u-v形式のモジュラー方程式

モジュラー方程式

はじめに

　この記事では前回の記事の最後に紹介した$u-v$形式のモジュラー方程式というものについて解説していきます。大まかな流れは前回の記事のアナロジーとなっているので、よろしく目を通しておくといいと思います。

$u-v$形式のモジュラー方程式

　前回の記事で見たようにモジュラー方程式$W_p(x,\la)$の係数は少なくとも$16^p$程度の速さで大きくなっていくので、極めて煩雑な式になってしまいます。そこでより簡単な方程式に帰着させることを考えます。

$u-v$形式のモジュラー方程式

　$\tau$についての関数
$$u(\tau)=\la(\tau)^{\frac18} =\sqrt2q^{\frac18}\prod^\infty_{n=1}\frac{1+q^{2n}}{1+q^{2n-1}}\quad(q=e^{\pi i\tau})$$
と奇素数$p$に対して方程式
$$\O_p(v,u)=(v-(-1)^{\frac{p^2-1}8}u(p\tau))\prod^{p-1}_{j=0}(x-u\l(\frac{\tau+2j}p\r))=0$$
を$u-v$形式のモジュラー方程式という。

　以下、簡単のため
$$A'_p=\M p001,\;A'_j=\M1{16j}0{p}$$
$$u_p=(-1)^{\frac{p^2-1}8}u(A'_p\tau),\;u_j=u(A'_j\tau)$$
とおくこととします。
　$u$は$\L$-モジュラー関数ではありませんが、
\begin{eqnarray} u(\tau+2)&=&\z_8u(\tau)\quad(\z_8=e^{\frac{2\pi i}8}) \\u\l(\frac\tau{2\tau+1}\r)&=&u(\tau) \end{eqnarray}
が成り立つので以下のような保型性を持ちます。

　写像$\phi:\L\to\ZZ8$を
$$\phi(\M abcd)\equiv\frac{bd}2+\frac{d^2-1}2\pmod8$$
によって定めると、任意の$\g\in\L$に対し
$$u(\g\tau)=\z_8^{\phi(\g)}u(\tau)$$
が成り立つ。

$\g=\M abcd,\;S=\M1201,\;T=\M1021$
とおくと前々回の記事の命題1
$\L=\langle S,T\rangle$
と
$u(S\tau)=\z_8u(\tau),\;u(T\tau)=u(\tau)$
から
$\phi(\pm I)=0,\;\phi(S\g)=\phi(\g)+1,\;\phi(T\g)=\phi(\g)$
を示せばよい。
　そのことは
\begin{eqnarray} \phi(\pm I)&\equiv&0\pmod8 \\\phi(S\g)&\equiv&\frac{(b+2d)d}2+\frac{d^2-1}2 \\&=&\phi(\g)+d^2 \\&\equiv&\phi(\g)+1\pmod8 \\\phi(T\g)&\equiv&\frac{b(d+2b)}2+\frac{(d+2b)^2-1}2 \\&=&\phi(\g)+b^2+2bd+2b^2 \\&\equiv&\phi(\g)+b(b+2) \\&\equiv&\phi(\g)\pmod 8 \end{eqnarray}
と確かめられる。

$\O_p(v,u)$の性質

　$\O_p(v,u)$は$u,v$についての整数係数多項式となる。
　また$\O_p(v,u)$は$\C(u)$における$u_j$の最小多項式となる。

　整数係数モニック多項式$W_p(v^8,u^8)$は$v=u_j$を根に持つので$u_p$の$\Q(u)$上の最小多項式$f(v,u)$は整数係数モニックであることがわかる。また
$$[\Q(u_p):\Q(u)] =\frac{[\Q(u_p):\Q(\la_p)][\Q(\la_p):\Q(\la)]}{[\Q(u):\Q(\la)]}=\frac{8(p+1)}8=p+1$$
なので$f$の$v$についての次数は$p+1$であることもわかる。
　あとは$j=0,1,\ldots,p-1$に対してある$\phi(\g)=0$なる$\g\in\L$があって$\tau\mapsto\g\tau$によって$u_p\mapsto u_j$が成り立つことを示せばよい。
　いま任意の奇数$n$に対して
$n^4\equiv1\pmod{16}$
$n^8\equiv1\pmod{32}$
が成り立つことに注意すると
$$A'_p\M{p^6}{\frac{p^8-1}2}2{p^2}=\M{p^7}{\frac{p^8-1}2}2{p}A'_0$$
が成り立つのでこの変換によって
$u(A'_p\tau)\mapsto\z_8^{\frac{p^2-1}2}u_0=(-1)^{\frac{p^2-1}8}u_0$
つまり$u_p\mapsto u_0$と移り変わる。
　よって
$$A'_0\M1{16j}01=A'_j$$
と合わせて主張を得る。

