神鳥さんの級数問題(2)

神鳥さんの級数問題(2) https://mathlog.info/articles/366 を解いてみました

$\displaystyle\sum_{0< n\leq k}\frac{(-1)^{n-1}\binom{k-1}{n-1}}{n^3k^2}$

まず、$\displaystyle\sum_{n=1}^k\frac{(-1)^{n-1}\binom{k-1}{n-1}}{n^3}$を求めます。

$\displaystyle\sum_{n=1}^k\frac{(-1)^{n-1}\binom{k-1}{n-1}}{n^3} \\=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{n=1}^k(-1)^{n-1}\binom{k-1}{n-1}\int_0^1x^{n-1}\log^2xdx \\=\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^1(1-x)^{k-1}\log^2xdx \\=\displaystyle\frac{1}{2}\left.\left(\frac{d}{dx}\right)^2\frac{\Gamma(k)\Gamma(x)}{\Gamma(k+x)}\right|_{x=1} \\=\displaystyle\frac{1}{2k}((\psi(1)-\psi(1+k))^2+\psi'(1)-\psi'(1+k)) \\=\displaystyle\frac{1}{2k}\left(\left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n}\right)^2+\sum_{0 < n \leq k}\frac{1}{n^2}\right)$

ここで、$\displaystyle\left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n}\right)^2$はこのままだと扱いづらいので、$\displaystyle\sum_{0< n\leq k}\frac{1}{n^2}+2\sum_{0< i< j\leq k}\frac{1}{ij}$に直します。

従って、
$\displaystyle\sum_{0< n\leq k}\frac{(-1)^{n-1}\binom{k-1}{n-1}}{n^3k^2} \\=\displaystyle\sum_{0< i< j\leq k}\left(\frac{1}{ijk^3}+\frac{1}{j^2k^3}\right) \\=\zeta(1,1,3)+\zeta(1,4)+\zeta(2,3)+\zeta(5)$

双対関係式より、$\zeta(1,1,3)=\zeta(1,4)$であり、神鳥さんの記事( https://mathlog.info/articles/206 )より、$\displaystyle\zeta(1,4)=2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)\ ,\ \zeta(2,3)=3\zeta(2)\zeta(3)-\frac{11}{2}\zeta(5)$なので、

$\displaystyle\sum_{0< n\leq k}\frac{(-1)^{n-1}\binom{k-1}{n-1}}{n^3k^2} \\\displaystyle=\zeta(2)\zeta(3)-\frac{1}{2}\zeta(5)$

解けましたね。