位相空間$X, Y$に対して直積$X \times Y$が定まります．このとき$X$や$Y$の位相的性質を直積も持つかどうかは興味ある問題です．この記事では（パラ）コンパクト性を取り上げて，この問題に簡単に触れてみます．
まず，パラコンパクトの定義を復習しておきます．
$X$を位相空間とし，$\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset \mathcal{P}(X)$をその部分集合族とする．
$X$を位相空間とする．$X$の任意の開被覆が局所有限な開被覆によって細分されるとき$X$をパラコンパクト空間という．
たとえばコンパクト空間はパラコンパクトです．（有限部分被覆は局所有限な細分なので．）
ふたつのパラコンパクト空間の直積はパラコンパクト空間になるとは限らないことが知られています．ところが，一方がコンパクトならば直積はパラコンパクトになります．このことを証明するのが今回の目標です．
$X$を位相空間とし，$Y$をコンパクト空間とする．
(1) $X$がコンパクトならば，$X \times Y$もコンパクトである；
(2) $X$がパラコンパクトならば，$X \times Y$もパラコンパクトである．
証明の際に鍵になるのは，射影$p \colon X \times Y \to X$が閉写像になるという事実です．そこでまずは閉写像の性質について見ていくことにします．
$f \colon X \to Y$を写像とし，$A \subset X, B \subset Y$とする．このとき
$$ f(A \cap f^{-1}(B)) = f(A) \cap B $$
が成り立つ．
（左辺）$\subset$（右辺）と（左辺）$\supset$（右辺）をそれぞれ確かめればよい．
$f \colon X \to Y$を写像とする．$X$の部分集合$A$に対して，$Y$の部分集合$f_{\#}(A)$を
$$ f_{\#}(A) = Y \smallsetminus f(X \smallsetminus A) $$
で定める．
$f \colon X \to Y$を写像とし，$A \subset X, B \subset Y$とする．このとき$f^{-1}(B) \subset A$なるための必要十分条件は$B \subset f_{\#}(A)$なることである．
補題2より
\begin{align}
f^{-1}(B) \subset A
&\Leftrightarrow f^{-1}(B) \cap (X \smallsetminus A) = \varnothing\\
&\Leftrightarrow B \cap f(X \smallsetminus A) = \varnothing\\
&\Leftrightarrow B \subset f_{\#}(A)
\end{align}
が成り立つ．
$f \colon X \to Y$を写像とする．$X$の任意の閉集合$A$に対して$f(A) \subset Y$が閉集合となるとき，$f$を閉写像という．
次の命題が成り立つことは明らかでしょう．
$f \colon X \to Y$を写像とする．このとき次は同値である．
(1) $f$は閉写像である；
(2) $X$の任意の開集合$U$に対して$f_{\#}(U) \subset Y$は開集合である．
補題3，命題4を用いて次が証明できます．
$f \colon X \to Y$を写像とする．このとき次は同値である．
(1) $f$は閉写像である；
(2) $Y$の任意の点$y$と$f^{-1}(y)$の任意の開近傍$U \subset X$に対して，$y$の開近傍$V \subset Y$であって$f^{-1}(V) \subset U$となるものが存在する．
(1)$\Rightarrow$(2). $y \in Y$とし，$U \subset X$を$f^{-1}(y)$の開近傍とする．$f^{-1}(y) \subset U$より$y \in f_{\#}(U)$となる．いま$f$は閉写像なので$V := f_{\#}(U) \subset Y$は$y$の開近傍であり$f^{-1}(V) \subset U$が成り立つ．
(2)$\Rightarrow$(1). $U \subset X$を開集合とする．$f_{\#}(U) \subset Y$が開集合であることを示せばよい．そこで$y \in f_{\#}(U)$とする．このとき$f^{-1}(y) \subset U$となるので，仮定より$y$の開近傍$V \subset Y$であって$f^{-1}(V) \subset U$，すなわち$V \subset f_{\#}(U)$となるものが存在する．
$X$を位相空間，$Y$をコンパクト空間とする．このとき$X$の任意の点$x$と$\{x\} \times Y$の任意の開近傍$W \subset X \times Y$に対して，$x$の開近傍$U \subset X$であって$U \times Y \subset W$となるものが存在する．
[2, 補題1] を$A = \{x\}, B = Y$として適用すればよい．
Tube Lemma の主張を命題5と見比べると，次が成り立つことがわかります．
$X$を位相空間，$Y$をコンパクト空間とする．このとき射影$p \colon X \times Y \to X$は閉写像である．
今回の目標を再掲します．
$X$を位相空間とし，$Y$をコンパクト空間とする．
(1) $X$がコンパクトならば，$X \times Y$もコンパクトである；
(2) $X$がパラコンパクトならば，$X \times Y$もパラコンパクトである．
$\mathcal{W} = \{W_{\lambda} \ |\ \lambda \in \Lambda\}$を$X \times Y$の開被覆とする．
各$x \in X$に対して，$\mathcal{W}$はコンパクト集合$p^{-1}(x)$の開被覆であるから，有限部分集合$\Lambda_{x} \subset \Lambda$であって$p^{-1}(x) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{x}} W_{\lambda}$となるものが存在する．
