文献あり

u-v形式のモジュラー方程式

はじめに

　この記事では前回の記事の最後に紹介した $u - v$ 形式のモジュラー方程式というものについて解説していきます。大まかな流れは前回の記事のアナロジーとなっているので、よろしく目を通しておくといいと思います。

$u - v$ 形式のモジュラー方程式

　前回の記事で見たようにモジュラー方程式 $W_{p} (x, λ)$ の係数は少なくとも $16^{p}$ 程度の速さで大きくなっていくので、極めて煩雑な式になってしまいます。そこでより簡単な方程式に帰着させることを考えます。

u - v

形式のモジュラー方程式

　 $τ$ についての関数
$u (τ) = λ (τ)^{\frac{1}{8}} = \sqrt{2} q^{\frac{1}{8}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + q^{2 n}}{1 + q^{2 n - 1}} (q = e^{π i τ})$
と奇素数 $p$ に対して方程式
$Ω_{p} (v, u) = (v - (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} u (p τ)) \prod_{j = 0}^{p - 1} (x - u (\frac{τ + 2 j}{p})) = 0$
を $u - v$ 形式のモジュラー方程式という。

　以下、簡単のため
$A_{p}^{'} = (\begin{matrix} p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), A_{j}^{'} = (\begin{matrix} 1 & 16 j \\ 0 & p \end{matrix})$
$u_{p} = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} u (A_{p}^{'} τ), u_{j} = u (A_{j}^{'} τ)$
とおくこととします。
　 $u$ は $Λ$ -モジュラー関数ではありませんが、
$\begin{array}{rcl} u (τ + 2) & = & ζ_{8} u (τ) (ζ_{8} = e^{\frac{2 π i}{8}}) \\ u (\frac{τ}{2 τ + 1}) & = & u (τ) \end{array}$
が成り立つので以下のような保型性を持ちます。

　写像 $ϕ : Λ \to Z / 8 Z$ を
$ϕ ((\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})) \equiv \frac{b d}{2} + \frac{d^{2} - 1}{2} (\mod 8)$
によって定めると、任意の $γ \in Λ$ に対し
$u (γ τ) = ζ_{8}^{ϕ (γ)} u (τ)$
が成り立つ。

$γ = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}), S = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}), T = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix})$
とおくと前々回の記事の命題1
$Λ = ⟨ S, T ⟩$
と
$u (S τ) = ζ_{8} u (τ), u (T τ) = u (τ)$
から
$ϕ (\pm I) = 0, ϕ (S γ) = ϕ (γ) + 1, ϕ (T γ) = ϕ (γ)$
を示せばよい。
　そのことは
$\begin{array}{rcl} ϕ (\pm I) & \equiv & 0 (\mod 8) \\ ϕ (S γ) & \equiv & \frac{(b + 2 d) d}{2} + \frac{d^{2} - 1}{2} \\ = & ϕ (γ) + d^{2} \\ \equiv & ϕ (γ) + 1 (\mod 8) \\ ϕ (T γ) & \equiv & \frac{b (d + 2 b)}{2} + \frac{(d + 2 b)^{2} - 1}{2} \\ = & ϕ (γ) + b^{2} + 2 b d + 2 b^{2} \\ \equiv & ϕ (γ) + b (b + 2) \\ \equiv & ϕ (γ) (\mod 8) \end{array}$
と確かめられる。

$Ω_{p} (v, u)$ の性質

　 $Ω_{p} (v, u)$ は $u, v$ についての整数係数多項式となる。
　また $Ω_{p} (v, u)$ は $C (u)$ における $u_{j}$ の最小多項式となる。

