ガロア理論⑩　分解体の存在

多項式の次数$n\ge 1$による数学的帰納法により示す。
$n=1$のときは明らかである。

$n\ge 2$として，$1\le \mathrm{deg}g\le n-1$であるような任意の体$K$上の任意の多項式$g$が分解体をもつとする。

$f\in K[x]$を次数$n$の多項式とし，$f=f_1{f}_2\cdots f_r$を$f$の$K$上の既約分解とする。このとき，$f_1$は$K$上既約であるから$K[x]/(f_1)$は体${}^{\ast 1}$である。ゆえに自然な準同型$\phi :K\to K[x]/(f_1{)}^{\ast 2}$が存在し，$M=K[x]/(f_1),K^{\prime }=\mathrm{Im}\phi$とおくと，$K\cong K^{\prime }$${}^{\ast 3}$

ここで，$M$の部分集合$K^{\prime }$を$K$に置き換えた集合$N(=(M-K^{\prime })\cup K)$は以下で定義する演算により$K$の拡大体となる：

演算の定義

$\psi :N\to M$を$K$上では$\phi$に一致し，$N-K$上では恒等写像に一致する写像として定める。すなわち，
$\psi (a)=\{\begin{array}{lrr}\phi (a)\in K^{\prime }& & (a\in K)\\ a\in M-K^{\prime }& & (a\in N-K)\end{array}$
$a,b\in N$に対し

• $a+b=b+a:={\psi }^{-1}(\psi (a)+\psi (b))$
• $ab=ba:={\psi }^{-1}(\psi (a)\psi (b))$
  として和と積を定める（この演算は$\text{well-defined}$かつ，この演算に関して$N$は$K$の拡大体である。それを示すことは難しくない）。

注意

上の定義式は，$a,b\in K$に対しては恒等式である。つまり，上の演算を導入しても$K$の代数的構造は変わらない。このことから，いま，$K$の構造を保ったままその拡大体$N$がつくられたことになる。

次に，$\bar{x}\in N$が$f_1$の根であることを示そう。$f_1(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n$とする。$M$の定義から$\overline{f_1(x)}=\bar{0}\in K^{\prime }$であることに注意すると，
$f_1(\bar{x})=c_0+c_1\bar{x}+\cdots +c_n{\bar{x}}^n$
$=c_0+c_1\bar{x}+\cdots +c_n\overline{x^n}$
$=c_0+{\psi }^{-1}(\psi (c_1)\psi (\bar{x}))+\cdots +{\psi }^{-1}(\psi (c_n)\psi (\overline{x^n}))$
$=c_0+\overline{c_{1}x}+\cdots +\overline{c_n{x}^n}$
$={\psi }^{-1}(\psi (c_0)+\psi (\overline{c_{1}x})+\cdots +\psi (\overline{c_n{x}^n}))$
$={\psi }^{-1}(\overline{c_0}+\overline{c_{1}x}+\cdots +\overline{c_n{x}^n})$
$={\psi }^{-1}(\overline{c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n})$
$={\psi }^{-1}(\overline{f_1(x)})$
$={\psi }^{-1}(\bar{0})$
$=0$

ゆえに$\bar{x}=\alpha$とおくと，$f_1(x)=(x-\alpha )g_1(x)(g_1\in N[x])$
よって$f(x)=(x-\alpha )g_1(x)f_2(x)\cdots f_r(x)$とかける。$h=g_1{f}_2\cdots f_r\in N[x]$であり，$1\le \mathrm{deg}h\le n-1$であるから，帰納法の仮定より$h$の分解体$L/N$が存在する。
したがって，$f$はこの$L$上にすべての根をもつ。▢