このとき，Tube Lemma より，$x$の開近傍$U_{x} \subset X$であって$p^{-1}(U_{x}) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{x}} W_{\lambda}$となるものが存在する．
こうして$X$の開被覆$\mathcal{U} = \{U_{x}\ |\ x \in X\}$を得る．
(1) いま$X$はコンパクトなので，有限個の点$x_{1}, \cdots, x_{n} \in X$であって$X = U_{x_{1}} \cup \cdots \cup U_{x_{n}}$となるものが存在する．このとき$\{W_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda_{x_{1}} \cup \cdots \cup \Lambda_{x_{n}}\}$は$\mathcal{W}$の有限部分被覆である．
(2) いま$X$はパラコンパクトなので，$X$の局所有限な開被覆$\mathcal{U}' = \{U'_{x}\ |\ x \in X\}$であって任意の$x \in X$に対して$U'_{x} \subset U_{x}$となるものが存在する（後述）．このとき$\mathcal{W}' = \{p^{-1}(U'_{x}) \cap W_{\lambda}\ |\ x \in X, \lambda \in \Lambda_{x}\}$が$X \times Y$の局所有限な開被覆であって$\mathcal{W}$を細分することを示す．
(2-1) $\mathcal{W}'$が$\mathcal{W}$の細分であることは明らか．
(2-2) $(x,y) \in X \times Y$とする．$\mathcal{U}'$は$X$の被覆であるから，$x' \in X$であって$x \in U'_{x'}$となるものが存在する．このとき$(x,y) \in p^{-1}(U'_{x'}) \subset p^{-1}(U_{x'}) \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda_{x'}} W_{\lambda}$となるから，$\lambda' \in \Lambda_{x'}$であって$(x,y) \in W_{\lambda'}$となるものが存在する．したがって$(x,y) \in p^{-1}(U'_{x'}) \cap W_{\lambda'} \in \mathcal{W}'$となる．よって$\mathcal{W}'$は$X \times Y$の開被覆である．
(2-3) $(x,y) \in X \times Y$とする．$\mathcal{U}'$の局所有限性より，$x$の開近傍$V \subset X$であって$\{x' \in X\ |\ V \cap U'_{x'} \neq \varnothing\}$が有限集合となるものが存在する．このとき$(x,y)$の開近傍$p^{-1}(V) \subset X \times Y$を考えると，任意の$(x',\lambda') \in \bigcup \{\{x''\} \times \Lambda_{x''}\ |\ x'' \in X\} =: M$に対して
$$ p^{-1}(V) \cap (p^{-1}(U'_{x'}) \cap W_{\lambda'}) \neq \varnothing \Rightarrow V \cap U'_{x'} \neq \varnothing $$
が成り立つことから，有限集合$\bigcup \{(x',\lambda') \in M\ |\ x' \in \{x'' \in X\ |\ V \cap U'_{x''} \neq \varnothing\}\}$の部分集合として$\{(x',\lambda') \in M\ |\ p^{-1}(V) \cap (p^{-1}(U'_{x'}) \cap W_{\lambda'}) \neq \varnothing\}$は有限集合となることがわかる．よって$\mathcal{W}'$は局所有限である．
$X$を位相空間，$\mathcal{U} = \{U_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda \}$をその開被覆とする．
このとき，$\mathcal{U}$が局所有限な開被覆$\mathcal{V} = \{V_{\mu}\ |\ \mu \in M\}$によって細分されるならば，局所有限な開被覆$\mathcal{U}' = \{U'_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}$であって$U'_{\lambda} \subset U_{\lambda}\ (\lambda \in \Lambda)$となるものが存在する．
仮定より写像$r \colon M \to \Lambda$であって，任意の$\mu \in M$に対して$V_{\mu} \subset U_{r(\mu)}$となるものが存在する．各$\lambda \in \Lambda$に対して，$X$の開集合$U'_{\lambda}$を
$$ U'_{\lambda} = \bigcup \{V_{\mu}\ |\ \mu \in r^{-1}(\lambda) \}$$
で定める．このとき明らかに$U'_{\lambda} \subset U_{\lambda}$が成り立つ．あとは開集合族$\mathcal{U}' = \{U'_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}$が局所有限な開被覆であることを示せばよい．
閉写像$f \colon S \to T$であって，任意の$t \in T$に対して$f^{-1}(t)$がコンパクトとなるものを完全写像といいます．したがって，$Y$がコンパクトであるときの射影$p \colon X \times Y \to X$は完全写像の例になっています．じつは今回の定理は一般の完全写像について成り立ちます！ 証明は“同様”です．