　整数係数モニック多項式 $W_{p} (v^{8}, u^{8})$ は $v = u_{j}$ を根に持つので $u_{p}$ の $Q (u)$ 上の最小多項式 $f (v, u)$ は整数係数モニックであることがわかる。また
$[Q (u_{p}) : Q (u)] = \frac{[Q (u_{p}) : Q (λ_{p})] [Q (λ_{p}) : Q (λ)]}{[Q (u) : Q (λ)]} = \frac{8 (p + 1)}{8} = p + 1$
なので $f$ の $v$ についての次数は $p + 1$ であることもわかる。
　あとは $j = 0, 1, \dots, p - 1$ に対してある $ϕ (γ) = 0$ なる $γ \in Λ$ があって $τ \mapsto γ τ$ によって $u_{p} \mapsto u_{j}$ が成り立つことを示せばよい。
　いま任意の奇数 $n$ に対して
$n^{4} \equiv 1 (\mod 16)$
$n^{8} \equiv 1 (\mod 32)$
が成り立つことに注意すると
$A_{p}^{'} (\begin{matrix} p^{6} & \frac{p^{8} - 1}{2} \\ 2 & p^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p^{7} & \frac{p^{8} - 1}{2} \\ 2 & p \end{matrix}) A_{0}^{'}$
が成り立つのでこの変換によって
$u (A_{p}^{'} τ) \mapsto ζ_{8}^{\frac{p^{2} - 1}{2}} u_{0} = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} u_{0}$
つまり $u_{p} \mapsto u_{0}$ と移り変わる。
　よって
$A_{0}^{'} (\begin{matrix} 1 & 16 j \\ 0 & 1 \end{matrix}) = A_{j}^{'}$
と合わせて主張を得る。

　 $W_{p} (v^{8}, u^{8}) = 0$ の解は $v = ζ_{8}^{i} u_{j}$ で尽くされるので
$W (v^{8}, u^{8}) = \prod_{j = 1}^{8} Ω_{p} (v, ζ_{8}^{j} u)$
が成り立ちます。このことから $Ω_{p}$ の係数は少なくとも $(16^{p})^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{p}{2}}$ 程度の速さで大きくなることが推測できます(また $Ω_{p} (v, u)$ は $u$ について $p + 1$ 次であることもわかります)。
　さらに $Ω_{p}$ は次のような性質を持つことから $W_{p}$ よりよっぽど簡単な形の多項式であることがわかります。

　 $Ω_{p} (v, u)$ の $v^{p + 1 - k}$ の係数は $u^{\overset{―}{p k}} F (u^{8})$ の形で表せる。
　ただし $\overset{―}{n}$ は $\overset{―}{n} \equiv n (\mod 8)$ なる自然数であって最小のものとした( $n = 0$ のときは $\overset{―}{n} = 0$ とする)。

$u = \sqrt{2} q \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 + q^{16 n}}{1 + q^{8 (2 n - 1)}} = q f (q^{8}) (q = e^{π i τ / 8})$
が成り立つことおよび $p^{2} = 8 a + 1$ とおいたとき不定方程式
$8 n + k = p m$
の整数解は $(n, m) = (p l + a k, 8 l + p k)$ で尽くされることに注意する。
　まず $x_{j} = u_{j}$ についての $k$ 次基本対称式を $e_{k}$ とおいたとき
$e_{k} = q^{\overset{―}{p k}} f_{k} (q^{8})$
が成り立つことを数学的帰納法により示す。 $k = 0$ のときは $e_{0} = 1$ より明らか。
　 $k \geq 1$ のとき $u^{k}$ の $q$ -展開を
$u^{k} = q^{k} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n, k} q^{8 n}$
とし、 $u_{j}$ についての $k$ 乗和を $p_{k}$ とおくと
$\sum_{j = 0}^{p - 1} u_{j}^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{j = 0}^{p - 1} ζ_{p}^{(8 n + k) j}) c_{n, k} q^{(8 n + k) / p} = \sum_{m = 8 l + p k > 0} p c_{p l + a k, k} q^{m} = q^{\overset{―}{p k}} h_{k} (q^{8})$
つまり
$p_{k} = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8} k} q^{p k} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n, k} q^{8 p n} + q^{\overset{―}{p k}} h_{k} (q^{8}) = q^{\overset{―}{p k}} g_{k} (q^{8})$
が成り立つことに注意するとニュートンの恒等式( 前回の記事の補題9)より
$e_{k} = \frac{1}{k} \sum_{j = 1}^{k} (- 1)^{j - 1} e_{k - j} p_{j} = \frac{1}{k} \sum_{j = 1}^{k} (- 1)^{j - 1} q^{\overset{―}{p (k - j)} + \overset{―}{p j}} f_{k - j} (q^{8}) g_{j} (q^{8}) = q^{\overset{―}{p k}} f_{k} (q^{8})$
が成り立つことがわかる。
　いま $Ω_{p} (v, u)$ における $v^{p + 1 - k}$ の係数 $(- 1)^{k} e_{k}$ を $u$ の多項式で表したとき、その $q$ 展開を比較することで $u^{\overset{―}{p k}} F (u^{8})$ の形でなければならないことがわかる。

