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解説大学数学以上
文献あり

双曲線関数の逆数和の連分数展開

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$$\newcommand{beginend}[2]{\begin{#1}#2\end{#1}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{hygeo}[6]{ {}_{#2}{#1}_{#3}\left[\begin{matrix}{#4}\\ {#5}\end{matrix}\ ;{#6}\right]} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\matrix{\huge\rm K}}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{stirling}[3]{\left[ \begin{matrix}{#1} \\ {#2}\end{matrix} {#3}\right]} \newcommand{Stirling}[3]{\left\{ \begin{matrix}{#1} \\ {#2}\end{matrix} {#3}\right\}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

https://mathlog.info/articles/3408 より、

\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{a r^{n}-b q^{n}} &=& \kfrac_{n=0}^{\infty} \frac{v_{n}}{a r^{n}-b q^{n}} \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} v_{0} &=&1 \\ v_{2n-1} &=&-(rq)^{n-1}\left(a r^{n-1}-b q^{n-1}\right)^{2} z \\ v_{2n} &=&-ab(rq)^{n-1}\left(r^{n}-q^{n}\right)^{2} z \end{array}\right. \end{eqnarray}

$\cosh_{\pm}x := \large\frac{e^x \pm e^{-x}}{2}$

\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{\cosh_{\pm}(an+b)} &=& 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{e^{an+b} \pm e^{-an-b}} \\&=& \kfrac_{n=0}^{\infty} \frac{v_{n}}{\cosh_{\pm}(an+b)} \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} v_{0} &=& z \\ v_{2n-1} &=& -\cosh_{\pm}^2(a(n-1)+b) z \\ v_{2n} &=& \pm\sinh^2(an) z \end{array}\right. \end{eqnarray}

参考文献

投稿日:114
更新日:430

投稿者

https://mathlog.info/articles/u8RbpIp5SDhTq1E2wmx3

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