大学数学基礎解説

文献あり

黄金比の連分数展開と区間縮小法の原理

連分数展開,実数の連続性,解析学

275

Introduction

以前、「区間縮小法の原理で『2乗して2になる正の実数（√2）』の存在を確認する」という記事を書きました。

記事の内容としては

　高校の教科書などで紹介されている「 $\sqrt{2}$ は無理数」の証明について、「そもそも2乗して2になる正の実数の存在が証明されていない」といった指摘を見かけます。

今回は「区間縮小法の原理」を使いながら、2乗して2になる正の実数の存在を確認していきます。

といったものです。中間値の定理ですぐに確認できてしまいますが、勉強をかねて区間縮小法の原理を使ってみました。区間を縮小させる方法としては、二分法（中点を次々に取り続けていく）を使っています。

この記事に対し、Twitterで「連分数展開を使った区間の縮小の仕方を採用することもできる」といった旨のコメントを見かけました。

そして、それを実際に行ったものを教えていただきました（ $\sqrt{2}$ は実数）。

今回は、このページを参考にしつつ、 $\sqrt{2}$ ではなく、黄金比をテーマにして同じことを試してみたいと思います。

連分数展開のアイデア

天下り的ではありますが、

$α^{2} - α - 1 = 0$

を満たすような $α$ が何かしら存在すると仮定します。

$0^{2} - 0 - 1 = - 1$ なので、 $α \neq 0$ です。

このとき

$\begin{aligned} α^{2} & = α + 1 \end{aligned}$

なので、両辺を $α (\neq 0)$ で割ると

$α = 1 + \frac{1}{α}$

となります。

実験

数列 ${a_{n}}$ を以下の漸化式で定めます。

$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}}$

このときの $a_{n}$ の値および ${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1$ の値を具体的に計算してみます。

※私は「浮動小数点とかなんもわからん」という人間なのですが、とりあえず「BigFloat」と書いてプログラミングしてみました。計算結果について「大体このくらいの値になるんだな」と大らかな目で見ていただければと思います（言語は Julia を使いました）。

$a_{n}$

n=1: 1.0

n=2: 2.0

n=3: 1.5

n=4: 1.666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666678

n=5: 1.599999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999986

n=6: 1.625

n=7: 1.615384615384615384615384615384615384615384615384615384615384615384615384615386

n=8: 1.619047619047619047619047619047619047619047619047619047619047619047619047619048

n=9: 1.617647058823529411764705882352941176470588235294117647058823529411764705882352

n=10: 1.618181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818172

${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1$

n=1: -1.0

n=2: 1.0

n=3: -0.25

n=4: 0.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111303

n=5: -0.04000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002211

n=6: 0.015625

n=7: -0.005917159763313609467455621301775147928994082840236686390532544378698224852074174

n=8: 0.00226757369614512471655328798185941043083900226757369614512471655328798185942739

n=9: -0.0008650519031141868512110726643598615916955017301038062283737024221453287197161908

n=10: 0.0003305785123966942148760330578512396694214876033057851239669421487603305784917384

見えてくること

$a_{n}$ は $1.618$ くらいの値に近付いていきそう
${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1$ は $0$ に近付いていきそう
${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1$ は偶数番号で $0$ 以上、奇数番号で $0$ 以下のようだ

x軸:n/y軸:(a_n)^2-a_n-1
※ Plots.jl でグラフ描画

目標と方針

目標

ここまでの実験を踏まえて、以下の命題を証明していきます。

$u^{2} - u - 1 = 0$ を満たす $1$ 以上の実数 $u$ が存在する。

その際、以下（区間縮小法の原理）を使っていきます。

（実数の）閉区間の入れ子の列

$[a_{1}, b_{1}] \supseteq [a_{2}, b_{2}] \supseteq \dots \supseteq [a_{n}, b_{n}] \supseteq \dots$

において

$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$

が成立するならば、この区間列は（実数内に）ただ1つの共通要素をもつ。

（参考：藤田博司「『集合と位相』をなぜ学ぶのか」p.67）

方針

先と同様、数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}}$

と定めます。

さらに、 ${a_{n}}$ を奇数番号と偶数番号に分けて、新たな数列 ${b_{n}}, {c_{n}}$ を以下のように定めます。

$b_{n} = a_{2 n - 1}$
$c_{n} = a_{2 n}$

そして、 $lim_{n \to \infty} (c_{n} - b_{n}) = 0$ となることを示し、閉区間の入れ子の列

$[b_{1}, c_{1}] \supseteq [b_{2}, c_{2}] \supseteq \dots \supseteq [b_{n}, c_{n}] \supseteq \dots$

