ガロア理論⑩　分解体の存在

多項式の次数$n≥1$による数学的帰納法により示す。
$n=1$のときは明らかである。

$n≥2$として，$1≤\deg g≤n-1$であるような任意の体$K$上の任意の多項式$g$が分解体をもつとする。

$f∈K[x]$を次数$n$の多項式とし，$f=f_1f_2\cdots f_r$を$f$の$K$上の既約分解とする。このとき，$f_1$は$K$上既約であるから$K[x]/(f_1)$は体$^{*1}$である。ゆえに自然な準同型$φ:K\to K[x]/(f_1)^{*2}$が存在し，$M=K[x]/(f_1),K'=\imφ$とおくと，$K≅K'$$^{*3}$

ここで，$M$の部分集合$K'$を$K$に置き換えた集合$N(=(M-K')∪K)$は以下で定義する演算により$K$の拡大体となる：

演算の定義

$ψ:N→M$を$K$上では$φ$に一致し，$N-K$上では恒等写像に一致する写像として定める。すなわち，
$ ψ(a)= \left\{ \begin{array}{lr} φ(a)∈K' && (a∈K) \\ a∈M-K' && (a∈N-K) \end{array} \right. $
$a,b∈N$に対し

• $a+b=b+a:=ψ^{-1}(ψ(a)+ψ(b))$
• $ab=ba:=ψ^{-1}(ψ(a)ψ(b))$
  として和と積を定める（この演算は$\text{well-defined}$かつ，この演算に関して$N$は$K$の拡大体である。それを示すことは難しくない）。

注意

上の定義式は，$a,b∈K$に対しては恒等式である。つまり，上の演算を導入しても$K$の代数的構造は変わらない。このことから，いま，$K$の構造を保ったままその拡大体$N$がつくられたことになる。

次に，$\ol{x}∈N$が$f_1$の根であることを示そう。$f_1(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$とする。$M$の定義から$\ol{f_1(x)}=\ol{0}∈K'$であることに注意すると，
$f_1(\ol{x})=c_0+c_1\ol{x}+\cdots+c_n\ol{x}^n$
$=c_0+c_1\ol{x}+\cdots+c_n\ol{x^n}$
$=c_0+ψ^{-1}(ψ(c_1)ψ(\ol{x}))+\cdots+ψ^{-1}(ψ(c_n)ψ(\ol{x^n}))$
$=c_0+\ol{c_1x}+\cdots+\ol{c_nx^n}$
$=ψ^{-1}(ψ(c_0)+ψ(\ol{c_1x})+\cdots+ψ(\ol{c_nx^n}))$
$=ψ^{-1}(\ol{c_0}+\ol{c_1x}+\cdots+\ol{c_nx^n})$
$=ψ^{-1}(\ol{c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n})$
$=ψ^{-1}(\ol{f_1(x)})$
$=ψ^{-1}(\ol{0})$
$=0$

ゆえに$\ol{x}=α$とおくと，$f_1(x)=(x-α)g_1(x)\;(g_1∈N[x])$
よって$f(x)=(x-α)g_1(x)f_2(x)\cdots f_r(x)$とかける。$h=g_1f_2\cdots f_r∈N[x]$であり，$1≤\deg h≤n-1$であるから，帰納法の仮定より$h$の分解体$L/N$が存在する。
したがって，$f$はこの$L$上にすべての根をもつ。▢