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大学数学基礎解説
文献あり

ネットからはじめる位相空間論 第1回・ネット(有向点族)とその収束

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前回: ネットからはじめる位相空間論 第0回・モチベーション

予定より大幅に記事作成が遅れてしまう

久しぶりのネットです.
当初は毎週日曜日にネットの記事を作る予定でしたが,M1翌日から第1回,となってしまいました.漫才王者が決定する前にシリーズを完結させたかったのですが,のんびり記事を書き進めている内にノルム空間の$n$回双対$\;(n=2,3,\cdots)$と「回帰性」について考えていたりコロナに罹ったりして寄り道をしてしまいました.$n$回双対は近々まとめてMathlogに投稿したいですね.
それにしても最近寒いですね.

記事訂正・更新

2022/12/24に更新しました.コメントで教えて頂いたアライグマさん,ありがとうございます!
ほかにも不備があるかもしれません.なにかありましたら教えてください.

はじめに

今回はついにネットを定義します.そして第0回に出てきた$\sum_{n}a_n$をネットの観点から再考し,前回の伏線回収(?)をします.

目標:ネット(有向点族)を定義し,第0回のシグマをネットの観点から理解する

・・・と書きましたが,定義!例!終わり!みたいな流れでやっても面白くないし,それだとそもそもネットのありがたみが伝わらなくて「なんかごちゃごちゃ書いてあるけど結局点列でいいんじゃね?てことー」と ヘライザー総統 みたいに愚痴ってしまうのではと思います.

てことで,はじめに点列の限界とその打開案としてのネットを紹介し,その後に有向集合,ネットを定義し,最後にシグマの伏線回収をします.
点列の限界の時に 順序位相の話 絡みの話をします.なんなら「順序位相の話」の続きのようなことも書きます.この記事の前に「順序位相の話」を確認して頂くと,点列の限界の部分が読めると思いますし,そうなるように書いたつもりです(記号をそろえる,などしました).

点列の限界

ある集合の位相を考えるときに点列から攻めると整合性がとれない位相空間の例を紹介します.
なお,「点列から攻めると整合性がとれない」の意味は,以下の距離空間での点列による開集合の特徴づけが閉集合にも適用できてしまうということです.

距離空間での点列による開/閉集合の特徴づけ

$(X,d):\;$距離空間と部分集合$A\subsetneq X$において
$A:\;$閉集合$\Longleftrightarrow$任意の$A$の点列の極限が$A$の点になる$\overset{\text{言い換え}}{\Longleftrightarrow}\forall X\setminus A$の点列で極限を$A$に持つものはない
$A:\;$開集合$\overset{\text{by def}}{\Longleftrightarrow}X\setminus A:\;$閉集合$\overset{\text{上より}}{\Longleftrightarrow} X\setminus A$の点列で極限を$A$に持つものはない

反例は 順序位相の話 で書いた順序数の集合$[0,\omega_1]$に順序位相を入れた空間です.

勘の鋭い読者に

この時点で「順序数の集合$[0,\omega_1]$に順序位相を入れた空間は距離空間になるのか?」という質問が想定できますが,

  • 距離空間$\Longrightarrow$第一可算
    の対偶,つまり
    「第一可算でない$\Longrightarrow$距離空間でない」
  • $[0,\omega_1]$に順序位相を入れた空間は第一可算でない(事実)

$\therefore[0,\omega_1]$に順序位相を入れた空間は距離空間になりません.
この下に書くことは「距離空間での点列を用いた性質が距離化可能とは限らない一般の位相空間ではネットを用いると成り立つ」例だと思って読んでもらえると良いのかなと思います.

因みに, 順序数の集合$[0,\omega_1)$に順序位相を入れた空間も距離空間にならない とのことです.

ユークリッド空間での点列による開集合の特徴づけにあたるものとしてsequentially openなるものを考えましたが,$[0,\omega_1]$に順序位相を入れた位相空間において$\{\omega_1\}\subset[0,\omega_1]$がsequentially openな閉集合なのでした.

