フィボナッチ数列の研究まとめ4

閉じていること, 可換性

自明.

単位元の存在

$(0,1)$が単位元である.

結合性

$((a,b)\cdot (c,d))\cdot (e,f)=(a,b)\cdot ((c,d)\cdot (e,f))$
$=((adf+bcf+bde)-(bce+ade+acf)+2ace,(bce+ade+acf)-ace+bdf)$
よりok.

結合性, 単位元の存在は明らか.
閉じていることは$x,y\in M$が可逆のとき$xy\cdot (y^{-1}{x}^{-1})=e$なのでok.
可逆性は$x\in M$が可逆のとき$x$は$x^{-1}$の逆元なのでok.

加法定理を使って計算していけば示せる(詳細略).

命題5より$⟨(F_1,F_2)⟩=⟨(1,1)⟩$と一致する. 位数は$L(p)$の定義より明らか.

$|(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2|=p^2$なのでこの中で非可逆元の個数を数え上げればよい.
$(0,1)=(x,y)\cdot (z,w):=(xw+yz-xz,xz+yw)$において$(x,y)$を固定し逆元の存在を考える.
$\left(\begin{array}{cc}y-x& x\\ x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$
となり
$\left|\begin{array}{cc}y-x& x\\ x& y\end{array}\right|=y^2-xy-x^2$であるので, これが$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$で$0$になることと逆元を持たないことは同値である($\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$が体になることから実数のように行列演算ができる). $p$が$5$でない奇素数のとき, $x\ne 0$を固定すると
$y={\displaystyle \frac{x}{2}}(1\pm \sqrt{5})$となることから, $p\equiv 1,4(\mathrm{mod}5)$のとき$2$つずつ非可逆元が存在し, $p\equiv 2,3(\mathrm{mod}5)$のときは存在せず, $p=5$のときは$1$つずつ非可逆元が存在する(感覚的な書き方をしているが厳密には平方完成して平方剰余を考えればok). $x=0$のときはいずれの場合も$y=0$のみ逆元を持たない. さらに, $p=2$のときも逆元は持たないことを併せて主張は示された.

一致することは一般の群の剰余類の議論よりok.
十分性はうまく整数$k$をとり$((1,1{)}^{l(p)}{)}^k$を掛けることで示される.
必要性は第一成分が$0$の元であるという性質は$(0,x)$をかける操作によって保たれることからわかる.

一般に$H_1,H_2$をアーベル群$G$の部分群としたとき$H_1\cdot H_2$は$G$の部分群になるのでよい.

$p\equiv 1,4(\mathrm{mod}5)$のとき

今回の内容でも$p\equiv 2,3(\mathrm{mod}5)$のときのようにできる. が, この場合は前回の命題10みたいに$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$で$\varphi$をとって
$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\varphi }^n-(-1{)}^n{\varphi }^{-n})$$
として, Fermatの小定理から$F_{p-1}=0,F_p=1$とすることもできる.

$p\equiv 2,3(\mathrm{mod}5)$のとき

$|{\mathcal{H}}_p|=L(p)\cdot |(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }/{\mathcal{E}}_p|=(p-1)l(p)$である. ${\mathcal{H}}_p\subset {\mathcal{F}}_p$とラグランジュの定理, 命題7より $|{\mathcal{H}}_p|$は$p^2-1$の約数, 従って$l(p)$は$p+1$の約数. また, まとめ2の主定理より$L(p)/l(p)=1,2,4$となる. $L(p)/l(p)=4$のとき前回の補題7より$l(p)$は奇数, 特に$l(p)|(p+1)/2$であるので, いずれにしても$L(p)|2(p+1)$である.