ガロア理論⑦　中間体の拡大次数

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はじめに

今回は，中間体の拡大次数を調べることでもとの拡大の様子がわかるという話をしたいと思います。
そして最後に，その事実を踏まえた上で $ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ について考察してみます。

中間体の拡大次数

$L / M / K$ に対し， $L / M, M / K$ が有限次拡大ならば $[L : K] = [L : M] [M : K]$

$[L : M] = m, [M : K] = n$ とし， ${a_{1}, \dots, a_{m}}, {b_{1}, \dots, b_{n}}$ をそれぞれの基底とすると，任意の $α \in L$ に対し， $α = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} x_{i}$ を満たす $x_{i} \in M$ が存在し，かつ $x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} b_{j} y_{i j} (1 \leq i \leq m)$ を満たす $y_{i j} \in K$ が存在する。
このとき $α = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} y_{i j}) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} b_{j} y_{i j}$ であるから， $S = {a_{i} b_{j} | 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ は $K$ 上で $L$ を生成する。
また， $α = 0$ とすると $x_{i} = 0 (\forall i)$ であり， $x_{i} = 0$ とすると $y_{i j} = 0 (\forall j)$ であるから， $α = 0 \Rightarrow y_{i j} = 0 (\forall i, j)$
ゆえに $S$ の元は線形独立でもあるから， $S$ が $L$ の $K$ -線形空間としての基底となる。
したがって $[L : K] = | S | = m n = [L : M] [M : K]$ 　□

定理 $1$ から直ちに次の系が従う。

$L / M / K$ に対し， $[L : M], [M : K]$ は $[L : K]$ の約数である。

これらの事実を用いることで，拡大次数の候補をかなり絞ることができます。詳細は後の考察パートで述べます。

次の命題と系も重要です。

$L / K$ に対し， $L ＝ K ⟺ [L : K] = 1$

$\Rightarrow$ は明らかなので，逆を示す。
基底を ${α}$ とし， $L$ が $K$ を真に含むと仮定すると $α \in L - K$
一方で $α^{2} = α x$ を満たす $x \in K$ が存在するが， $α \neq 0$ より $α = x \in K$ を得るから矛盾。□

命題 2

$L / K$ に対し， $[L : K]$ が素数ならば，その中間体は $L, K$ に限る。

$[L : K]$ を素数とし， $M$ を $L / K$ の任意の中間体とすると，定理 $1$ から $[L : M] = 1$ または $[M : K] = 1$
命題 $2$ より $M = L$ または $M = K$ である。□

実用例

さて，これらの事実のいくつかを用いて $ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ について考察してみる。

考察

まず， $x^{4} - 10 x^{2} + 1$ は $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ を根にもつから，ガロア理論⑥ 定理 $1$ から $[ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) : ℚ] \leq 4$
また， $ℚ (\sqrt{2})$ は $ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) / ℚ$ の中間体であるから，定理 $1$ より
$[ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) : ℚ] = [ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ]^{* 1} = [ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ (\sqrt{2})] [ℚ (\sqrt{2}) : ℚ] = 2 [ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ (\sqrt{2})]$
とくに， $[ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) : ℚ]$ は偶数である。
また， $ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ は $ℚ (\sqrt{2})$ を真に含むから，命題 $2$ より $[ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) : ℚ (\sqrt{2})] \neq 1$
したがって， $[ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) : ℚ] = 4$

$^{* 1}$ $ℚ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ である。証明はガロア理論② を参照せよ。

このように，中間体を考えることで拡大次数を容易に求めることができます。この例では愚直に $x^{4} - 10 x^{2} + 1$ の既約性を調べることもできてしまうので困りはしないのですが，この考え方は生成元が具体的でないときにより威力を発揮します。
次回は，「多項式が既約であるための十分条件」を与える判定法を扱います。