ここまでが「順序位相の話」に書いたことで,「あー確かに点列に限界あるかもねー」となると思います.でもだからといって点列を全否定するのはいかがなものかと.
位相空間をじっくり習うまで我々は点列とそれなりにやってきたわけです.中高では勿論のこと(中には中学入試などでもっと前から数列に親しんできている方もいることでしょう),

  • 大学入学当初は$\varepsilon-\delta$論法を何度も共に鍛錬し
  • 関数が連続であることの特徴づけでは(おそらく)はじめて極限交換の機会を与えてくれて
  • 有界単調な数列は実数について教えてくれたり,区間が狭くなる数列は高校でやった漸化式が極限を持つことに対し気づきを与えたり

ほら,大学初年度の内容だけでもパッと思いつくだけでこんなに我々は点列と過ごしてきたのです.腐れ縁です.
それなのに突然点列の弱点を見つけてからガラッと態度を変えて,しまいには「やーめた」というのは筋が通っていない.点列との関係性を見直して付き合い方を変えるタイミングだと思うと前向きになれる感じがします.

点列とは何者だったのか,を前向きに考える

今朝久々に低燃費少女ハイジを見ました.そこでハイジが「低燃費ってなーに?」と甲高い声でいろいろな人に聞くのですがー
低燃費って文字通り燃費が低いことだなあと思いながらそれを見ていたんです.

話を点列に戻します.「点列ってなーに?」と思ったら,まず文字通りに理解.点列とは点の列です.初項はどれで,2項目はどれで,3項目はどれで・・・と点の列ができますが,これは自然数全体から点たちへの写像とも言うことができます.
例えば一般項が$a_n=\frac{1}{n}$の数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は以下のような自然数から実数値への写像として扱えます:

$n$$a_n$
11
2$\frac{1}{2}$
3$\frac{1}{3}$

点列の本質が写像であるならば,「自然数全体から点たちへの写像」を「自然数全体に限らない集合(有向集合)から点たちへの写像」に
収束にあたっては点列らしさ=
『(ある)点の任意の近傍に対し,ある添え字が存在し,その添え字より「大きい」すべての添え字に対してその添え字を持つ点たちが近傍に入る』
を残しつつ

拡張するのは自然です.そしてこの方法で前述の順序数の集合$[0,\omega_1]$に順序位相を入れた空間で出た点列の限界が打開できるのです.
\begin{array}{rccc} id\colon &[0,\omega_1) &\longrightarrow& [0,\omega_1] \\ & \alpha & \longmapsto & \alpha \end{array}
を定めると,上の(点列と同様の記号で表すと)$\{\alpha\}_{\alpha\in[0,\omega_1)}$$\{\omega_1\}$に「収束」します.これについての詳細な説明は後のお楽しみ.
でもなんとなく点列の添え字を自然数全体より(濃度の意味で)「でかく」したらより多くの「収束」を考えられる気がしませんか?それがちゃんとやれる方法があって,それがネットなんだ,という風に思ってもらえればこの記事では大丈夫だと思います.

記事作成中にウエストランドM1優勝の知らせをTwitterで見ました.いいともで頑張っていたのが印象的なコンビが天下を取ったようで(生で見ていない),よかったなあと思いました.これから毒のある漫才が主流になっていくのでしょうか?

さてもう一つ,順序位相の話をします.連続関数の特徴づけです.
距離空間では以下の命題が成り立つのでした:

距離空間での点列による連続関数の特徴づけ

$(X,d_X),(Y,d_Y):\;$距離空間,$f:X\to Y\;$写像,$a\in X$
$f$$a$で連続$\Longleftrightarrow\;\forall a$に収束する$X$の点列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$に対し$Y$の点列$\{f(a_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$f(a)$に収束

で,やることは先ほど同様,命題2を点列版「関数が連続である」ことの定義(sequentially continuous)にして,連続だがsequentially continuousでない例を$[0,\omega_1]$に順序位相を入れた位相空間で与えます.
関数$f:[0,\omega_1]\to\mathbb{R}$を,$\alpha\in[0,\omega_1]$

  • $\alpha<\omega_1$なら$f(\alpha)=0$
  • $\alpha=\omega_1$なら$f(\alpha)=1$

と定めます.

