Askey-Wilson陪多項式4: Askey-Wilson関数による表示

$\displaystyle x:=\frac{z+z^{-1}}2$として,
\begin{align} R_{\alpha}(z)&=\frac{(abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},bcdq^{\alpha}/z;q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},azq^{\alpha};q)_{\infty}}\left(\frac az\right)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{\alpha-1},q^{-\alpha};zq/a)\\ S_{\alpha}(z)&=\frac{(abcdq^{2\alpha},bzq^{\alpha+1},czq^{\alpha+1},dzq^{\alpha+1},bcdzq^{\alpha};q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},bcdzq^{2\alpha+1};q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(bcdzq^{2\alpha};bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},zq/a;az) \end{align}
とする. 前の記事 でAskey-Wilson陪多項式$r_n^{\alpha}(x)$をAskey-Wilson関数で表す公式
\begin{align} r_n^{\alpha}(x)&=\frac{z}{a^{2\alpha-1}}\frac{(az,bc,bd,cd,bcq^{\alpha-1},bdq^{\alpha-1},cdq^{\alpha-1},q^{\alpha};q)_{\infty}(S_{\alpha-1}(z)R_{n+\alpha}(z)-R_{\alpha-1}(z)S_{n+\alpha}(z))}{(bcd/z,bz,cz,dz,abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},abcdq^{\alpha-1};q)_{\infty}(1-abcdq^{2\alpha-2})} \end{align}
を示した. これは$r_n^{\alpha}(x)$を$R_{n+\alpha}(z),S_{n+\alpha}(z)$の線形和で表す公式である. 今回は$r_n^{\alpha}(x)$を$S_{n+\alpha}(z),S_{n+\alpha}(z^{-1})$の線形和で表す公式を与え, それを用いて$q$超球陪多項式の表示を与えたいと思う.

導出

Askey-Wilson関数の漸化式の$z\mapsto z^{-1}$に関する対称性から, $S_{n+\alpha}(z^{-1})$もAskey-Wilson陪多項式が満たす漸化式の解になっている. $S_{n+\alpha}(z),S_{n+\alpha}(z^{-1})$は独立な解になっているので, 前の記事 の議論と全く同様に
\begin{align} r_n^{\alpha}(x)&=\frac{S_{\alpha-1}(z^{-1})S_{n+\alpha}(z)-S_{\alpha-1}(z)S_{n+\alpha}(z^{-1})}{W_{\alpha}}\\ W_{\alpha}&:=S_{\alpha}(z)S_{\alpha-1}(z^{-1})-S_{\alpha}(z^{-1})S_{\alpha-1}(z) \end{align}
となり,　$V_{\alpha}=a^{-2\alpha}W_{\alpha}$とすると,
\begin{align} V_{\alpha}&=\frac{(abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},abcdq^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha-1},bdq^{\alpha-1},cdq^{\alpha-1},q^{\alpha};q)_{\infty}}(1-abcdq^{2\alpha-2})\lim_{n\to\infty}V_{n+\alpha} \end{align}
を得る. ここで, $q$二項定理より
\begin{align} \lim_{n\to\infty}V_{n+\alpha}&=a^{-1}\left(z-z^{-1}\right)\frac{(qz^2,q/z^2;q)_{\infty}}{(az,a/z;q)_{\infty}}\\ &=-\frac 1{az}\frac{(z^2,q/z^2;q)_{\infty}}{(az,a/z;q)_{\infty}}\\ \end{align}
となるから, これを代入して以下を得る.

$q$超球陪多項式

\begin{align} r_n(x;a,b,c,d):=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},az,a/z}{ab,ac,ad}{q} \end{align}
とする. 前の記事 で見たように, Rogersの$q$超球多項式は
\begin{align} C_n(x;a^2|q)=\frac{(a^4;q)_n}{(q;q)_n}a^{-n}r_n(x;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12}) \end{align}
とAskey-Wilson多項式を用いて表される. これを元に, $q$超球陪多項式を
\begin{align} C_n^{\alpha}(x;a^2|q):=\frac{(a^4q^{\alpha};q)_n}{(q^{\alpha+1};q)_n}a^{-n}r^{\alpha}_n(x;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12}) \end{align}
によって定義する. ${}_8\phi_7$の二項変換公式 より,
\begin{align} &W(bcdzq^{2\alpha};bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},zq/a;az)\\ &=\frac{(bcdzq^{2\alpha+1},abcdq^{\alpha-1},z^2q,azq^{\alpha+1};q)_{\infty}}{(bcdzq^{\alpha},abcdq^{2\alpha},z^2q^{\alpha+2},az;q)_{\infty}}W(z^2q^{\alpha+1};zq/a,zq/b,zq/c,zq/d,q^{\alpha+1};abcdq^{\alpha-1}) \end{align}
となるから, これを代入して,

