値がζ(3)?の三重積分(Wataru氏により肯定的に解決)

以下の積分の証明が分からないままでいます(割と凶悪)
wowolframの数値計算では50桁一致したことが確かめられました。
$f(x):=1+\frac{-1+ \sqrt{-3}}{2}x$
$\displaystyle \mathrm{Re} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{dxdydz}{f(f(f(x)y)z)} ?=? ζ(3)$

5/1追記
Wataru氏により証明されて記事になりました(凄すぎてすごい)
https://mathlog.info/articles/2206
ちなみに私は数値計算で上を見つけて以来3年間手も足も出ませんでした。

2023/10/25追記
https://mathlog.info/articles/3811
便利くんが一般化をしてくれました
係数が全部変数でもこんなにきれいに表せるのか！！！感動
すごい