Multitangent functionのFourier級数展開
多重ゼータ値, multitangent functionに関して,
前の記事
で用いた記法を用いる.
前の記事
でBouillotによる定理
\begin{align}
\Psi_{\bk}(w)&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{2\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_b)\Psi_n(w)\\
&(\bk=(k_1,\dots,k_d),\quad k_1,k_d\geq 2)
\end{align}
を示した. 今回はこれを用いて$\Psi_{\bk}$のFourier級数展開を与えるとともに, 対称多重ゼータ値との関係について述べる.
Fourier級数展開
$\Im(w)>0$とする. まず, 等比級数に展開することによって
\begin{align}
\Psi_1(w)=\pi\cot\pi w=-\pi i-2\pi i\sum_{0< n}e^{2\pi in w}
\end{align}
を得る. この両辺を$w$に関して$k-1$微分することによって
\begin{align}
\Psi_k(w)=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{0< n}n^{k-1}e^{2\pi inw}\qquad k\geq 2
\end{align}
が成り立つことが分かる. これはLipschitzの公式として知られているものである. これを用いると,
前の記事
の定理2は
\begin{align}
\Psi_{\bk}^*(w)&=\delta(\bk)+\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\Psi_n(w)\\
&=\delta(\bk)+\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\left(-\pi i\delta_{n,1}+\frac{(-2\pi i)^n}{(n-1)!}\sum_{0< m}m^{n-1}e^{2\pi i mw}\right)\\
&=\delta(\bk)-\pi i\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+b=k_j-1}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\\
&\qquad-2\pi i\sum_{0< m}e^{2\pi i mw}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\frac{(-2\pi im)^{n-1}}{(n-1)!}\\
\end{align}
ここで,
前の記事
の定理2より, $\Psi_1$の係数
\begin{align}
&\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+b=k_j-1}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\\
&=\begin{cases}
\displaystyle \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n+1)!}&& \bk=\{1\}^{2n+1}\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
であるから, 上の式は
\begin{align}
\delta^*(\bk):=\begin{cases}
\displaystyle \frac{(-\pi i)^{n}}{n!}&& \bk=\{1\}^n\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
とすると
\begin{align}
\Psi_{\bk}^*(w)
&=\delta^*(\bk)-2\pi i\sum_{0< m}e^{2\pi i mw}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\frac{(-2\pi im)^{n-1}}{(n-1)!}
\end{align}
を得る. つまり以下が得られた.
$\Im(w)>0$とする. インデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対し
\begin{align}
\Psi_{\bk}^*(w)
&=\delta^*(\bk)-2\pi i\sum_{0< m}e^{2\pi i mw}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{1\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a^*(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta^*_b(k_{j+1},\dots,k_d)\frac{(-2\pi im)^{n-1}}{(n-1)!}
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
\delta^*(\bk):=\begin{cases}
\displaystyle \frac{(-\pi i)^{n}}{n!}&& \bk=\{1\}^n\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
である.