命題3

　 $Ω_{p} (v, u) = Ω_{p} (- v, - u)$ が成り立つ。

　 $(u, v) \mapsto (- u, - v)$ において
$v^{p + 1 - k} u^{\overset{―}{p k}} f (u^{8}) \mapsto (- 1)^{p + 1 - k + p k} v^{p + 1 - k} u^{\overset{―}{p k}} f (u^{8}) = v^{p + 1 - k} u^{\overset{―}{p k}} f (u^{8})$
となることから命題2と合わせてわかる。

　 $\pm 1 = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}}$ とおくと
$Ω_{p} (v, 1) = (v \mp 1)^{p} (v - 1)$
$Ω_{p} (v, u) = \pm Ω_{p} (u, \pm v) = \pm v^{p + 1} u^{p + 1} Ω (\frac{1}{v}, \frac{1}{u})$
が成り立つ。

　 $τ = 0$ のとき $u (0) = 1$ から $u_{0} = 1, u_{p} = \pm 1$ 、および $j \neq 0, p$ に対し
$u_{j} = u (\frac{16 j}{p}) = u ((\begin{matrix} * & 16 j \\ p \end{matrix}) 0) = ζ_{8}^{\frac{p^{2} - 1}{2}} u (0) = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} = \pm 1$
がわかるので
$Ω_{p} (v, 1) = (v \mp 1)^{p} (v - 1)$
を得る。
　後半部分は
$\prod_{j = 0}^{p} u (A_{j}^{'} τ) = u (τ)^{p + 1}$
(cf. 前回の記事の補題1)より $Ω_{p} (v, u)$ における $u^{p + 1}$ の係数は $\pm 1$ であることに注意して前回の記事の補題4と同様に示す。
$Ω_{p} (u_{0}, u) = Ω (u (τ / p), u (τ)) = 0$
から
$Ω_{p} (u (τ), u (p τ)) = Ω_{p} (u, \pm u_{p}) = 0$
が成り立つので、 $v^{p + 1}$ の係数に注意することで
$Ω_{p} (v, u) = \pm Ω_{p} (u, \pm v)$
がわかる。
　また $S = (\begin{matrix} 1 0 \\ - 1 1 \end{matrix})$ に対して $u (S τ) = 1 / u (τ)$ が成り立つことに注意すると
$S A_{0}^{'} S = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - (p + 1) & 1 \end{matrix}) A_{0}^{'}$
から
$Ω_{p} (\frac{1}{u_{0}}, \frac{1}{u}) = 0$
が成り立つので、 $v^{p + 1}$ の係数に注意することで
$Ω_{p} (v, u) = \pm v^{p + 1} u^{p + 1} Ω (\frac{1}{v}, \frac{1}{u})$
がわかる。

