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大学数学基礎解説
文献あり

赤げふ氏,Wataru氏のζ(3)の定理の証明と一般論

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$$\newcommand{abs}[1]{\left |#1\right |} \newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\mathrm{d}} \newcommand{F}[4]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{array}{c}#3\end{array};#4\right]} \newcommand{Fourier}[2]{\mathcal{F}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hartley}[2]{\mathcal{H}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hilbert}[2]{\mathcal{Hil}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{inttrans}[3]{\mathcal{#1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{invtrans}[3]{\mathcal{#1}^{-1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{Laplace}[2]{\mathcal{L}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{Mellin}[2]{\mathcal{M}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{Res}[1]{\underset{#1}{\operatorname{Res}}} \newcommand{sh}[0]{ш} \newcommand{tLaplace}[2]{\mathcal{B}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Weierstrass}[2]{\mathcal{W}_{#1}\left [#2\right ]} $$

はじめに

赤げふ氏の記事 にて予想され、 Wataru氏の記事 で証明された定理

$\omega = e^{2\pi i/3}$のとき
$$ \begin {aligned} \Re \int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x(1+\omega y(1+\omega z))} &=\zeta (3) \end {aligned} $$

の一般論を見つけました。

一般論

$$ \begin {aligned} \operatorname{Li}^{\sh} _{\bm k}(\bm z)&:=\sum _{0< n_1< \cdots < n_{r}}\frac {z_1^{n_1}z_2^{n_2-n_1}\cdots z_r^{n_r-{n_{r-1}}}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\\ \operatorname{Li}^{\sh,\star} _{\bm k}(\bm z)&:=\sum _{0< n_1\leq \cdots \leq n_{r}}\frac {z_1^{n_1}z_2^{n_2-n_1}\cdots z_r^{n_r-{n_{r-1}}}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} L(z_0,\ldots,z_n) &:=\frac {1}{z_1-z_0}\left (\operatorname{Li}^{\sh,\star} _{\{1\}^n} (1-z_0,1-z_2,\ldots,1-z_n)-\operatorname{Li}^{\sh,\star} _{\{1\}^n}(1-z_1,\ldots,1-z_n) \right ) \end {aligned} $$

このとき以下の定理が成り立ちます。

$$ \begin {aligned} &\int _{0< x_1,\ldots ,x_n<1}\frac {\d x_1\cdots \d x_n}{z_0+z_1x_1+z_2x_1x_2+\cdots +z_nx_1\cdots x_n}\\ &=L(z_0+\cdots +z_n,\ldots ,z_0) \end {aligned} $$

証明は 僕のpdf の定理2.9,定理2.10,定理2.12を参照してください。(いずれMathlogに直接書くと思います)

定理の証明

一般論を使って目的の定理を示しましょう。
$\omega =e^{2\pi i/3}$とします.
$$ \begin {aligned} &\int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x(1+\omega y(1+\omega z))}\\ &=\int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x+\omega ^2 xy+\omega ^3xyz}\\ &=L(1+\omega+\omega^2+\omega^3,1+\omega+\omega^2,1+\omega,1)\\ &=L(1,0,1+\omega,1)\\ &=\operatorname{Li} _{1,1,1}^{\sh,\star}(1,-\omega,0)-\operatorname{Li} _{1,1,1}^{\sh,\star} (0,-\omega,0)\\ &=\operatorname{Li} _{1,2}^{\sh,\star}(1,-\omega)\\ &=\zeta (3)+\operatorname{Li}^{\sh} _{1,2}(1,-\omega) \end {aligned} $$
ここで, 多重ポリログの双対性から
$$ \operatorname{Li}^{\sh}_{1,2}(1,-\omega) = - \operatorname{Li}_{1,2}^{\sh}(1,\overline{-\omega}) $$
なので,$\Re \operatorname{Li}^{\sh}_{1,2}(1,-\omega)=0$です. したがって
$$ \begin {aligned} &\Re \int _{0< x,y,z<1}\frac {\d x\d y\d z}{1+\omega x(1+\omega y(1+\omega z))}\\ &=\Re \left (\zeta(3)+\operatorname{Li} _{1,2}^{\sh}(1,-\omega) \right )\\ &=\zeta (3). \end {aligned} $$
です. (証明終)

参考文献

投稿日:20221224

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