ファイバー束の（パラ）コンパクト性について

パラコンパクト,ファイバー束,位相空間論

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はじめに

前回は次の定理を示しました．（記号を変えています．）

前回の目標

$B$ を位相空間とし， $F$ をコンパクト空間とする．
(1) $B$ がコンパクトならば， $B \times F$ もコンパクトである；
(2) $B$ がパラコンパクトならば， $B \times F$ もパラコンパクトである．

唐突ですが，ここでひとつ定義を紹介します．

$π : E \to B$ を連続写像， $F$ を位相空間とする．
任意の $b \in B$ に対して， $b$ の開近傍 $U \subset B$ と同相写像 $φ : π^{- 1} (U) \to U \times F$ が存在して
$π (φ^{- 1} (b, y)) = b, (b, y) \in U \times F$
が成り立つとき，組 $(E, π, B, F)$ をファイバー束という． $E$ を全空間， $π$ を射影， $B$ を底空間， $F$ をファイバーという．

$B, F$ を位相空間とする． $π : B \times F \to B$ を（第一成分への）射影とすると，組 $(B \times F, π, B, F)$ はファイバー束である．実際，任意の $b \in B$ に対して $U$ として $B$ が， $φ$ として恒等写像が取れる．このファイバー束を自明束という．

すると定理1は「ファイバーがコンパクトな自明束について，射影 $π : B \times F \to B$ によって底空間 $B$ の（パラ）コンパクト性が全空間 $B \times F$ に伝わった」と見ることができます．このように見たとき，定理1と同様のことがファイバーがコンパクトなファイバー束についても成り立つのかが気になるところですが，その疑問に肯定的に答えることが今回の目標です．

今回の目標

コンパクト空間 $F$ をファイバーとするファイバー束 $(E, π, B, F)$ に対して次が成り立つ．
(1) $B$ がコンパクトならば， $E$ もコンパクトである；
(2) $B$ がパラコンパクトならば， $E$ もパラコンパクトである．

鍵となるのは（前回と同様）射影 $π : E \to B$ が完全写像になるという事実です．

準備

写像 $f : X \to Y$ と部分集合 $B \subset Y$ に対して，写像 $f^{- 1} (B) \to B, x \mapsto f (x)$ を $f^{B}$ で表わすことにする．

$f : X \to Y$ を写像とし， $V$ を $Y$ の開被覆とする．
任意の $V \in V$ に対して $f^{V} : f^{- 1} (V) \to V$ が閉写像ならば， $f$ は閉写像である．

$C \subset X$ を閉集合とする．
各 $V \in V$ に対して $C \cap f^{- 1} (V)$ は $f^{- 1} (V)$ の閉集合なので
$f (C) \cap V = f (C \cap f^{- 1} (V)) = f^{V} (C \cap f^{- 1} (V))$
は $V$ の閉集合である．
いま $V$ は $Y$ の開被覆であったから， $f (C)$ は $Y$ の閉集合である．

前回の最後に注意したことから次が成り立ちます．

$f : X \to Y$ を完全写像とする．
(1) $Y$ がコンパクトならば， $X$ もコンパクトである．
(2) $Y$ がパラコンパクトならば， $X$ もパラコンパクトである．

Key lemma

$(E, π, B, F)$ をファイバー束とする．
このとき，ファイバー $F$ がコンパクトならば，射影 $π : E \to B$ は完全写像である．

この補題は [3, Problem 10-19] に示唆を得たものです．

各 $b \in B$ に対して $b$ の開近傍 $U_{b} \subset B$ と同相写像 $φ_{b} : π^{- 1} (U_{b}) \to U_{b} \times F$ であって
$π (φ_{b}^{- 1} (x, y)) = x, (x, y) \in U_{b} \times F$
となるものが存在する．
このとき ${U_{b} | b \in B}$ は $B$ の開被覆であり，任意の $b \in B$ に対して $π^{U_{b}} : π^{- 1} (U_{b}) \to U_{b}$ は閉写像の合成 $π^{- 1} (U_{b}) \approx U_{b} \times F \to U_{b}$ に一致するので閉写像である．したがって，補題3より $π : E \to B$ は閉写像である．
また， $φ_{b}$ によって $π^{- 1} (b) \approx {b} \times F$ はコンパクトであることがわかる．
よって $π$ は完全写像である．