$Ω_{p} (v, u)$ の具体例

　 $u - v$ 形式のモジュラー方程式は $u$ の $q$ -展開を比較することでも求められますが、 $u - v$ 形式ならではの比較的簡単な計算方法があります。
　命題3から $Ω_{p} (v, u)$ の $v^{p + 1 - k}$ の係数 $F_{k} (u)$ は
$F_{k} (u) = u^{\overset{―}{p k}} (a + b u^{8} + c u^{16} + \dots)$
という形をしていたのでした。そしてその次数は $k \neq p + 1$ において高々 $p$ 次なので、 $F_{k} (u)$ は高々 $n = ⌊ \frac{p}{8} ⌋ + 1$ 個の項からなることがわかります。例えば $p = 37, k = 5$ のとき $n = 5, p k \equiv 1 (\mod 8)$ なので
$F_{5} (u) = a u + b u^{9} + c u^{17} + d u^{25} + e u^{33}$
と書けます。
　よって $n$ 個の適当な $τ \in Λ ∖ H$ に対して $u$ および $F_{k} (u)$ の近似値を計算し、 $a, b, c, \dots$ についての線形方程式を解くことでそのだいたいの値がわかります。 $a, b, c, \dots$ は整数だったのでその解を整数に均すことで厳密解が得られることになります。
　 $d = 1$ のとき、つまり $p = 3, 5, 7$ のときは $τ = 0$ の値(命題4)から即座にモジュラー方程式が得られます。
　それでは $3 \leq p \leq 29$ における $u - v$ 形式のモジュラー方程式を見ていきましょう。

3次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrr} v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{4} & - 1 \\ u^{3} & 2 \\ u^{2} \\ u^{1} & - 2 \\ 1 & 1 \end{array}$

5次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrr} v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{6} & - 1 \\ u^{5} & 4 \\ u^{4} & - 5 \\ u^{3} \\ u^{2} & 5 \\ u^{1} & - 4 \\ 1 & 1 \end{array}$

7次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrr} v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{8} & 0 & 1 \\ u^{7} & - 8 \\ u^{6} & 28 \\ u^{5} & - 56 \\ u^{4} & 70 \\ u^{3} & - 56 \\ u^{2} & 28 \\ u^{1} & - 8 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}$

11次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrrrrrr} v^{12} & v^{11} & v^{10} & v^{9} & v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{12} & 0 & - 1 \\ u^{11} & 32 & - 22 \\ u^{10} & - 44 \\ u^{9} & 88 & 22 \\ u^{8} & 0 & - 165 \\ u^{7} & 132 \\ u^{6} & 44 & - 44 \\ u^{5} & - 132 \\ u^{4} & 165 & 0 \\ u^{3} & - 22 & - 88 \\ u^{2} & 44 \\ u^{1} & 22 & - 32 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}$

13次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrrrrrrrr} v^{14} & v^{13} & v^{12} & v^{11} & v^{10} & v^{9} & v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{14} & 0 & - 1 \\ u^{13} & 64 & - 52 \\ u^{12} & 0 & - 65 \\ u^{11} & 208 \\ u^{10} & 0 & - 429 \\ u^{9} & 520 & 52 \\ u^{8} & 0 & - 429 \\ u^{7} & 208 & - 208 \\ u^{6} & 429 & 0 \\ u^{5} & - 52 & - 520 \\ u^{4} & 429 & 0 \\ u^{3} & - 208 \\ u^{2} & 65 & 0 \\ u^{1} & 52 & - 64 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}$

17次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrrrrrrrrrrrr} v^{18} & v^{17} & v^{16} & v^{15} & v^{14} & v^{13} & v^{12} & v^{11} & v^{10} & v^{9} & v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{18} & 0 & 0 & 1 \\ u^{17} & - 256 & 272 & - 34 \\ u^{16} & 0 & - 272 & 425 \\ u^{15} & 1632 & - 2448 \\ u^{14} & - 4080 & 7140 \\ u^{13} & 4896 & - 13464 \\ u^{12} & - 4080 & 22644 \\ u^{11} & 1632 & - 33456 \\ u^{10} & - 272 & 44030 & 0 \\ u^{9} & 272 & - 49164 & 272 \\ u^{8} & 0 & 44030 & - 272 \\ u^{7} & - 33456 & 1632 \\ u^{6} & 22644 & - 4080 \\ u^{5} & - 13464 & 4896 \\ u^{4} & 7140 & - 4080 \\ u^{3} & - 2448 & 1632 \\ u^{2} & 425 & - 272 & 0 \\ u^{1} & - 34 & 272 & - 256 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}$