$f$が不連続)
$f^{-1}\left((0,2)\right)=\{\omega_1\}$で,$(0,2)$は当然$\mathbb{R}$の開集合なのに$\{\omega_1\}$$[0,\omega_1]$で開集合でないので,$f$は連続関数でない.
$f$がsequentially continuous)
$\{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{N}}:\;\alpha$に収束する$[0,\omega_1]$の点列をとると

  • $\alpha:\;$可算順序数のとき$\exists m_0\in\mathbb{N}\;s.t.\;\forall n\in\mathbb{N},\;m< n\Longrightarrow f(\alpha_n)=0=f(\alpha)$
  • $\alpha:\;$非可算順序数(つまり$\omega_1$)のとき←$\{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$\exists m_1\in\mathbb{N}\;s.t.\;\forall n\in\mathbb{N},m< n\Longrightarrow\alpha_n=\omega_1$なるものに限られる.
    このとき$\forall l\in\mathbb{N},\;m_1< l\Longrightarrow f(\alpha_l)=1=f(\alpha)$

なので$f$はsequentially continuous.

ところが,「点列」を「ネット」にしたverでは
写像が連続$\Longleftrightarrow$写像がsequentially('netly'と書いた方がより適切?ねっと~り) continuousが成り立つ.

この2つ目の話から何がわかるか?
位相空間の授業とかで写像の連続について習った後にいきって
$A$から$B$への位相空間間の写像$f$が連続というのは,任意の$A$の点$a$に対し,極限が$a$$A$の点列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$をとると$B$の点列$\{f(a_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$の極限が$f(a)$になることだよ」
とか口走ってしまう人がいるわけですが,それは連続の定義に沿った説明ではないし,それがいえない場合もあるし(上に書いてあります)ダメダメなんですね.
2つ目の話から物事を定義通りにおさえる・条件もきちっとおさえることの大切さが学べるのではないでしょうか.

有向集合・ネット・ネットの収束

前節をまとめると,「自然数全体に限らない集合(有向集合)から点たちへの写像」に
収束にあたっては点列らしさ=『(ある)点の任意の近傍に対し,ある添え字が存在し,その添え字より「大きい」すべての添え字に対してその添え字を持つ点たちが近傍に入る』
を残したものを前向きに考えたくて,その答えがネットであるということでした.今のところ,ネットの構成要因には有向集合とネット,そしてネットに対する収束があることが察せると思います.がしかし,点列に部分列があったようにネットにも部分ネットがあってー・・・など,他にもいろいろあります.ここでは

  • 有向集合
  • ネット
  • ネットの収束

の3つを定めます.

有向集合

$\Lambda:\;$集合,$\leq:\;\Lambda$上の二項関係
$(\Lambda,\leq)$有向集合
$\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$以下を満たすこと:
$(1)\leq$が反射的:$\forall x\in\Lambda,\;x\leq x$
$(2)\leq$が推移的:$\forall a,b,c\in\Lambda,\;a\leq b,\;b\leq c\Longrightarrow a\leq c$
$(3)\leq$が反対称的:$\forall p,q\in\Lambda,\;p\leq q,q\leq p\Longrightarrow p=q$
$(4)\leq$が有向的:$\forall\alpha,\beta\in\Lambda,\exists\gamma\in\Lambda\;s.t.\;\alpha\leq\gamma,\beta\leq\gamma$

$(\Lambda,\leq)$$(1),(2)$までを満たすとき$(\Lambda,\leq)$は前順序集合という.
$(\Lambda,\leq)$$(1),(2),(3)$までを満たすとき$(\Lambda,\leq)$は順序集合という.

有向集合の定義について

参考文献にあげたIvan Khatchatourianさん,(順序位相のはなしの時もお世話になった)Stijn Vermeerenさんの資料には有向集合の定義に反対称的つまり順序集合であることを求めていなかったが,今回はそれも定義に入れることにした(この記事での有向集合は"strong-有向集合"かもしれない).
理由としては参考文献にあげた「泉本」と内田「集合と位相」での定義に従おうと思ったからだ.自分がちゃんと読もうと思っている2冊に追従しただけで,特に深い意味はない.
がしかし未だに反対称的を認めないべきか否かはもやもやしている.この記事の一番のモチベーションは関数解析でネットを扱う時のマニュアルを作りたいということだが,例えばRonald G. Douglas "Banach Algebra Techniques in Operator Theory"(p.3)やGert K. Pedersen "Analysis Now"(p.13)やGerald B. Folland "Real Analysis"(p.125)では反対称的であることを有向集合に求めていない.
とりあえず今は泉先生を信じて"strong-有向集合"でやってみて,今後支障が出たら融通を利かせることにする.