対称多重ゼータ値との関係
Multitangent functionと対称多重ゼータ値の間の関係がHiroseによって与えられている. 以下, それをFourier級数展開の形で述べる. $k_1,k_d\geq 2$とすると定理1は
\begin{align}
\Psi_{\bk}(w)
&=-2\pi i\sum_{0< m}e^{2\pi i mw}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{2\leq n,0\leq a,b\\a+n+b=k_j}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\frac{(-2\pi im)^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=(2\pi i)^2\sum_{0< m}me^{2\pi i mw}\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{0\leq n,a,b\\a+n+b=k_j-2}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\frac{(-2\pi im)^{n}}{(n+1)!}
\end{align}
と書き換えられる. ここで, 双対性によってシャッフル正規化多重ゼータ値$\zeta^{\sh}$を用いて
\begin{align}
\zeta_a(\bk)=\zeta^{\sh}(\bk^{\dagger},\{1\}^a)
\end{align}
と表されることを用いると,
\begin{align}
&\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{0\leq n,a,b\\a+n+b=k_j-2}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta_a(k_{j-1},\dots,k_1)\zeta_b(k_{j+1},\dots,k_d)\frac{(-2\pi im)^{n}}{(n+1)!}\\
&=\sum_{j=1}^d\sum_{\substack{0\leq n,a,b\\a+n+b=k_j-2}}(-1)^{k_1+\cdots+k_{j-1}+a}\zeta^{\sh}(\{1\}^{k_1-1},2,\dots,\{1\}^{k_{j-1}-1},2,\{1\}^a)\\
&\qquad\cdot\zeta^{\sh}(\{1\}^{k_d-1},2,\dots,\{1\}^{k_{j+1}-1},2,\{1\}^b)\frac{(-2\pi im)^{n}}{(n+1)!}\\
&=\zeta_{\mathcal{RS},m}(\{1\}^{k_d-1},2,\dots,\{1\}^{k_2-1},2,\{1\}^{k_1-1})\\
&=\zeta_{\mathcal{RS},m}(\overleftarrow{({}_{\downarrow}\bk_{\downarrow})^{\vee}})\\
\end{align}
となる. ここで, $\vee$は
Hoffman双対
, $\overleftarrow{\bk}$は$\bk$の成分を逆順に並べたもの,
\begin{align}
{}_{\downarrow}\bk_{\downarrow}:=\begin{cases}
(k_1-1,k_2,\dots,k_{d-1},k_d-1)&& d\geq 2\\
(k_1-2)&& d=1
\end{cases}
\end{align}
として,
\begin{align}
\zeta_{\mathcal{RS},n}(k_1,\dots,k_d):=\sum_{\substack{0\leq i\leq j\leq d\\k_{i+1}=\cdots=k_j=1}}(-1)^{k_{j+1}+\cdots+k_d}\zeta^{\sh}(k_1,\dots,k_i)\zeta^{\sh}(k_d,\dots,k_{j+1})\frac{(-2\pi in)^{j-i}}{(j-i+1)!}
\end{align}
は
refined対称多重ゼータ値
の一般化であり($n=1$のときrefined対称多重ゼータ値に一致する), インデックスに現れる$c,\{1\}^{-1},d$は$c+d-1$に置き換えるものとする. つまり, 以下が得られた.
$\Im(w)>0$とする. $k_1,k_d\geq 2$であるインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対し,
\begin{align}
\Psi_{\bk}(w)&=(2\pi i)^2\sum_{0< n}ne^{2\pi in w}\zeta_{\mathcal{RS},n}(\overleftarrow{({}_{\downarrow}\bk_{\downarrow})^{\vee}})
\end{align}
Hiroseの論文においてはFourier級数展開は現れていないが, 本質的に同値な結果が述べられている. Multitangent functionは定理から調和関係式
\begin{align}
\Psi_{\bk}(w)\Psi_{\bl}(w)&=\Psi_{\bk*\bl}(w)
\end{align}
を満たす. これに定理2を代入すると,
\begin{align}
&\left((2\pi i)^2\sum_{0< n}ne^{2\pi in w}\zeta_{\mathcal{RS},n}(\overleftarrow{({}_{\downarrow}\bk_{\downarrow})^{\vee}})\right)\left((2\pi i)^2\sum_{0< n}ne^{2\pi in w}\zeta_{\mathcal{RS},n}(\overleftarrow{({}_{\downarrow}\bl_{\downarrow})^{\vee}})\right)\\
&=\left((2\pi i)^2\sum_{0< n}ne^{2\pi in w}\zeta_{\mathcal{RS},n}(\overleftarrow{({}_{\downarrow}(\bk*\bl)_{\downarrow})^{\vee}})\right)
\end{align}
を得る. 両辺の$e^{2\pi iw}$の係数を比較して, 定義から従う反転公式$\zeta_{\mathcal{RS}}(k_d,\dots,k_1)=(-1)^{k_1+\cdots+k_d}\zeta_{\mathcal{RS}}(k_1,\dots,k_d)$を用いると, 以下を得る.
両端が$2$以上であるインデックス$\bk,\bl$に対し,
\begin{align}
\zeta_{\mathcal{RS}}(({}_{\downarrow}(\bk*\bl)_{\downarrow})^{\vee})=0
\end{align}
が成り立つ.
これは多重ゼータ値におけるKawashima関係式の線形部分の類似といえる.