\begin{align} S_{\alpha}(z)&=\frac{(abcdq^{\alpha-1},azq^{\alpha+1},bzq^{\alpha+1},czq^{\alpha+1},dzq^{\alpha+1},z^2q;q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},z^2q^{\alpha+2},az;q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\alpha+1};zq/a,zq/b,zq/c,zq/d,q^{\alpha+1};abcdq^{\alpha-1}) \end{align}
と書き換えられる. よって,
$S_{\alpha}(z)$を$S_{\alpha}(z;a,b,c,d)$と書くと
\begin{align} &S_{\alpha}(z;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12})\\ &=\frac{(a^4q^{\alpha},azq^{\alpha+1},-azq^{\alpha+1},azq^{\alpha+\frac 32},-azq^{\alpha+\frac 32},z^2q;q)_{\infty}}{(-a^2q^{\alpha+\frac 12},a^2q^{\alpha+\frac 12},-a^2q^{\alpha+1},q^{\alpha+1},z^2q^{\alpha+2},az;q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\alpha+1};zq/a,-zq/a,zq^{\frac 12}/a,-zq^{\frac 12}/a,q^{\alpha+1};a^4q^{\alpha})\\ &=\frac{(a^2q^{\alpha+1},a^4q^{\alpha},a^2z^2q^{2\alpha+2},z^2q;q)_{\infty}}{(a^4q^{2\alpha+1},q^{\alpha+1},z^2q^{\alpha+2},az;q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\alpha+1};zq/a,-zq/a,zq^{\frac 12}/a,-zq^{\frac 12}/a,q^{\alpha+1};a^4q^{\alpha})\\ \end{align}
となる. ここで, Gasper-Rahmanの二次変換公式 より
\begin{align} &W(z^2q^{\alpha+1};zq/a,-zq/a,zq^{\frac 12}/a,-zq^{\frac 12}/a,q^{\alpha+1};a^4q^{\alpha})\\ &=\frac{(z^2q^{\alpha+2},a^4q^{2\alpha+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{\alpha+1},a^2z^2q^{2\alpha+2};q)_{\infty}}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\alpha}} \end{align}
となるから,
\begin{align} S_{\alpha}(z;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12})&=\frac{(a^4q^{\alpha},z^2q;q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1},az;q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\alpha}} \end{align}
を得る. また, 定理1の$W_{\alpha}=W_{\alpha}(a,b,c,d)$は

\begin{align} W_{\alpha}(a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12})&=-\frac{a^{2\alpha-1}}z\frac{(a^2q^{\alpha+\frac 12},-a^2q^{\alpha+\frac 12},a^4q^{\alpha},z^2,q/z^2;q)_{\infty}}{(-a^2q^{\alpha-\frac 12},a^2q^{\alpha-\frac 12},q^{\alpha},az,a/z;q)_{\infty}}(1-a^4q^{2\alpha-1})\\ &=-\frac{a^{2\alpha-1}}z\frac{(a^4q^{\alpha},z^2,q/z^2;q)_{\infty}}{(q^{\alpha},az,a/z;q)_{\infty}}\\ \end{align}
であるから, 定理1より
\begin{align} &r^{\alpha}_n(x;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12})\\ &=-\frac z{a^{2\alpha-1}}\frac{(q^{\alpha},az,a/z;q)_{\infty}}{(a^4q^{\alpha},z^2,q/z^2;q)_{\infty}}\cdot\frac{(a^4q^{\alpha-1},a^4q^{n+\alpha},z^2q,q/z^2;q)_{\infty}}{(q^{\alpha},q^{n+\alpha+1},az,a/z;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\bigg((a/z)^{\alpha-1}(az)^{n+\alpha}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{n+\alpha}}\\ &\qquad\qquad-(az)^{\alpha-1}(a/z)^{n+\alpha}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{n+\alpha}}\bigg)\\ &=\frac {1}{z-z^{-1}}\frac{(a^4q^{\alpha-1},a^4q^{n+\alpha};q)_{\infty}}{(a^4q^{\alpha},q^{n+\alpha+1};q)_{\infty}}a^n\\ &\qquad\cdot\bigg(z^{n+1}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{n+\alpha}}\\ &\qquad\qquad-z^{-n-1}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{n+\alpha}}\bigg) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} C_n^{\alpha}(x;a^2|q)&=\frac{(a^4q^{\alpha};q)_n}{(q^{\alpha+1};q)_n}a^{-n}r^{\alpha}_n(x;a,-a,aq^{\frac 12},-aq^{\frac 12})\\ &=\frac 1{z-z^{-1}}\frac{(a^4q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\bigg(z^{n+1}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{n+\alpha}}\\ &\qquad\qquad-z^{-n-1}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{n+\alpha}}\bigg)\\ &=\frac{(a^4q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^n}{1-z^{-2}}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{n+\alpha}}\\ &\qquad+\frac{(a^4q^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(q^{\alpha+1};q)_{\infty}}\frac{z^{-n}}{1-z^2}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\alpha-1}}\Q21{q/a^2z^2,q/a^2}{q/z^2}{a^4q^{n+\alpha}} \end{align}
を得る. つまり以下が得られた.