有向集合の例:

  1. 位相空間$X$の点$x$のすべての近傍の集合$\mathscr{N}$に以下で定めた関係$\leq$を入れた$(\mathscr{N},\leq)$は有向集合:
    $U\leq V\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}U\supset V\;(U,V\in\mathscr{N})$
    ☆このとき$\mathscr{N}$は逆包含で向きづけられている($\mathscr{N}$ is directed by reverse inclusion)と言う.
  2. $X:\;$集合,$\mathscr{A}:\;X$のすべての有限集合全体に(以下のように)包含で向きづけた=関係$\leq$を入れた$(\mathscr{A},\leq)$は有向集合:
    $P\leq Q\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}P\subset Q\;(P,Q\in\mathscr{A})$

この2つ目だけ確かめてみましょう.
($\leq$が反射的)
$\forall B\in\mathscr{A},B\subset B$より$B\leq B$
($\leq$が推移的)
$\forall C,D,E\in\mathscr{A},\;C\leq D,D\leq E$とする.
このとき$C\subset D,D\subset E$から$C\subset E$で,これより$C\leq E$
($\leq$が反対称的)
$\forall F,G\in\mathscr{A},\;F\leq G,G\leq F$とする.
このとき$F\subset G,G\subset F$から$F=G$
($\leq$が有向的)
$\forall H,I\in\mathscr{A},$
$H\cup I\overset{\text{有限集合どうしの和集合も有限集合}}{\in}\mathscr{A}$$H\subset H\cup I,I\subset H\cup I$なので$H\leq H\cup I,I\leq H\cup I$

良さそうですね.

ネット(有向点族)

有向集合$\Lambda$から集合$X$への写像をネット(有向点族)という.

有向集合を定義域というか添え字にした写像がネットです.

ネットの例:
$X:\;$集合,$\mathscr{A}:\;$包含で向きづけられた$X$のすべての有限集合全体
$f:X\to[0,\infty]$ 勝手な関数 と$A\in\mathscr{A}$に対し
$z_A:=\sum_{x\in A}f(x)$を定めて,$\mathscr{A}$から$[0,\infty]$へのネット
\begin{array}{rccc} \{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}\colon &\mathscr{A} &\longrightarrow& [0,\infty] \\ & A & \longmapsto & z_A \end{array}
を得る.
このとき
$\forall A_1,A_2\in \mathscr{A},A_1\leq A_2⟹z_{A_1}\leq z_{A_2}$
が成り立ちます.

第0回では「関数の和の定義」が出てきました:

$\sum_{x\in X}^{} f(x)\overset{\text{def}}{=}\sup\left\{ \sum_{x\in F} f(x);\;F\subset X, \#(F)<\infty \right\}$

これに近いものが出てきましたね.伏線回収までもうすぐです.

ネットの収束

$X:\;$位相空間 のネット$\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$$\Lambda:$有向集合)が点$x\in X$収束
$\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$任意の$x$の近傍$U$に対し
$\exists\lambda_0\in\Lambda\;s.t.\;\forall\lambda\in\Lambda,\lambda_0\leq\lambda\Longrightarrow x_{\lambda}\in U$・・・(結局)

☆上のネット$\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$が(結局)を満たすとき,$U$でネット$\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$eventuallyであるという.
つまり,$X:\;$位相空間 のネット$\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$が点$x\in X$に収束するとは,任意の$x$の近傍$U$でネット$\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$がeventuallyであることと言い換えられる.

シグマとの関連

最後に,ネットからはじめる位相空間論 第0回の伏線回数をします.
Follandの演習問題にこんなものがありました:

Folland 4章演習問題35番(改)

$X:\;$集合,$\mathscr{A}:\;$包含で向きづけられた$X$のすべての有限集合全体($2^{X}$で稠密)
$f:X\to[0,\infty]$ 勝手な関数 と$A\in\mathscr{A}$に対し
$z_A:=\sum_{x\in A}f(x)$を定めて,$\mathscr{A}$から$[0,\infty]$へのネット
\begin{array}{rccc} \{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}\colon &\mathscr{A} &\longrightarrow& [0,\infty] \\ & A & \longmapsto & z_A \end{array}
を得る.
また(M1王者にあやかって)$WL:=\{x\in X;f(x)\neq0\}$とする.
このとき$(i)\Longrightarrow(ii)$を示せ:
$(i)WL$が可算集合(このとき全単射$g:\mathbb{N}\to WL$が得られる)で$\sum_{n\in\mathbb{N}}f(g(n))<\infty$
$(ii)$ネット$\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$が収束

☆このときネット$\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$は($(i)$の書き方を使って書くと)$\sum_{n\in\mathbb{N}}f(g(n))$に収束するということになる.