　$W_p(v^8,u^8)=0$の解は$v=\z_8^iu_j$で尽くされるので
$$W(v^8,u^8)=\prod^8_{j=1}\O_p(v,\z_8^ju)$$
が成り立ちます。このことから$\O_p$の係数は少なくとも$(16^p)^{\frac18}=2^{\frac p2}$程度の速さで大きくなることが推測できます(また$\O_p(v,u)$は$u$について$p+1$次であることもわかります)。
　さらに$\O_p$は次のような性質を持つことから$W_p$よりよっぽど簡単な形の多項式であることがわかります。

　$\O_p(v,u)$の$v^{p+1-k}$の係数は$u^{\ol{pk}}F(u^8)$の形で表せる。
　ただし$\ol n$は$\ol n\equiv n\pmod 8$なる自然数であって最小のものとした($n=0$のときは$\ol n=0$とする)。

$$u=\sqrt2q\prod^\infty_{n=1}\frac{1+q^{16n}}{1+q^{8(2n-1)}}=qf(q^8)\quad(q=e^{\pi i\tau/8})$$
が成り立つことおよび$p^2=8a+1$とおいたとき不定方程式
$$8n+k=pm$$
の整数解は$(n,m)=(pl+ak,8l+pk)$で尽くされることに注意する。
　まず$x_j=u_j$についての$k$次基本対称式を$e_k$とおいたとき
$$e_k=q^{\ol{pk}}f_k(q^8)$$
が成り立つことを数学的帰納法により示す。$k=0$のときは$e_0=1$より明らか。
　$k\geq1$のとき$u^k$の$q$-展開を
$$u^k=q^k\sum^\infty_{n=0}c_{n,k}q^{8n}$$
とし、$u_j$についての$k$乗和を$p_k$とおくと
$$\sum^{p-1}_{j=0}u_j^k =\sum^\infty_{n=0}\l(\sum^{p-1}_{j=0}\z_p^{(8n+k)j}\r)c_{n,k}q^{(8n+k)/p} =\sum_{m=8l+pk>0}pc_{pl+ak,k}q^m =q^{\ol{pk}}h_k(q^8)$$
つまり
$$p_k=(-1)^{\frac{p^2-1}8k}q^{pk}\sum^\infty_{n=0}c_{n,k}q^{8pn}+q^{\ol{pk}}h_k(q^8)=q^{\ol{pk}}g_k(q^8)$$
が成り立つことに注意するとニュートンの恒等式( 前回の記事の補題9)より
$$e_k=\frac1k\sum^k_{j=1}(-1)^{j-1}e_{k-j}p_j =\frac1k\sum^k_{j=1}(-1)^{j-1}q^{\ol{p(k-j)}+\ol{pj}}f_{k-j}(q^8)g_j(q^8) =q^{\ol{pk}}f_k(q^8)$$
が成り立つことがわかる。
　いま$\O_p(v,u)$における$v^{p+1-k}$の係数$(-1)^ke_k$を$u$の多項式で表したとき、その$q$展開を比較することで$u^{\ol{pk}}F(u^8)$の形でなければならないことがわかる。

命題3

　$\O_p(v,u)=\O_p(-v,-u)$が成り立つ。

　$(u,v)\mapsto(-u,-v)$において
$v^{p+1-k}u^{\ol{pk}}f(u^8)\mapsto(-1)^{p+1-k+pk}v^{p+1-k}u^{\ol{pk}}f(u^8)=v^{p+1-k}u^{\ol{pk}}f(u^8)$
となることから命題2と合わせてわかる。

　$\pm1=(-1)^{\frac{p^2-1}8}$とおくと
$\O_p(v,1)=(v\mp 1)^p(v-1)$
$\dis\O_p(v,u)=\pm\O_p(u,\pm v)=\pm v^{p+1}u^{p+1}\O\l(\frac1v,\frac1u\r)$
が成り立つ。