のただ1つの共通要素 $u$ が $u^{2} - u - 1 = 0$ を満たすことを確認していきます。

補題たち

数列 ${a_{n}}$ を以下で定める。

$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}}$

$a, b$ を $1$ 以上の実数とする。このとき

$a ≦ b ⟺ a^{2} - a - 1 ≦ b^{2} - b - 1$

$(b^{2} - b - 1) - (a^{2} - a - 1) = (b - a) (b + a - 1)$

となる。

（ $⟹$ を示す）
$a ≦ b$ ならば $b - a ≧ 0$ である。また、 $a, b$ は $1$ 以上の実数であることから $b + a - 1 > 0$ なので、 $a^{2} - a - 1 ≦ b^{2} - b - 1$ が成り立つ。

（ $⟸$ を示す）
$a^{2} - a - 1 ≦ b^{2} - b - 1$ ならば $(b - a) (b + a - 1) ≧ 0$ となる。

$a, b$ は $1$ 以上の実数なので、 $b + a - 1 > 0$ である。

$(b - a) (b + a - 1) ≧ 0$ であることから、 $b - a ≧ 0$ となるので、 $a ≦ b$ が成り立つ。

$a_{n} ≧ 1$

数学的帰納法で示す。

$n = 1$ のとき、 $a_{1} = 1$ より成り立つ。

$n = k$ のとき $a_{k} ≧ 1$ であると仮定する。

$\frac{1}{a_{k}} > 0$ なので

$a_{k + 1} = 1 + \frac{1}{a_{k}} ≧ 1$ となり、 $n = k + 1$ のときも成り立つ。

よって、任意の正の整数 $n$ に対して、 $a_{n} ≧ 1$ が成り立つ。

$n$ が奇数ならば ${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1 ≦ 0$
$n$ が偶数ならば ${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1 ≧ 0$

$\begin{aligned} {a_{n + 1}}^{2} - a_{n + 1} - 1 & = (1 + \frac{1}{a_{n}})^{2} - (1 + \frac{1}{a_{n}}) - 1 \\ = 1 + \frac{2}{a_{n}} + (\frac{1}{a_{n}})^{2} - (1 + \frac{1}{a_{n}}) - 1 \\ = - 1 + \frac{1}{a_{n}} + (\frac{1}{a_{n}})^{2} \\ = \frac{- {a_{n}}^{2} + a_{n} + 1}{{a_{n}}^{2}} \\ = \frac{- ({a_{n}}^{2} - a_{n} - 1)}{{a_{n}}^{2}} \end{aligned}$

となるので

${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1 ≦ 0$ ならば ${a_{n + 1}}^{2} - a_{n + 1} - 1 ≧ 0$
${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1 ≧ 0$ ならば ${a_{n + 1}}^{2} - a_{n + 1} - 1 ≦ 0$

であることがわかる。

$n = 1$ のとき、 ${a_{1}}^{2} - a_{1} - 1 = - 1 ≦ 0$ なので

$n$ が奇数ならば ${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1 ≦ 0$
$n$ が偶数ならば ${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1 ≧ 0$

が成り立つ。

数列 ${b_{n}}, {c_{n}}$ を以下で定める。

$b_{n} = a_{2 n - 1}$
$c_{n} = a_{2 n}$

補題3,4より

$b_{n} ≧ 1, c_{n} ≧ 1$
${b_{n}}^{2} - b_{n} - 1 ≦ 0$
${c_{n}}^{2} - c_{n} - 1 ≧ 0$

$b_{n} ≦ b_{n + 1} ≦ c_{n + 1} ≦ c_{n}$

$\begin{aligned} c_{n} & = 1 + \frac{1}{b_{n}} \\ = \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} b_{n + 1} & = 1 + \frac{1}{c_{n}} \\ = 1 + \frac{b_{n}}{b_{n} + 1} \\ = \frac{2 b_{n} + 1}{b_{n} + 1} \end{aligned}$

$\begin{aligned} c_{n + 1} & = 1 + \frac{1}{b_{n + 1}} \\ = 1 + \frac{b_{n} + 1}{2 b_{n} + 1} \\ = \frac{3 b_{n} + 2}{2 b_{n} + 1} \end{aligned}$

（ $b_{n}$ と $b_{n + 1}$ について）
$\begin{aligned} b_{n + 1} - b_{n} & = \frac{2 b_{n} + 1}{b_{n} + 1} - b_{n} \\ = \frac{2 b_{n} + 1 - b_{n} (b_{n} + 1)}{b_{n} + 1} \\ = \frac{2 b_{n} + 1 - {b_{n}}^{2} - b_{n}}{b_{n} + 1} \\ = \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1)}{b_{n + 1}} \end{aligned}$

