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赤げふ氏,Wataru氏のζ(3)の定理の証明と一般論

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はじめに

$ω = e^{2 π i / 3}$ のとき
$\begin{aligned} Re \int_{0 < x, y, z < 1} \frac{d x d y d z}{1 + ω x (1 + ω y (1 + ω z))} & = ζ (3) \end{aligned}$

の一般論を見つけました。

一般論

$\begin{aligned} {Li}_{k}^{ш} (z) & := \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{z_{1}^{n_{1}} z_{2}^{n_{2} - n_{1}} \dots z_{r}^{n_{r} - n_{r - 1}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \\ {Li}_{k}^{ш, ⋆} (z) & := \sum_{0 < n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{z_{1}^{n_{1}} z_{2}^{n_{2} - n_{1}} \dots z_{r}^{n_{r} - n_{r - 1}}}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} L (z_{0}, \dots, z_{n}) & := \frac{1}{z_{1} - z_{0}} ({Li}_{{1}^{n}}^{ш, ⋆} (1 - z_{0}, 1 - z_{2}, \dots, 1 - z_{n}) - {Li}_{{1}^{n}}^{ш, ⋆} (1 - z_{1}, \dots, 1 - z_{n})) \end{aligned}$

このとき以下の定理が成り立ちます。

$\begin{aligned} \int_{0 < x_{1}, \dots, x_{n} < 1} \frac{d x_{1} \dots d x_{n}}{z_{0} + z_{1} x_{1} + z_{2} x_{1} x_{2} + \dots + z_{n} x_{1} \dots x_{n}} \\ = L (z_{0} + \dots + z_{n}, \dots, z_{0}) \end{aligned}$

証明は僕のpdf の定理2.9,定理2.10,定理2.12を参照してください。(いずれMathlogに直接書くと思います)

定理の証明

一般論を使って目的の定理を示しましょう。
$ω = e^{2 π i / 3}$ とします.
$\begin{aligned} \int_{0 < x, y, z < 1} \frac{d x d y d z}{1 + ω x (1 + ω y (1 + ω z))} \\ = \int_{0 < x, y, z < 1} \frac{d x d y d z}{1 + ω x + ω^{2} x y + ω^{3} x y z} \\ = L (1 + ω + ω^{2} + ω^{3}, 1 + ω + ω^{2}, 1 + ω, 1) \\ = L (1, 0, 1 + ω, 1) \\ = {Li}_{1, 1, 1}^{ш, ⋆} (1, - ω, 0) - {Li}_{1, 1, 1}^{ш, ⋆} (0, - ω, 0) \\ = {Li}_{1, 2}^{ш, ⋆} (1, - ω) \\ = ζ (3) + {Li}_{1, 2}^{ш} (1, - ω) \end{aligned}$
ここで, 多重ポリログの双対性から
${Li}_{1, 2}^{ш} (1, - ω) = - {Li}_{1, 2}^{ш} (1, \overset{―}{- ω})$
なので, $Re {Li}_{1, 2}^{ш} (1, - ω) = 0$ です. したがって
$\begin{aligned} Re \int_{0 < x, y, z < 1} \frac{d x d y d z}{1 + ω x (1 + ω y (1 + ω z))} \\ = Re (ζ (3) + {Li}_{1, 2}^{ш} (1, - ω)) \\ = ζ (3) . \end{aligned}$
です. (証明終)