　$\tau=0$のとき$u(0)=1$から$u_0=1,u_p=\pm1$、および$j\neq0,p$に対し
$$u_j=u\l(\frac{16j}p\r)=u(\M *{16j}*p0)=\z_8^{\frac{p^2-1}2}u(0)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}=\pm1$$
がわかるので
$\O_p(v,1)=(v\mp1)^p(v-1)$
を得る。
　後半部分は
$$\prod^p_{j=0}u(A'_j\tau)=u(\tau)^{p+1}$$
(cf. 前回の記事の補題1)より$\O_p(v,u)$における$u^{p+1}$の係数は$\pm1$であることに注意して前回の記事の補題4と同様に示す。
$\O_p(u_0,u)=\O(u(\tau/p),u(\tau))=0$
から
$\O_p(u(\tau),u(p\tau))=\O_p(u,\pm u_p)=0$
が成り立つので、$v^{p+1}$の係数に注意することで
$\O_p(v,u)=\pm\O_p(u,\pm v)$
がわかる。
　また$S=(\substack{\phantom{-}1\;0\\-1\;1})$に対して$u(S\tau)=1/u(\tau)$が成り立つことに注意すると
$SA'_0S=\M10{-(p+1)}1A'_0$
から
$$\O_p\l(\frac1{u_0},\frac1u\r)=0$$
が成り立つので、$v^{p+1}$の係数に注意することで
$$\O_p(v,u)=\pm v^{p+1}u^{p+1}\O\l(\frac1v,\frac1u\r)$$
がわかる。

$\O_p(v,u)$の具体例

　$u-v$形式のモジュラー方程式は$u$の$q$-展開を比較することでも求められますが、$u-v$形式ならではの比較的簡単な計算方法があります。
　命題3から$\O_p(v,u)$の$v^{p+1-k}$の係数$F_k(u)$は
$F_k(u)=u^{\ol{pk}}(a+bu^8+cu^{16}+\cdots)$
という形をしていたのでした。そしてその次数は$k\neq p+1$において高々$p$次なので、$F_k(u)$は高々$n=\lfloor\frac p8\rfloor+1$個の項からなることがわかります。例えば$p=37,k=5$のとき$n=5,pk\equiv1\pmod8$なので
$F_5(u)=au+bu^9+cu^{17}+du^{25}+eu^{33}$
と書けます。
　よって$n$個の適当な$\tau\in\L\backslash\mathbb{H}$に対して$u$および$F_k(u)$の近似値を計算し、$a,b,c,\ldots$についての線形方程式を解くことでそのだいたいの値がわかります。$a,b,c,\ldots$は整数だったのでその解を整数に均すことで厳密解が得られることになります。
　$d=1$のとき、つまり$p=3,5,7$のときは$\tau=0$の値(命題4)から即座にモジュラー方程式が得られます。
　それでは$3\leq p\leq29$における$u-v$形式のモジュラー方程式を見ていきましょう。

3次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|} \hline&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{4}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2}&-1 \\\hline u^{3}&\ph{-2}&2&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2} \\\hline u^{2}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2} \\\hline u^{1}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2}&-2&\ph{-2} \\\hline 1&1&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2}&\ph{-2} \\\hline \end{array}

5次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{6}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&-1 \\\hline u^{5}&\ph{-5}&4&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5} \\\hline u^{4}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&-5&\ph{-5}&\ph{-5} \\\hline u^{3}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5} \\\hline u^{2}&\ph{-5}&\ph{-5}&5&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5} \\\hline u^{1}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&-4&\ph{-5} \\\hline 1&1&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5}&\ph{-5} \\\hline \end{array}

7次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{8}&0&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&1 \\\hline u^{7}&\ph{-56}&-8&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56} \\\hline u^{6}&\ph{-56}&\ph{-56}&28&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56} \\\hline u^{5}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&-56&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56} \\\hline u^{4}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&70&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56} \\\hline u^{3}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&-56&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56} \\\hline u^{2}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&28&\ph{-56}&\ph{-56} \\\hline u^{1}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&-8&\ph{-56} \\\hline 1&1&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&\ph{-56}&0 \\\hline \end{array}

11次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{12}&v^{11}&v^{10}&v^{9}&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{12}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&0&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-1 \\\hline u^{11}&\ph{-165}&32&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-22&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{10}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-44&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{9}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&88&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&22&\ph{-165} \\\hline u^{8}&0&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-165&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{7}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&132&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{6}&\ph{-165}&\ph{-165}&44&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-44&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{5}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-132&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{4}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&165&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&0 \\\hline u^{3}&\ph{-165}&-22&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-88&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{2}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&44&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline u^{1}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&22&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&-32&\ph{-165} \\\hline 1&1&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&0&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165}&\ph{-165} \\\hline \end{array}

