q超球陪多項式のFourier級数展開
$\displaystyle x:=\frac{z+z^{-1}}2$とする.
前の記事
で, $q$超球陪多項式をAskey-Wilson陪多項式によって,
\begin{align}
C_n^{\alpha}(x;a^2|q):=\frac{(a^4q^{\alpha};q)_n}{(q^{\alpha+1};q)_n}a^{-n}r_n^{\alpha}(x;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12})
\end{align}
によって定義し, それが明示式
\begin{align}
C_n^{\alpha}(x;a|q)&=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{n+\alpha}}\\
&\qquad+\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{n+\alpha}}
\end{align}
を持つことを示した. 今回はこの$q$超球陪多項式の$z=e^{i\theta}$に関する展開(Fourier級数展開)を与えたいと思う.
導出
Heineの変換公式
より,
\begin{align}
\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\beta}}&=\frac{(aq^{\beta+1},az^2;q)_{\infty}}{(a^2q^{\beta},z^2q;q)_{\infty}}\Q21{q^{\beta+1},q/a}{aq^{\beta+1}}{az^2}
\end{align}
であるから, 上の表示にこれを用いて,
\begin{align}
&C_n^{\alpha}(x;a|q)\\
&=\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{n+\alpha}}\\
&\qquad+\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{n+\alpha}}\\
&=\frac{(aq^{\alpha},aq^{n+\alpha+1},az^2,a/z^2;q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},a^2q^{n+\alpha},z^2q^2,q/z^2;q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q^{\alpha},q/a}{aq^{\alpha}}{a/z^2}\Q21{q^{n+\alpha+1},q/a}{aq^{n+\alpha+1}}{az^2}\\
&\qquad+\frac{(aq^{\alpha},aq^{n+\alpha+1},az^2,a/z^2;q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},a^2q^{n+\alpha},z^2q^2,q/z^2;q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{q^{\alpha},q/a}{aq^{\alpha}}{az^2}\Q21{q^{n+\alpha+1},q/a}{aq^{n+\alpha+1}}{a^2/z^2}\\
&=\frac{(aq^{\alpha},aq^{n+\alpha+1},az^2,a/z^2;q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},a^2q^{n+\alpha},z,1/z^2;q)_{\infty}}(z-z^{-1})\\
&\qquad\cdot\bigg(-z^{n+1}\Q21{q^{\alpha},q/a}{aq^{\alpha}}{a/z^2}\Q21{q^{n+\alpha+1},q/a}{aq^{n+\alpha+1}}{az^2}\\
&\qquad\qquad+z^{-n-1}\Q21{q^{\alpha},q/a}{aq^{\alpha}}{az^2}\Q21{q^{n+\alpha+1},q/a}{aq^{n+\alpha+1}}{a/z^2}\bigg)\\
&=\frac{4\sin\theta(aq^{\alpha},aq^{n+\alpha+1},az^2,a/z^2;q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},a^2q^{n+\alpha},z^2,1/z^2;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j,k}\frac{(q^{\alpha},q/a;q)_j}{(q,aq^{\alpha};q)_j}\frac{(q^{n+\alpha+1},q/a;q)_k}{(q,aq^{n+\alpha+1};q)_k}a^{j+k}\sin(n+2k-2j+1)\theta\\
\end{align}
となる. つまり以下を得る.
$n$を非負整数, $x=\cos\theta$とするとき,
\begin{align}
C_n^{\alpha}(x;a|q)&=\frac{4\sin\theta(aq^{\alpha},aq^{n+\alpha+1},ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},a^2q^{n+\alpha},e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j,k}\frac{(q^{\alpha},q/a;q)_j}{(q,aq^{\alpha};q)_j}\frac{(q^{n+\alpha+1},q/a;q)_k}{(q,aq^{n+\alpha+1};q)_k}a^{j+k}\sin(n+2k-2j+1)\theta
\end{align}
が成り立つ.
これは 前の記事 で示したRogers多項式のFourier級数展開の一般化である.
第2種$q$超球陪関数
定理1のFourier級数展開を元に第2種$q$超球陪関数
\begin{align}
D_n^{\alpha}(x;a|q)&:=\frac{4\sin\theta(aq^{\alpha},aq^{n+\alpha+1},ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},a^2q^{n+\alpha},e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j,k}\frac{(q^{\alpha},q/a;q)_j}{(q,aq^{\alpha};q)_j}\frac{(q^{n+\alpha+1},q/a;q)_k}{(q,aq^{n+\alpha+1};q)_k}a^{j+k}\cos(n+2k-2j+1)\theta
\end{align}
と定義すると, 上の議論を逆にたどることによって以下の表示を得る.
非負整数$n$に対して
\begin{align}
D_n^{\alpha}(x;a|q)&=i\bigg(\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{n+\alpha}}\\
&\qquad-\frac{(a^2q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{z^2q/a,q/a}{z^2q}{a^2q^{\alpha-1}}\Q21{q/az^2,q/a}{q/z^2}{a^2q^{n+\alpha}}\bigg)
\end{align}
が成り立つ.
このような第2種の陪関数の性質を調べることは今後の研究課題である.