これを解いて終わりにしましょう.

$(ii)\overset{\text{by def}}{\Longleftrightarrow}\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$の収束先を$z\in\mathbb{R}$とすると,任意の$z$の近傍$U$
ネット$\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$がeventually=$\exists A_0\in\mathscr{A}\;s.t.\;\forall A\in\mathscr{A},A_0\leq A(\text{つまり}A_0\subset A)\Longrightarrow z_A=\sum_{x\in A}f(x)\in U$

まず,$\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$は,有界単調数列の収束とのアナロジーからも想像しやすいように,(値が有限であれば)$\sup_{A\in\mathscr{A}}z_A$に収束.これをここだけの記号で$z'$と書く.
実際,$z'$の近傍$U$をとる.このとき近傍として$(z'-\varepsilon,z'+\varepsilon)$をとっても一般性を保つ(但し$\eta>0$).
$\forall\eta>0$に対して上限の特徴づけから$\exists A_0\in\mathscr{A}\;s.t.\;z_{A_0}\in(z'-\eta,z']$.特に$\eta=\varepsilon$として$z_{A_0}\in(z'-\varepsilon,z'+\varepsilon)$・・・♡

さて$\forall A\in\mathscr{A},\;A_0\leq A$に対して
$\forall A_1,A_2\in \mathscr{A},A_1\leq A_2⟹z_{A_1}\leq z_{A_2}$(ちょっと前に書いた一般論)
とあわせて$(z'-\varepsilon\overset{\text{♡}}{<})z_{A_0}\leq z_{A}\overset{\text{by def}}{\leq}z'< z'+\varepsilon$
以上より$z_A\in(z'-\varepsilon,z'+\varepsilon)$
そして実はこのときネットの極限は一意的(後々扱う)より$\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$のアルトシタラ極限は$\sup_{A\in\mathscr{A}}z_A$

以下,$\sup_{A\in\mathscr{A}}z_A<\infty$・・・★を確かめる.

$\forall A\in\mathscr{A}$に対して
$F_A:=A\cap WL$とすると$z_{A}=z_{F_{A}}$となる.
つまり★の確認のためには
任意の$WL$の元$F$について$\sup_{F}z_{F}<\infty$が成り立つこと
を確かめればよい.これを以下確かめる.

仮定よりある全単射$g:\mathbb{N}\to WL$が得られる.
$N\in\mathbb{N}$に対し$B(N):=g(\{1,2,\cdots,N\})$とすると$WL$の有限集合$F$は何かしらの$B(N)$に含まれて
$\sum_{x\in F}f(x)\leqq\sum_{n=1}^{N}f(g(n))\leqq\sup_{F\in\mathscr{A}}z_F$
$\sum_{n=1}^{N}f(g(n))\overset{\text{三角不等式}}{\leqq}\sum_{n\in\mathbb{N}}f(g(n))\overset{\text{仮定}}{<}\infty$より安心して$N$の上限をとれてこのとき
$\sum_{x\in F}f(x)\leqq\sum_{n\in\mathbb{N}}f(g(n))\leqq\sup_{F\in\mathscr{A}}z_F$
$F$の上限をとって$\sup_{F\in\mathscr{A}}z_F=\sum_{n\in\mathbb{N}}f(g(n))\overset{\text{仮定}}{<}\infty$

よって$\{z_A\}_{A\in\mathscr{A}}$は収束.

いかがでしょうか?ここで 第0回の記事 を見てみましょう.少しでも理解がクリアになったら幸いです.また理解がクリアになりすぎて第0回の誤植などを見つけてしまったという場合はコメントで教えてください.

ただ上の証明方法はまだやっていないことを使っているあまりよろしくない証明です.次回それを埋め合わせた版の証明から位相空間との関連,あわよくばBanach空間の話をできればと思っております.

さいごに

点列の限界からネットの必要性をみて,有向集合・ネットとその収束の定義をし,第0回の伏線回収をやりました.
次回はネットと位相空間との関係,Banach空間(関数解析との関係)をやるつもりです.

参考文献

投稿日:20221218

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かそう
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