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Borel可測函数

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

概要

他の記事用にBorel可測函数の性質について軽くまとめたい。

$\R^d\ (d \geq 1)$の開集合の全体$\mathscr{O}(\R^d)$を含む最小の$\sigma$-加法族、すなわちBorel集合族$\mathscr{B} := \mathscr{B}(\R^d)$を考える。

Borel可測函数

$f:\R^d \to \R$ がBorel可測函数であるとは、任意の$a \in \R$に対して$\{x; f(x) > a\} \in \mathscr{B}$が成り立つ時を言う。

$f:\R^d \to \R$をBorel可測函数であるとする。この時、任意の$b < a \in \R$に対して以下が成立する:

  1. $\{x; f(x) \leq a\} \in \mathscr{B}$
  2. $\{x; b < f(x) \leq a\} \in \mathscr{B}$
  3. $\{x; f(x) = a\} \in \mathscr{B}$
  4. $\{x; f(x) < a\} \in \mathscr{B}$

集合と写像と逆像 の主張を自由に使う。

  1. $\{x; f(x) \leq a\} = \{x; f(x) > a\}^c \in \mathscr{B}$となる。

  2. $\{x; b < f(x) \leq a\} = \{x; f(x) > b\} \cap \{x; f(x) \leq a\} = \left( \{x; f(x) \leq b\} \cup \{x; f(x) > a\} \right)^c \in \mathscr{B}$となる。

  3. $\{x; f(x) = a\} = \cap_{n \in \N} \{x; a - \frac{1}{n} < f(x) \leq a\} = \cup_{n \in \N} \{x; a - \frac{1}{n} < f(x) \leq a\}^c \in \mathscr{B}$となる。

  4. $\{x; f(x) < a\} = \{x; f(x) \leq a\} \cap \{x; f(x) = a\} \in \mathscr{B}$となる。

余談

Borel集合族が補集合について閉じているという性質を使いまくると、$\{x; f(x) > a\} \in \mathscr{B}$という条件だけで「これくらいは成立して欲しいよな」という数々の性質が導けてしまう。

投稿日:2023328

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投稿者

数学を専攻してたはずのに気がついたら道を踏み外しちゃったよ的なー。プログラムでの検証等々は https://zenn.dev/derwind でうにょうにょ。

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