13次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{14}&v^{13}&v^{12}&v^{11}&v^{10}&v^{9}&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{14}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&0&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-1 \\\hline u^{13}&\ph{-520}&64&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-52&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{12}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&0&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-65&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{11}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&208&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{10}&\ph{-520}&\ph{-520}&0&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-429&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{9}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&520&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&52&\ph{-520} \\\hline u^{8}&0&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-429&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{7}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&208&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-208&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{6}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&429&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&0 \\\hline u^{5}&\ph{-520}&-52&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-520&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{4}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&429&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&0&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{3}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-208&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{2}&\ph{-520}&\ph{-520}&65&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&0&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline u^{1}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&52&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&-64&\ph{-520} \\\hline 1&1&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&0&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520}&\ph{-520} \\\hline \end{array}

17次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{18}&v^{17}&v^{16}&v^{15}&v^{14}&v^{13}&v^{12}&v^{11}&v^{10}&v^{9}&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{18}&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&1 \\\hline u^{17}&&-256&&&&&&&&272&&&&&&&&-34& \\\hline u^{16}&0&&&&&&&&-272&&&&&&&&425&& \\\hline u^{15}&&&&&&&&1632&&&&&&&&-2448&&& \\\hline u^{14}&&&&&&&-4080&&&&&&&&7140&&&& \\\hline u^{13}&&&&&&4896&&&&&&&&-13464&&&&& \\\hline u^{12}&&&&&-4080&&&&&&&&22644&&&&&& \\\hline u^{11}&&&&1632&&&&&&&&-33456&&&&&&& \\\hline u^{10}&&&-272&&&&&&&&44030&&&&&&&&0 \\\hline u^{9}&&272&&&&&&&&-49164&&&&&&&&272& \\\hline u^{8}&0&&&&&&&&44030&&&&&&&&-272&& \\\hline u^{7}&&&&&&&&-33456&&&&&&&&1632&&& \\\hline u^{6}&&&&&&&22644&&&&&&&&-4080&&&& \\\hline u^{5}&&&&&&-13464&&&&&&&&4896&&&&& \\\hline u^{4}&&&&&7140&&&&&&&&-4080&&&&&& \\\hline u^{3}&&&&-2448&&&&&&&&1632&&&&&&& \\\hline u^{2}&&&425&&&&&&&&-272&&&&&&&&0 \\\hline u^{1}&&-34&&&&&&&&272&&&&&&&&-256& \\\hline 1&1&&&&&&&&0&&&&&&&&0&& \\\hline \end{array}

19次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{20}&v^{19}&v^{18}&v^{17}&v^{16}&v^{15}&v^{14}&v^{13}&v^{12}&v^{11}&v^{10}&v^{9}&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{20}&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&-1 \\\hline u^{19}&&512&&&&&&&&-608&&&&&&&&114&&& \\\hline u^{18}&&&&&&&2432&&&&&&&&-2584&&&&&& \\\hline u^{17}&&&&-2432&&&&&&&&3344&&&&&&&&-114& \\\hline u^{16}&0&&&&&&&&3952&&&&&&&&-6859&&&& \\\hline u^{15}&&&&&&5472&&&&&&&&2280&&&&&&& \\\hline u^{14}&&&-2432&&&&&&&&-10488&&&&&&&&-2584&& \\\hline u^{13}&&&&&&&&25536&&&&&&&&-2280&&&&& \\\hline u^{12}&&&&&-3952&&&&&&&&-21242&&&&&&&&0 \\\hline u^{11}&&-608&&&&&&&&20748&&&&&&&&-3344&&& \\\hline u^{10}&&&&&&&10488&&&&&&&&-10488&&&&&& \\\hline u^{9}&&&&3344&&&&&&&&-20748&&&&&&&&608& \\\hline u^{8}&0&&&&&&&&21242&&&&&&&&3952&&&& \\\hline u^{7}&&&&&&2280&&&&&&&&-25536&&&&&&& \\\hline u^{6}&&&2584&&&&&&&&10488&&&&&&&&2432&& \\\hline u^{5}&&&&&&&&-2280&&&&&&&&-5472&&&&& \\\hline u^{4}&&&&&6859&&&&&&&&-3952&&&&&&&&0 \\\hline u^{3}&&114&&&&&&&&-3344&&&&&&&&2432&&& \\\hline u^{2}&&&&&&&2584&&&&&&&&-2432&&&&&& \\\hline u^{1}&&&&-114&&&&&&&&608&&&&&&&&-512& \\\hline 1&1&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&& \\\hline \end{array}

