s}}2\right )}{m+m_s}\frac {1+(-1)^m}{\bm m^{\bm l}}\\ &=\sum _{\substack{0=n_0<\cdots < n_r\\ 0=m_0<\cdots < m_{s+1}}}\frac {1}{\bm n^{\bm k}}\frac {C\left (n_{r},\frac {m_{s+1}}2\right )}{m_{s+1}}\frac {1+(-1)^{m_{s+1}-m_s}}{\bm m^{\bm l}}\\ &=Z^C\left (\bm k|\bm l_\rightarrow \right )+Z^C(\bm k|(\bm l_-,\overline 1)) \end {aligned} $$
$(\mathrm{iii})$は明か.

計算例

$$ \begin {aligned} \sum _{0< m< n}\frac {\binom {2m}m}{2^{2m}mn^2} &=H(\varnothing ;(1,2)|\varnothing )\\ &=H(\varnothing;(1,1)|(1))\\ &=H(\varnothing ;(1)|(2))\\ &=-4\left (Z^C(\varnothing ;(2,\overline 1))+Z^C(\varnothing ;(\overline 2,\overline 1))\right )\\ &=-4\left (\zeta(2,\overline 1)+\zeta (\overline{2},\overline 1)\right )\\ &=-4\left (\frac {1}{12}\pi ^{2}\ln 2-\frac {1}4\zeta (3)-\frac {1}6\pi ^{2}\ln 2+\frac {5}8\zeta (3)\right )\\ &=\frac {1}3\pi ^{2}\ln 2-\frac {3}2\zeta (3) \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} \sum _{0< n}\frac {\binom {2n}n}{2^{2n}n^k} &=H(\varnothing ;(k)|\varnothing )\\ &=H(\varnothing ;(1)|(\{1\}^{k-1}))\\ &=-2\sum _{\bm k\in \overline{(\{1\}^{k-1})}}Z^C(\varnothing ;(\bm k,\overline 1))\\ &=-2\sum _{\bm k\in \overline{(\{1\}^{k-1})}}\zeta (\bm k,\overline 1) \end {aligned} $$

以上より$H(\bm k;\bm l|\bm h)$はAMZVの$\Q$-線形結合で書けることがわかりました。
特に$H(\bm k;\bm l)=H(\bm k;\bm l|\varnothing)$もAMZVに分解できます。
ところでこの記事を書き始めた当初の目標は、 iida_256氏の記事 にあるような
$$ \begin {aligned} \mathcal H(\bm k):=\sum _{0< n_1\leq \cdots \leq n_r}\frac {C_{n_r}}{\bm n^{\bm k}} \end {aligned} $$
という形をした級数を級数によってAMZVに分解する方法を与えることでした。$\mathcal H(\bm k)$の積分表示(これは山本積分表示すると分かりやすいです)において、積分変数の大小関係によって積分を分解すると(poset分解)、$H$の和に分解されますが、その分解を級数変形よって行うアルゴリズムを思い付くことができませんでした。
特殊な場合については分かりました:
$$ \begin {aligned} \sum _{1\leq n_1\leq \cdots \leq n_r}\frac {C_{n_r}}{n_1\cdots n_r} &=\sum _{\substack{1\leq n_2\leq \cdots \leq n_r\\ 0< m_1}}\left (\frac {1}{m_1}-\frac {1}{m_1+n_2}\right )\frac {C_{n_r}}{n_2\cdots n_r}\\ &=\sum _{\substack{1\leq n_2\leq \cdots \leq n_r\\ 0< m_1}}\frac {1}{m_1(m_1+n_2)}\frac {C_{n_r}}{n_3\cdots n_r}\\ &=\sum _{\substack{1\leq n_3\leq \cdots \leq n_r\\ 0< m_1,m_2}}\frac {1}{m_{1}}\left (\frac {1}{m_1+m_2}-\frac {1}{m_1+m_2+n_3}\right )\frac {C_{n_r}}{n_3\cdots n_r}\\ &=\sum _{\substack{1\leq n_3\leq \cdots \leq n_r\\ 0< m_1< m_2}}\frac {1}{m_{1}}\left (\frac {1}{m_2}-\frac {1}{m_2+n_3}\right )\frac {C_{n_r}}{n_3\cdots n_r}\\ &=\sum _{\substack{1\leq n_r\\ 0< m_1<\cdots < m_{r-1}}}\frac {1}{m_1\cdots m_{r-1}}\frac {C_{n_r}}{m_{r-1}+n_r}\\ &=\sum _{0< m_1<\cdots < m_r}\frac {C_{m_r-m_{r-1}}}{m_1\cdots m_r}\\ &=H((\{1\}^{r-1});(1)|\varnothing )\\ &=-2Z^C(\{1\}^{r-1}|(\overline 1))\\ &=-2^{r}Z^C(\varnothing |(\overline r))\\ &=-2^r\zeta (\overline r) \end {aligned} $$
積分表示を考えると$H$は二項係数が複数ついていてもAMZVに分解されることが分かります。この一般的な場合について示すために$Z^C$の定義を以下の通り拡張します。コネクターのつかない$H$も拡張します。

