Borel可測函数

他の記事用にBorel可測函数の性質について軽くまとめたい。

$R^{d} (d \geq 1)$ の開集合の全体 $O (R^{d})$ を含む最小の $σ$ -加法族、すなわちBorel集合族 $B := B (R^{d})$ を考える。

Borel可測函数

$f : R^{d} \to R$ がBorel可測函数であるとは、任意の $a \in R$ に対して ${x; f (x) > a} \in B$ が成り立つ時を言う。

$f : R^{d} \to R$ をBorel可測函数であるとする。この時、任意の $b < a \in R$ に対して以下が成立する:

集合と写像と逆像の主張を自由に使う。

${x; f (x) \leq a} = {x; f (x) > a}^{c} \in B$ となる。
${x; b < f (x) \leq a} = {x; f (x) > b} \cap {x; f (x) \leq a} = {({x; f (x) \leq b} \cup {x; f (x) > a})}^{c} \in B$ となる。
${x; f (x) = a} = \cap_{n \in N} {x; a - \frac{1}{n} < f (x) \leq a} = \cup_{n \in N} {x; a - \frac{1}{n} < f (x) \leq a}^{c} \in B$ となる。
${x; f (x) < a} = {x; f (x) \leq a} \cap {x; f (x) = a} \in B$ となる。