${b_{n}}^{2} - b_{n} - 1 ≦ 0$ なので $b_{n + 1} - b_{n} ≧ 0$ である。

よって $b_{n + 1} ≧ b_{n}$ となる。

（ $b_{n + 1}$ と $c_{n + 1}$ について）
$\begin{aligned} c_{n + 1} - b_{n + 1} & = \frac{3 b_{n} + 2}{2 b_{n} + 1} - \frac{2 b_{n} + 1}{b_{n} + 1} \\ = \frac{(3 b_{n} + 2) (b_{n} + 1) - (2 b_{n} + 1)^{2}}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} \\ = \frac{3 {b_{n}}^{2} + 5 b_{n} + 2 - 4 {b_{n}}^{2} - 4 b_{n} - 1}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} \\ = \frac{- {b_{n}}^{2} + b_{n} + 1}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} \\ = \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1)}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} \end{aligned}$

${b_{n}}^{2} - b_{n} - 1 ≦ 0$ なので $c_{n + 1} - b_{n + 1} ≧ 0$ である。

よって $c_{n + 1} ≧ b_{n + 1}$ となる。

（ $c_{n}$ と $c_{n + 1}$ について）
$\begin{aligned} c_{n} - c_{n + 1} & = \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} - \frac{3 b_{n} + 2}{2 b_{n} + 1} \\ = \frac{(b_{n} + 1) (2 b_{n} + 1) - b_{n} (3 b_{n} + 2)}{b_{n} (2 b_{n} + 1)} \\ = \frac{2 {b_{n}}^{2} + 3 b_{n} + 1 - 3 {b_{n}}^{2} - 2}{b_{n} (2 b_{n} + 1)} \\ = \frac{- {b_{n}}^{2} + 3 b_{n} - 1}{b_{n} (2 b_{n} + 1)} \\ = \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1) + 2 (b_{n} - 1)}{b_{n} (2 b_{n} + 1)} \end{aligned}$

${b_{n}}^{2} - b_{n} - 1 ≦ 0$ であり、 $b_{n} ≧ 1$ なので $c_{n} - c_{n + 1} ≧ 0$ である。

よって $c_{n} ≧ c_{n + 1}$ となる。

$c_{n + 1} - b_{n + 1} ≦ \frac{1}{3} (c_{n} - b_{n})$

$\begin{aligned} (2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1) - 3 b_{n} & = 2 {b_{n}}^{2} + 3 b_{n} + 1 - 3 b_{n} \\ = 2 {b_{n}}^{2} + 1 ≧ 0 \end{aligned}$

よって $(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1) ≧ 3 b_{n}$ となるので

$\begin{array}{r} \frac{1}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} ≦ \frac{1}{3 b_{n}} \end{array}$

が成り立つ。

両辺に $- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1) (≧ 0)$ をかけると

$\begin{array}{r} \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1)}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} ≦ \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1)}{3 b_{n}} \dots (1) \end{array}$

となる。

$\begin{aligned} c_{n} - b_{n} & = \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} - b_{n} \\ = \frac{b_{n} + 1 - {b_{n}}^{2}}{b_{n}} \\ = \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1)}{b_{n}} \dots (2) \end{aligned}$

であることと、補題5の証明から

$\begin{array}{r} c_{n + 1} - b_{n + 1} = \frac{- ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1)}{(2 b_{n} + 1) (b_{n} + 1)} \dots (3) \end{array}$

なので、(2)(3)を(1)に代入すると

$c_{n + 1} - b_{n + 1} ≦ \frac{1}{3} (c_{n} - b_{n})$

が成り立つことがわかる。

命題1の証明

＜命題1＞

$u^{2} - u - 1 = 0$ を満たす $1$ 以上の実数 $u$ が存在する。

補題6より

$c_{n} - b_{n} ≦ (\frac{1}{3})^{n - 1} (c_{1} - b_{1})$

となるので、 $b_{1} = 1, c_{1} = 2$ より

$c_{n} - b_{n} ≦ (\frac{1}{3})^{n - 1}$

である。

よって

$lim_{n \to \infty} (c_{n} - b_{n}) = 0$

となるので、区間縮小法の原理より、閉区間の入れ子の列

$[b_{1}, c_{1}] \supseteq [b_{2}, c_{2}] \supseteq \dots \supseteq [b_{n}, c_{n}] \supseteq \dots$