19次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} v^{20} & v^{19} & v^{18} & v^{17} & v^{16} & v^{15} & v^{14} & v^{13} & v^{12} & v^{11} & v^{10} & v^{9} & v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{20} & 0 & 0 & - 1 \\ u^{19} & 512 & - 608 & 114 \\ u^{18} & 2432 & - 2584 \\ u^{17} & - 2432 & 3344 & - 114 \\ u^{16} & 0 & 3952 & - 6859 \\ u^{15} & 5472 & 2280 \\ u^{14} & - 2432 & - 10488 & - 2584 \\ u^{13} & 25536 & - 2280 \\ u^{12} & - 3952 & - 21242 & 0 \\ u^{11} & - 608 & 20748 & - 3344 \\ u^{10} & 10488 & - 10488 \\ u^{9} & 3344 & - 20748 & 608 \\ u^{8} & 0 & 21242 & 3952 \\ u^{7} & 2280 & - 25536 \\ u^{6} & 2584 & 10488 & 2432 \\ u^{5} & - 2280 & - 5472 \\ u^{4} & 6859 & - 3952 & 0 \\ u^{3} & 114 & - 3344 & 2432 \\ u^{2} & 2584 & - 2432 \\ u^{1} & - 114 & 608 & - 512 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}$

23次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} v^{24} & v^{23} & v^{22} & v^{21} & v^{20} & v^{19} & v^{18} & v^{17} & v^{16} & v^{15} & v^{14} & v^{13} & v^{12} & v^{11} & v^{10} & v^{9} & v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{24} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ u^{23} & - 2048 & 2944 & - 920 \\ u^{22} & 0 & - 13248 & 13524 \\ u^{21} & - 23552 & 75072 & - 53544 \\ u^{20} & 52992 & - 124752 & 82386 \\ u^{19} & - 138368 & 149408 & - 53544 \\ u^{18} & 334144 & - 213072 & 13524 \\ u^{17} & - 712448 & 367264 & - 920 \\ u^{16} & 0 & 1159200 & - 423729 & 0 \\ u^{15} & 2944 & - 1677712 & 367264 \\ u^{14} & - 13248 & 2187576 & - 213072 \\ u^{13} & 75072 & - 2720624 & 149408 \\ u^{12} & - 124752 & 2953660 & - 124752 \\ u^{11} & 149408 & - 2720624 & 75072 \\ u^{10} & - 213072 & 2187576 & - 13248 \\ u^{9} & 367264 & - 1677712 & 2944 \\ u^{8} & 0 & - 423729 & 1159200 & 0 \\ u^{7} & - 920 & 367264 & - 712448 \\ u^{6} & 13524 & - 213072 & 334144 \\ u^{5} & - 53544 & 149408 & - 138368 \\ u^{4} & 82386 & - 124752 & 52992 \\ u^{3} & - 53544 & 75072 & - 23552 \\ u^{2} & 13524 & - 13248 & 0 \\ u^{1} & - 920 & 2944 & - 2048 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}$

