前回 は次の定理を示しました．（記号を変えています．）
$B$を位相空間とし，$F$をコンパクト空間とする．
(1) $B$がコンパクトならば，$B \times F$もコンパクトである；
(2) $B$がパラコンパクトならば，$B \times F$もパラコンパクトである．
唐突ですが，ここでひとつ定義を紹介します．
$\pi \colon E \to B$を連続写像，$F$を位相空間とする．
任意の$b \in B$に対して，$b$の開近傍$U \subset B$と同相写像$\varphi \colon \pi^{-1}(U) \to U \times F$が存在して
$$ \pi(\varphi^{-1}(b, y)) = b,\ (b, y) \in U \times F $$
が成り立つとき，組$(E, \pi, B, F)$をファイバー束という．$E$を全空間，$\pi$を射影，$B$を底空間，$F$をファイバーという．
$B, F$を位相空間とする．$\pi \colon B \times F \to B$を（第一成分への）射影とすると，組$(B \times F, \pi, B, F)$はファイバー束である．実際，任意の$b \in B$に対して$U$として$B$が，$\varphi$として恒等写像が取れる．このファイバー束を自明束という．
すると定理1は「ファイバーがコンパクトな自明束について，射影$\pi \colon B \times F \to B$によって底空間$B$の（パラ）コンパクト性が全空間$B \times F$に伝わった」と見ることができます．このように見たとき，定理1と同様のことがファイバーがコンパクトなファイバー束についても成り立つのかが気になるところですが，その疑問に肯定的に答えることが今回の目標です．
コンパクト空間$F$をファイバーとするファイバー束$(E, \pi, B, F)$に対して次が成り立つ．
(1) $B$がコンパクトならば，$E$もコンパクトである；
(2) $B$がパラコンパクトならば，$E$もパラコンパクトである．
鍵となるのは（前回と同様）射影$\pi \colon E \to B$が完全写像になるという事実です．
写像$f \colon X \to Y$と部分集合$B \subset Y$に対して，写像$f^{-1}(B) \to B, x \mapsto f(x)$を$f^{B}$で表わすことにする．
$f \colon X \to Y$を写像とし，$\mathcal{V}$を$Y$の開被覆とする．
任意の$V \in \mathcal{V}$に対して$f^{V} \colon f^{-1}(V) \to V$が閉写像ならば，$f$は閉写像である．
$C \subset X$を閉集合とする．
各$V \in \mathcal{V}$に対して$C \cap f^{-1}(V)$は$f^{-1}(V)$の閉集合なので
$$ f(C) \cap V = f(C \cap f^{-1}(V)) = f^{V}(C \cap f^{-1}(V))$$
は$V$の閉集合である．
いま$\mathcal{V}$は$Y$の開被覆であったから，$f(C)$は$Y$の閉集合である．
前回の最後 に注意したことから次が成り立ちます．
$f \colon X \to Y$を完全写像とする．
(1) $Y$がコンパクトならば，$X$もコンパクトである．
(2) $Y$がパラコンパクトならば，$X$もパラコンパクトである．
$(E, \pi, B, F)$をファイバー束とする．
このとき，ファイバー$F$がコンパクトならば，射影$\pi \colon E \to B$は完全写像である．
この補題は [3, Problem 10-19] に示唆を得たものです．
各$b \in B$に対して$b$の開近傍$U_{b} \subset B$と同相写像$\varphi_{b} \colon \pi^{-1}(U_{b}) \to U_{b} \times F$であって
$$ \pi(\varphi_{b}^{-1}(x,y)) = x,\ (x,y) \in U_{b} \times F$$
となるものが存在する．
このとき$\{U_{b}\ |\ b \in B\}$は$B$の開被覆であり，任意の$b \in B$に対して$\pi^{U_{b}} \colon \pi^{-1}(U_{b}) \to U_{b}$は閉写像の合成$ \pi^{-1}(U_{b}) \approx U_{b} \times F \to U_{b}$に一致するので閉写像である．したがって，補題3より$\pi \colon E \to B$は閉写像である．
また，$\varphi_{b}$によって$\pi^{-1}(b) \approx \{b\} \times F$はコンパクトであることがわかる．
よって$\pi$は完全写像である．
今回の目標を再掲します．
コンパクト空間$F$をファイバーとするファイバー束$(E, \pi, B, F)$に対して次が成り立つ．
(1) $B$がコンパクトならば，$E$もコンパクトである；
(2) $B$がパラコンパクトならば，$E$もパラコンパクトである．
この定理が成り立つことはもはや明らかでしょう．
（パラ）コンパクト性の定義にハウスドルフ性を課す流儀があります．
ファイバー束の底空間とファイバーがともにハウスドルフならば，全空間もハウスドルフであることを示せ．
写像$f \colon X \to Y$であって，任意のコンパクト集合$K \subset Y$に対して$f^{-1}(K)$がコンパクトとなるものを固有写像といいます．
$f \colon X \to Y$が閉写像ならば，任意の部分集合$B \subset Y$に対して$f^{B} \colon f^{-1}(B) \to B$もまた閉写像となることに注意すると，命題4と合わせて次が成り立つことがわかります．
完全写像は固有写像である．