23次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{24}&v^{23}&v^{22}&v^{21}&v^{20}&v^{19}&v^{18}&v^{17}&v^{16}&v^{15}&v^{14}&v^{13}&v^{12}&v^{11}&v^{10}&v^{9}&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{24}&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&1 \\\hline u^{23}&&-2048&&&&&&&&2944&&&&&&&&-920&&&&&&& \\\hline u^{22}&&&0&&&&&&&&-13248&&&&&&&&13524&&&&&& \\\hline u^{21}&&&&-23552&&&&&&&&75072&&&&&&&&-53544&&&&& \\\hline u^{20}&&&&&52992&&&&&&&&-124752&&&&&&&&82386&&&& \\\hline u^{19}&&&&&&-138368&&&&&&&&149408&&&&&&&&-53544&&& \\\hline u^{18}&&&&&&&334144&&&&&&&&-213072&&&&&&&&13524&& \\\hline u^{17}&&&&&&&&-712448&&&&&&&&367264&&&&&&&&-920& \\\hline u^{16}&0&&&&&&&&1159200&&&&&&&&-423729&&&&&&&&0 \\\hline u^{15}&&2944&&&&&&&&-1677712&&&&&&&&367264&&&&&&& \\\hline u^{14}&&&-13248&&&&&&&&2187576&&&&&&&&-213072&&&&&& \\\hline u^{13}&&&&75072&&&&&&&&-2720624&&&&&&&&149408&&&&& \\\hline u^{12}&&&&&-124752&&&&&&&&2953660&&&&&&&&-124752&&&& \\\hline u^{11}&&&&&&149408&&&&&&&&-2720624&&&&&&&&75072&&& \\\hline u^{10}&&&&&&&-213072&&&&&&&&2187576&&&&&&&&-13248&& \\\hline u^{9}&&&&&&&&367264&&&&&&&&-1677712&&&&&&&&2944& \\\hline u^{8}&0&&&&&&&&-423729&&&&&&&&1159200&&&&&&&&0 \\\hline u^{7}&&-920&&&&&&&&367264&&&&&&&&-712448&&&&&&& \\\hline u^{6}&&&13524&&&&&&&&-213072&&&&&&&&334144&&&&&& \\\hline u^{5}&&&&-53544&&&&&&&&149408&&&&&&&&-138368&&&&& \\\hline u^{4}&&&&&82386&&&&&&&&-124752&&&&&&&&52992&&&& \\\hline u^{3}&&&&&&-53544&&&&&&&&75072&&&&&&&&-23552&&& \\\hline u^{2}&&&&&&&13524&&&&&&&&-13248&&&&&&&&0&& \\\hline u^{1}&&&&&&&&-920&&&&&&&&2944&&&&&&&&-2048& \\\hline 1&1&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0 \\\hline \end{array}