$\dep(\bm k^{(i)})=r_i\,(0\leq i\leq N)$なるインデックス$\bm k^{(0)},\ldots,\bm k^{(N)}$(ただし$\bm k^{(1)},\ldots,\bm k^{(N)}\neq \varnothing$)とdepth sのAMZVのインデックス$\bm l$に対して
$$ \begin {aligned} Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\bm l) &:=\sum _{\substack{0=n^{(0)}_0< n^{(0)}_1<\cdots < n^{(0)}_{r_0}< n^{(1)}_1<\cdots < n^{(N)}_{r_N}\\ 0=m_0<\cdots < m_s}}\frac {1}{(\bm n^{(0)})^{\bm k^{(0)}}}\left (\prod _{i=1}^N\frac {C_{n^{(i)}_1-n^{(i-1)}_{r_{i-1}}}}{(\bm n^{(i)})^{\bm k^{(i)}}}\right )C\left(n^{(N)}_{r_N},\frac{m_s}2\right)\frac {1}{\bm m^{\bm l}}\\ H(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)})&:=Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\varnothing ) \end {aligned} $$

輸送関係式は以下のようになります。

$Z^C$の輸送関係式

$$ \begin{aligned} &(\mathrm{i})&Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}_\uparrow |\bm l) &=Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\bm l_\rightarrow)+Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|(\bm l_-,\overline 1)) \\ &(\mathrm{ii})&Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}_\rightarrow|\bm l) &=2Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|\bm l_\uparrow )\quad (N=0 または \bm k \neq \varnothing) \\ &(\mathrm{iii})&Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)};(1)|\bm l)&=-2 Z^C(\bm k^{(0)};\ldots;\bm k^{(N)}|(\bm l_-,\overline 1)) \end{aligned} $$

証明(開く)


$(\mathrm{i}),(\mathrm{ii})$は拡張前の$Z^C$の輸送と同様.
$(\mathrm{iii})$の証明:
$$ \begin {aligned} \sum _{a< n}\frac {C_{n-a}}{n}C\left (n,\frac {b}2\right ) &=\sum _{0< m}C\left (a,\frac {m+b}2\right )\frac {(-1)^{m-1}}{\frac {m+b}2}\\ &=-2\sum _{b< m}C\left (a,\frac {m}2\right )\frac {(-1)^{m-b}}{m} \end {aligned} $$
より従う.

$$ \begin {aligned} \sum _{0< m< n}\frac {C_mC_{n-m}}{mn}&=Z^C(\varnothing ;(1);(1)|\varnothing )\\ &=-2Z^C(\varnothing ;(1)|(\overline 1))\\ &=4Z^C(\varnothing |(1,\overline 1))\\ &=4\zeta (1,\overline 1)\\ &=2\ln ^{2}2 \end {aligned} $$

実はこの拡張した$Z^C$を用いると$H$の連結和を考える必要がなくなっていますね。そして境界条件$Z^C(\varnothing | \bm k)=\zeta(\bm k)$より拡張された$Z^C$$H$の値がAMZVに分解できることが示されました。
以上です。

参考文献

投稿日:20221116

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