29次モジュラー方程式

$\begin{array}{crrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} v^{30} & v^{29} & v^{28} & v^{27} & v^{26} & v^{25} & v^{24} & v^{23} & v^{22} & v^{21} & v^{20} & v^{19} & v^{18} & v^{17} & v^{16} & v^{15} & v^{14} & v^{13} & v^{12} & v^{11} & v^{10} & v^{9} & v^{8} & v^{7} & v^{6} & v^{5} & v^{4} & v^{3} & v^{2} & v^{1} & 1 \\ u^{30} & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ u^{29} & 16384 & - 29696 & 14848 & - 1508 \\ u^{28} & - 118784 & 386048 & - 266336 & - 1305 \\ u^{27} & 1187840 & - 1896832 & 712240 \\ u^{26} & 118784 & - 1432832 & 1587808 & - 293857 \\ u^{25} & 1811456 & - 586496 & - 1131464 & 1508 \\ u^{24} & 0 & - 2442496 & 3262848 & - 1176617 \\ u^{23} & 1187840 & - 1132160 & 1742320 & - 712240 \\ u^{22} & 2442496 & - 1659264 & - 3514597 & 0 \\ u^{21} & - 29696 & - 1083904 & 5704996 & 1131464 \\ u^{20} & 1432832 & 257984 & - 11439485 & - 266336 \\ u^{19} & - 1132160 & 17441760 & - 1742320 \\ u^{18} & - 386048 & - 257984 & - 18242421 & 1587808 \\ u^{17} & - 586496 & 22274320 & - 5704996 & - 14848 \\ u^{16} & 0 & 1659264 & - 14616957 & 3262848 \\ u^{15} & - 1896832 & 17441760 & - 17441760 & 1896832 \\ u^{14} & - 3262848 & 14616957 & - 1659264 & 0 \\ u^{13} & 14848 & 5704996 & - 22274320 & 586496 \\ u^{12} & - 1587808 & 18242421 & 257984 & 386048 \\ u^{11} & 1742320 & - 17441760 & 1132160 \\ u^{10} & 266336 & 11439485 & - 257984 & - 1432832 \\ u^{9} & - 1131464 & - 5704996 & 1083904 & 29696 \\ u^{8} & 0 & 3514597 & 1659264 & - 2442496 \\ u^{7} & 712240 & - 1742320 & 1132160 & - 1187840 \\ u^{6} & 1176617 & - 3262848 & 2442496 & 0 \\ u^{5} & - 1508 & 1131464 & 586496 & - 1811456 \\ u^{4} & 293857 & - 1587808 & 1432832 & - 118784 \\ u^{3} & - 712240 & 1896832 & - 1187840 \\ u^{2} & 1305 & 266336 & - 386048 & 118784 \\ u^{1} & 1508 & - 14848 & 29696 & - 16384 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}$

おわりに

　はい。
　というわけで $u - v$ 形式にすることでモジュラー方程式をだいぶ簡単にすることができたわけですが、実は、場合によってはさらに簡単にすることができます。
　例えば $3$ 次モジュラー方程式
$Ω_{3} (v, u) = v^{4} - u^{4} + 2 u v (u^{2} v^{2} - 1) = 0$
は
$\begin{array}{rcl} 4 u^{2} v^{2} (u^{2} v^{2} - 1)^{2} & = & (u^{4} - v^{4})^{2} \\ 4 u^{6} v^{6} - 6 u^{4} v^{4} + 4 u^{2} v^{2} & = & u^{8} + v^{8} \\ (u^{2} v^{2} - 1)^{4} & = & (1 - u^{8}) (1 - v^{8}) \end{array}$
と変形できます。ここで $k = u^{4}, k^{'} = \sqrt{1 - k^{2}}, l = v^{4}, l^{'} = \sqrt{1 - l^{2}}$ とおくと
$\sqrt{k l} + \sqrt{k^{'} l^{'}} = 1$
という方程式に帰着させることができます。
　また $7$ 次モジュラー方程式も同様に
$Ω_{7} (v, u) = v^{8} - 8 u^{7} v^{7} + \dots - 8 u v + u^{8} = (u v - 1)^{8} - (1 - u^{8}) (1 - v^{8}) = 0$
から
$\sqrt[4]{k l} + \sqrt[4]{k^{'} l^{'}} = 1$
という方程式に帰着できます。
　これについても何回か後の記事で解説しようと思います。
　とりあえず今回はこんなところで。
　では。

参考文献

[1]

J. M. Borwein, P. B. Borwein, Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley-Interscience, 1987, pp. 126-136

投稿日：2022年12月12日

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投稿者

子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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u-v形式のモジュラー方程式

はじめに
$u-v$形式のモジュラー方程式
$\O_p(v,u)$の性質
$\O_p(v,u)$の具体例
おわりに
参考文献

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はじめに