29次モジュラー方程式

\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline&v^{30}&v^{29}&v^{28}&v^{27}&v^{26}&v^{25}&v^{24}&v^{23}&v^{22}&v^{21}&v^{20}&v^{19}&v^{18}&v^{17}&v^{16}&v^{15}&v^{14}&v^{13}&v^{12}&v^{11}&v^{10}&v^{9}&v^{8}&v^{7}&v^{6}&v^{5}&v^{4}&v^{3}&v^{2}&v^{1}&1 \\\hline u^{30}&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&-1 \\\hline u^{29}&&16384&&&&&&&&-29696&&&&&&&&14848&&&&&&&&-1508&&&&& \\\hline u^{28}&&&&&-118784&&&&&&&&386048&&&&&&&&-266336&&&&&&&&-1305&& \\\hline u^{27}&&&&&&&&1187840&&&&&&&&-1896832&&&&&&&&712240&&&&&&& \\\hline u^{26}&&&118784&&&&&&&&-1432832&&&&&&&&1587808&&&&&&&&-293857&&&& \\\hline u^{25}&&&&&&1811456&&&&&&&&-586496&&&&&&&&-1131464&&&&&&&&1508& \\\hline u^{24}&0&&&&&&&&-2442496&&&&&&&&3262848&&&&&&&&-1176617&&&&&& \\\hline u^{23}&&&&1187840&&&&&&&&-1132160&&&&&&&&1742320&&&&&&&&-712240&&& \\\hline u^{22}&&&&&&&2442496&&&&&&&&-1659264&&&&&&&&-3514597&&&&&&&&0 \\\hline u^{21}&&-29696&&&&&&&&-1083904&&&&&&&&5704996&&&&&&&&1131464&&&&& \\\hline u^{20}&&&&&1432832&&&&&&&&257984&&&&&&&&-11439485&&&&&&&&-266336&& \\\hline u^{19}&&&&&&&&-1132160&&&&&&&&17441760&&&&&&&&-1742320&&&&&&& \\\hline u^{18}&&&-386048&&&&&&&&-257984&&&&&&&&-18242421&&&&&&&&1587808&&&& \\\hline u^{17}&&&&&&-586496&&&&&&&&22274320&&&&&&&&-5704996&&&&&&&&-14848& \\\hline u^{16}&0&&&&&&&&1659264&&&&&&&&-14616957&&&&&&&&3262848&&&&&& \\\hline u^{15}&&&&-1896832&&&&&&&&17441760&&&&&&&&-17441760&&&&&&&&1896832&&& \\\hline u^{14}&&&&&&&-3262848&&&&&&&&14616957&&&&&&&&-1659264&&&&&&&&0 \\\hline u^{13}&&14848&&&&&&&&5704996&&&&&&&&-22274320&&&&&&&&586496&&&&& \\\hline u^{12}&&&&&-1587808&&&&&&&&18242421&&&&&&&&257984&&&&&&&&386048&& \\\hline u^{11}&&&&&&&&1742320&&&&&&&&-17441760&&&&&&&&1132160&&&&&&& \\\hline u^{10}&&&266336&&&&&&&&11439485&&&&&&&&-257984&&&&&&&&-1432832&&&& \\\hline u^{9}&&&&&&-1131464&&&&&&&&-5704996&&&&&&&&1083904&&&&&&&&29696& \\\hline u^{8}&0&&&&&&&&3514597&&&&&&&&1659264&&&&&&&&-2442496&&&&&& \\\hline u^{7}&&&&712240&&&&&&&&-1742320&&&&&&&&1132160&&&&&&&&-1187840&&& \\\hline u^{6}&&&&&&&1176617&&&&&&&&-3262848&&&&&&&&2442496&&&&&&&&0 \\\hline u^{5}&&-1508&&&&&&&&1131464&&&&&&&&586496&&&&&&&&-1811456&&&&& \\\hline u^{4}&&&&&293857&&&&&&&&-1587808&&&&&&&&1432832&&&&&&&&-118784&& \\\hline u^{3}&&&&&&&&-712240&&&&&&&&1896832&&&&&&&&-1187840&&&&&&& \\\hline u^{2}&&&1305&&&&&&&&266336&&&&&&&&-386048&&&&&&&&118784&&&& \\\hline u^{1}&&&&&&1508&&&&&&&&-14848&&&&&&&&29696&&&&&&&&-16384& \\\hline 1&1&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&& \\\hline \end{array}

おわりに

　はい。
　というわけで$u-v$形式にすることでモジュラー方程式をだいぶ簡単にすることができたわけですが、実は、場合によってはさらに簡単にすることができます。
　例えば$3$次モジュラー方程式
$\O_3(v,u)=v^4-u^4+2uv(u^2v^2-1)=0$
は
\begin{eqnarray} 4u^2v^2(u^2v^2-1)^2&=&(u^4-v^4)^2 \\4u^6v^6-6u^4v^4+4u^2v^2&=&u^8+v^8 \\(u^2v^2-1)^4&=&(1-u^8)(1-v^8) \end{eqnarray}
と変形できます。ここで$k=u^4,k'=\sqrt{1-k^2},\;l=v^4,l'=\sqrt{1-l^2}$とおくと
$$\sqrt{kl}+\sqrt{k'l'}=1$$
という方程式に帰着させることができます。
　また$7$次モジュラー方程式も同様に
$\O_7(v,u)=v^8-8u^7v^7+\cdots-8uv+u^8=(uv-1)^8-(1-u^8)(1-v^8)=0$
から
$$\sqrt[4]{kl}+\sqrt[4]{k'l'}=1$$
という方程式に帰着できます。
　これについても何回か後の記事で解説しようと思います。
　とりあえず今回はこんなところで。
　では。