は、（実数内）にただ1つの共通要素 $u$ を持つことがわかる。

任意の正の整数 $n$ に対して

$(1 ≦) b_{n} ≦ u ≦ c_{n}$

なので、補題2から

${b_{n}}^{2} - b_{n} - 1 ≦ u^{2} - u - 1 ≦ {c_{n}}^{2} - c_{n} - 1 \dots (1)$

であることがわかる。

ここで、数列 ${d_{n}}, {e_{n}}$ を以下で定める。

$d_{n} = {b_{n}}^{2} - b_{n} - 1$
$e_{n} = {c_{n}}^{2} - c_{n} - 1$

補題5より

$(1 ≦) b_{n} ≦ b_{n + 1} ≦ c_{n + 1} ≦ c_{n}$

であることと、補題2から

$d_{n} ≦ d_{n + 1} ≦ e_{n + 1} ≦ e_{n}$

が成り立つ。

また

$\begin{aligned} e_{n} - d_{n} & = {c_{n}}^{2} - c_{n} - 1 - ({b_{n}}^{2} - b_{n} - 1) \\ = (c_{n} - b_{n}) (c_{n} + b_{n} - 1) \end{aligned}$

となる。

$c_{n} - b_{n} ≦ (\frac{1}{3})^{n - 1}$

であることと

$b_{n} ≦ c_{n} ≦ c_{1} (= 2)$

であることから

$e_{n} - d_{n} ≦ (\frac{1}{3})^{n - 1} (c_{1} + c_{1} - 1)$

となるので

$\begin{array}{r} e_{n} - d_{n} ≦ (\frac{1}{3})^{n - 2} \end{array}$

が成り立つ。

よって

$lim_{n \to \infty} (e_{n} - d_{n}) = 0$

となるので、区間縮小法の原理より、閉区間の入れ子の列

$[d_{1}, e_{1}] \supseteq [d_{2}, e_{2}] \supseteq \dots \supseteq [d_{n}, e_{n}] \supseteq \dots$

は、（実数内）にただ1つの共通要素 $v$ を持つことがわかる。

(1)より、任意の正の整数 $n$ に対して

$d_{n} ≦ u^{2} - u - 1 ≦ e_{n}$

となることがわかるので、 $u^{2} - u - 1$ は閉区間の入れ子の列

$[d_{1}, e_{1}] \supseteq [d_{2}, e_{2}] \supseteq \dots \supseteq [d_{n}, e_{n}] \supseteq \dots$

の共通要素である。

したがって、 $v = u^{2} - u - 1$ である。

また、補題4より、任意の正の整数 $n$ に対して

$d_{n} ≦ 0 ≦ e_{n}$

となることがわかるので、 $0$ は閉区間の入れ子の列

$[d_{1}, e_{1}] \supseteq [d_{2}, e_{2}] \supseteq \dots \supseteq [d_{n}, e_{n}] \supseteq \dots$

の共通要素である。

したがって、 $u^{2} - u - 1 = 0$ である。

補足

命題1の証明で

$lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^{n} = 0$

を使っていますが、これは数列 ${\frac{1}{3^{n}}}$ が ${\frac{1}{n}}$ の部分列であることから、証明できます（ ${\frac{1}{n}}$ が $0$ に収束することはアルキメデスの性質を使って示します）。

くわしくは「1/2^nは0に収束する」を証明する（1/nの部分列であることを使いながら）を参照してみてください。

感想など

黄金比や $\sqrt{2}$ だけでなく、もっと一般的に考えてみたくなりました。

今まで連分数にあまり触れたことがなかったんですが、面白いですね！

また、こういった類の話は「黄金比ありき」「 $\sqrt{2}$ ありき」で考えてしまいがちですが、天下り的なことをしつつも、「そもそも存在するのか？を示すんだ」というところを強く意識するのがポイントなのかな…と思います。この辺りが難しくもあり、面白いところだと感じます。

参考文献

[1]

藤田博司, 「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史

[2]

Hiroyasu Kamo, 元になったツイート, Twitter, 閲覧日 2022年12月5日, https://twitter.com/kamo_hiroyasu/status/1593185504471973889

[3]

Hiroyasu KAMO, √2は実数, 閲覧日 2022年12月5日, http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/eagle1/sqrt2.html

投稿日：2022年12月14日

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黄金比の連分数展開と区間縮小法の原理

Introduction
連分数展開のアイデア
実験
目標と方針
目標
方針
補題たち
命題1の証明
補足
感想など
参考文献

黄金比の連分数展開と区間縮小法の原理

Introduction

連分数展開のアイデア

実験

an

an2−an−1

見えてくること

目標と方針

目標

方針

補題たち

命題1の証明

補足

感想など

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${a_{n}}^{2} - a_{n} - 1$