赤げふ氏,Wataru氏のζ(3)の定理の証明と一般論
はじめに
赤げふ氏の記事 にて予想され、 Wataru氏の記事 で証明された定理
$\omega = e^{2\pi i/3}$のとき
$$
\begin {aligned}
\Re \int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x(1+\omega y(1+\omega z))}
&=\zeta (3)
\end {aligned}
$$
の一般論を見つけました。
一般論
$$
\begin {aligned}
\operatorname{Li}^{\sh} _{\bm k}(\bm z)&:=\sum _{0< n_1< \cdots < n_{r}}\frac {z_1^{n_1}z_2^{n_2-n_1}\cdots z_r^{n_r-{n_{r-1}}}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\\
\operatorname{Li}^{\sh,\star} _{\bm k}(\bm z)&:=\sum _{0< n_1\leq \cdots \leq n_{r}}\frac {z_1^{n_1}z_2^{n_2-n_1}\cdots z_r^{n_r-{n_{r-1}}}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}
\end {aligned}
$$
$$
\begin {aligned}
L(z_0,\ldots,z_n)
&:=\frac {1}{z_1-z_0}\left (\operatorname{Li}^{\sh,\star} _{\{1\}^n} (1-z_0,1-z_2,\ldots,1-z_n)-\operatorname{Li}^{\sh,\star} _{\{1\}^n}(1-z_1,\ldots,1-z_n) \right )
\end {aligned}
$$
このとき以下の定理が成り立ちます。
$$ \begin {aligned} &\int _{0< x_1,\ldots ,x_n<1}\frac {\d x_1\cdots \d x_n}{z_0+z_1x_1+z_2x_1x_2+\cdots +z_nx_1\cdots x_n}\\ &=L(z_0+\cdots +z_n,\ldots ,z_0) \end {aligned} $$
証明は 僕のpdf の定理2.9,定理2.10,定理2.12を参照してください。(いずれMathlogに直接書くと思います)
定理の証明
一般論を使って目的の定理を示しましょう。
$\omega =e^{2\pi i/3}$とします.
$$
\begin {aligned}
&\int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x(1+\omega y(1+\omega z))}\\
&=\int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x+\omega ^2 xy+\omega ^3xyz}\\
&=L(1+\omega+\omega^2+\omega^3,1+\omega+\omega^2,1+\omega,1)\\
&=L(1,0,1+\omega,1)\\
&=\operatorname{Li} _{1,1,1}^{\sh,\star}(1,-\omega,0)-\operatorname{Li} _{1,1,1}^{\sh,\star} (0,-\omega,0)\\
&=\operatorname{Li} _{1,2}^{\sh,\star}(1,-\omega)\\
&=\zeta (3)+\operatorname{Li}^{\sh} _{1,2}(1,-\omega)
\end {aligned}
$$
ここで, 多重ポリログの双対性から
$$
\operatorname{Li}^{\sh}_{1,2}(1,-\omega) = - \operatorname{Li}_{1,2}^{\sh}(1,\overline{-\omega})
$$
なので,$\Re \operatorname{Li}^{\sh}_{1,2}(1,-\omega)=0$です. したがって
$$
\begin {aligned}
&\Re \int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x(1+\omega y(1+\omega z))}\\
&=\Re \left (\zeta(3)+\operatorname{Li} _{1,2}^{\sh}(1,-\omega) \right )\\
&=\zeta (3).
\end {aligned}
$$
です. (証明終)