積空間の（パラ）コンパクト性について

（左辺）$\subset$（右辺）と（左辺）$\supset$（右辺）をそれぞれ確かめればよい．

補題2より
$$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(B)\subset A& \iff f^{-1}(B)\cap (X\setminus A)=\varnothing \\ & \iff B\cap f(X\setminus A)=\varnothing \\ & \iff B\subset f_{\mathrm{\#}}(A)\end{array}$$
が成り立つ．

(1)$\Rightarrow$(2). $y\in Y$とし，$U\subset X$を$f^{-1}(y)$の開近傍とする．$f^{-1}(y)\subset U$より$y\in f_{\mathrm{\#}}(U)$となる．いま$f$は閉写像なので$V:=f_{\mathrm{\#}}(U)\subset Y$は$y$の開近傍であり$f^{-1}(V)\subset U$が成り立つ．

(2)$\Rightarrow$(1). $U\subset X$を開集合とする．$f_{\mathrm{\#}}(U)\subset Y$が開集合であることを示せばよい．そこで$y\in f_{\mathrm{\#}}(U)$とする．このとき$f^{-1}(y)\subset U$となるので，仮定より$y$の開近傍$V\subset Y$であって$f^{-1}(V)\subset U$，すなわち$V\subset f_{\mathrm{\#}}(U)$となるものが存在する．

[2, 補題1] を$A=\{x\},B=Y$として適用すればよい．

$\mathcal{W}=\{W_{\lambda }|\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$を$X\times Y$の開被覆とする．
各$x\in X$に対して，$\mathcal{W}$はコンパクト集合$p^{-1}(x)$の開被覆であるから，有限部分集合${\mathrm{\Lambda }}_x\subset \mathrm{\Lambda }$であって$p^{-1}(x)\subset \bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_x}{W}_{\lambda }$となるものが存在する．
このとき，Tube Lemma より，$x$の開近傍$U_x\subset X$であって$p^{-1}(U_x)\subset \bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_x}{W}_{\lambda }$となるものが存在する．
こうして$X$の開被覆$\mathcal{U}=\{U_x|x\in X\}$を得る．
(1) いま$X$はコンパクトなので，有限個の点$x_1,\cdots ,x_n\in X$であって$X=U_{x_1}\cup \cdots \cup U_{x_n}$となるものが存在する．このとき$\{W_{\lambda }|\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{x_1}\cup \cdots \cup {\mathrm{\Lambda }}_{x_n}\}$は$\mathcal{W}$の有限部分被覆である．
(2) いま$X$はパラコンパクトなので，$X$の局所有限な開被覆${\mathcal{U}}^{\prime }=\{U_x^{\prime }|x\in X\}$であって任意の$x\in X$に対して$U_x^{\prime }\subset U_x$となるものが存在する（後述）．このとき${\mathcal{W}}^{\prime }=\{p^{-1}(U_x^{\prime })\cap W_{\lambda }|x\in X,\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_x\}$が$X\times Y$の局所有限な開被覆であって$\mathcal{W}$を細分することを示す．
(2-1) ${\mathcal{W}}^{\prime }$が$\mathcal{W}$の細分であることは明らか．
(2-2) $(x,y)\in X\times Y$とする．${\mathcal{U}}^{\prime }$は$X$の被覆であるから，$x^{\prime }\in X$であって$x\in U_{x^{\prime }}^{\prime }$となるものが存在する．このとき$(x,y)\in p^{-1}(U_{x^{\prime }}^{\prime })\subset p^{-1}(U_{x^{\prime }})\subset \bigcup _{\lambda \in {\mathrm{\Lambda }}_{x^{\prime }}}{W}_{\lambda }$となるから，${\lambda }^{\prime }\in {\mathrm{\Lambda }}_{x^{\prime }}$であって$(x,y)\in W_{{\lambda }^{\prime }}$となるものが存在する．したがって$(x,y)\in p^{-1}(U_{x^{\prime }}^{\prime })\cap W_{{\lambda }^{\prime }}\in {\mathcal{W}}^{\prime }$となる．よって${\mathcal{W}}^{\prime }$は$X\times Y$の開被覆である．
(2-3) $(x,y)\in X\times Y$とする．${\mathcal{U}}^{\prime }$の局所有限性より，$x$の開近傍$V\subset X$であって$\{x^{\prime }\in X|V\cap U_{x^{\prime }}^{\prime }\ne \varnothing \}$が有限集合となるものが存在する．このとき$(x,y)$の開近傍$p^{-1}(V)\subset X\times Y$を考えると，任意の$(x^{\prime },{\lambda }^{\prime })\in \bigcup \{\{x^{″}\}\times {\mathrm{\Lambda }}_{x^{″}}|x^{″}\in X\}=:M$に対して
$$p^{-1}(V)\cap (p^{-1}(U_{x^{\prime }}^{\prime })\cap W_{{\lambda }^{\prime }})\ne \varnothing \Rightarrow V\cap U_{x^{\prime }}^{\prime }\ne \varnothing$$
が成り立つことから，有限集合$\bigcup \{(x^{\prime },{\lambda }^{\prime })\in M|x^{\prime }\in \{x^{″}\in X|V\cap U_{x^{″}}^{\prime }\ne \varnothing \}\}$の部分集合として$\{(x^{\prime },{\lambda }^{\prime })\in M|p^{-1}(V)\cap (p^{-1}(U_{x^{\prime }}^{\prime })\cap W_{{\lambda }^{\prime }})\ne \varnothing \}$は有限集合となることがわかる．よって${\mathcal{W}}^{\prime }$は局所有限である．

仮定より写像$r:M\to \mathrm{\Lambda }$であって，任意の$\mu \in M$に対して$V_{\mu }\subset U_{r(\mu )}$となるものが存在する．各$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$に対して，$X$の開集合$U_{\lambda }^{\prime }$を
$$U_{\lambda }^{\prime }=\bigcup \{V_{\mu }|\mu \in r^{-1}(\lambda )\}$$
で定める．このとき明らかに$U_{\lambda }^{\prime }\subset U_{\lambda }$が成り立つ．あとは開集合族${\mathcal{U}}^{\prime }=\{U_{\lambda }^{\prime }|\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$が局所有限な開被覆であることを示せばよい．

• $x\in X$とする．$\mathcal{V}$が$X$の開被覆であることから，$\mu \in M$であって$x\in V_{\mu }$となるものが存在する．このとき$\lambda =r(\mu )\in \mathrm{\Lambda }$とおくと，$x\in U_{\lambda }^{\prime }$が成り立つ．
• 一般に任意の部分集合$A\subset X$に対して
  $$\{\lambda \in \mathrm{\Lambda }|A\cap U_{\lambda }^{\prime }\ne \varnothing \}\subset r(\{\mu \in M|A\cap V_{\mu }\ne \varnothing \})$$
  が成り立つことに注意すると，$\mathcal{V}$の局所有限性から${\mathcal{U}}^{\prime }$の局所有限性がしたがうことがわかる．